Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 315 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

пли вообще невозможно. В этом случае приходится прибегать к дру

гим методам. Наиболее простым из них является				метод моментов.
Т е о р е т и ч е с к и м		н а ч а л ь н ы м м о м е н т о м пг-го
п о р я д к а случайной	величины		X называется	математическое
ожидание ее т-й степени
v m =	М	(X"') =	' J л-»' / (л-) dx,	. (4.16)
		— со

а т е о р е т и ч е с к и м ц е н т р а л ь н ы м м о м е н т о м т-

го п о р я д к а	— математическое		ожидание
			со
рт=М[Х-М(Х)]т=			^[x-M(X)]"!f(x)dx.		(4.17)
		— со
Очевидно, что М(Х) = \\,		a D(X)	=	ft.,.
Метод моментов заключается в том, что теоретические					моменты
приравниваются	к эмпирическим:
Приравнивается	столько	моментов,		сколько параметров	ищется.

В результате получается система уравнений относительно неизвест ных параметров. Эмпирические пли выборочные моменты выража


ются	соответственно		в	виде
	vm -=		-	V	х?;	f l m = - 2		(ХІ-ХГ.	(4.19>
§ 4.2. Нахождение интервальных оценок
для характеристик случайных							величин
Доверительные		интервалы				и вероятности. Если			а — истинное
значение неизвестного параметра, а — его точечная									оценка — слу
чайная величина		(4.2),		то д о в е р и т е л ь н ы м					и н т е р в а-
л о м	называют отрезок				( а н ш к ш		а верхн)>	построенный около точ

ки а (рис.- 15), который с заданной вероятностью а накрывает не

известный

параметр а; причем, н и ж н я я

и в е р х н я я

д о

в е р и т е л ь н ы е

г р а н и ц ы

а и и ж 1 1

и а в е Р х П

— это

функции

только результатов

наблюдений хг,

х.2, ..,

хп

и известных

постоян

ных величин, независящие от оцениваемого параметра

а.

Ины

ми

словами,

а н ш к н

а п е

р х н

являются случайными величинами.

Вероятность

а называется

д о в е р и т е л ь н о й

в е р о я т н о

с т ь ю :

{йнижн <

а <

а в е р х н } =

«•

(4.20)

Она

характеризует

степень доверия

к утверждению. а п н т н

а <

я в е р х н .

Очевидно,

что с вероятностью

(1 — а)

истинное

значе

ние

параметра лежит

вне доверительного

интервала. Эту вероят

но

'иость (1 — а) называют д о в е р и т е л ь н ы м у р о в н е м . Из рис. 15, а видно, что 1 — а = [3: + В 2 , где р\ и 62 — вероятности того, что истинное значение параметра окажется соответственно левее я.шжн и правее о в е р х 1 Г

аиижн а а авсрхн

аиижн	а а а6ерхн
	6

					1	Чч	'	6
					1
				•	а в	а	Щерхн
				Да)
Р и с .		15.	Д в у с т о р о н н и е	1-А 1
{а,	б)	и	о д н о с т о р о н н и е	1-А 1
(в,	г)	д о в е р и т е л ь н ы е и н
т е р в а л ы			д л я п а р а м е т		•	О	^^
			р а а.		•	О	^^	Л
				инижн	а	л
				инижн	а	а

Обычно на практике рассматривают симметричные доверитель ные интервалы (см. рис. 15, б), для которых р\ = В2 = В и, сле довательно, 1 — а = 2 В,

а = 1 - 2В, В = (1 - а)/2.

(4.21)

Часто при решении	практических	задач представляют интерес
не обе доверительные	границы, а	какая-то одна. В подобных

случаях рассматривают односторонние доверительные интервалы

(см. рис. 15, в, г). Например, если искомый параметр а— положи
тельная величина, то односторонними	интервалами	для него будут
(О, а„с р х 1 1 ) и ( а Ш 1 Ж Н 1 о о ) . Очевидно,	что для таких	доверительных

интервалов	выражение	(4.20) превращается в два равенства:
	Р {аВ ерін> а ) = а ' .		р К ш ш . <		а} = «.	(4-22)
и, соответственно, р\ =		0, р 2 =	1 — а,	или	р\ =	1 — а, р 2 ~ 0
(см. рис. 15).
Задача	определения	доверительного		интервала		для неизвест

ного параметра а всегда разрешима, если известен закон распре

деления /(а) точечной оценки а (4.2) рассматриваемого									параметра.
В этих условиях величины а Ш 1 Ж Н				и а в е р х „			(см. рис. 15)		находятся
как	корни следующих уравнений:
для симметричного доверительного						интервала
	(			°ПГО8Н
	p { a < a , „ „ K 1 1 } =				\	f(a)da		=
				— со
					со
	= Р[а^ат}=				J / ( a ) d a = P ;				(4.23)
				"верхи
для	одностороннего доверительного				интервала			(— оо,	а в е р х п )
			л верхн
	Р ( a < a B e p	x „ ) =	§		f{a)da		= a или
			— о о
	со
	\	f(a)da==			1— a = P ;				(4.24)
	"верхн
для	интервала ( а н ш к н , оо)
			со
	Р { а > а и п	ж н ] =	I	f(a)da=a				или
	"нижв		"иткк
	"нижв
	\	j{a)da^			1— а = р.				(4.25)

— с о

Соотношения (4.23) — (4.25) получаются из определений до верительного интервала и вероятности попадания случайной ве личины а в заданный интервал (предполагается, что а — одно, из

возможных значений а). <> • Какую же а (доверительную вероятность) принимать в практи

ческих расчетах? Понятно, что величина а должна быть достаточно

большой (чтобы быть уверенным, что доверительный интервал дей ствительно накрывает а) и в то' же время не слишком близкой к единице (иначе доверительный интервал будет чрезмерно велик). Ориентируясь на требования ГОСТа [32] и учитывая специфику реакторостроения, можно рекомендовать (для инженера— реакторостроителя) принимать в расчетах следующие величины довери тельной вероятности:

а = 0,8 ~ 0,99;

(4.26)

а = 0,8 — в прикидочных, вариантных расчетах и в большинстве практических задач; а = 0,9 -f- 0,95 — в задачах, имеющих от ношение к объектам или явлениям, которые могут быть причиной аварии или привести к большим финансовым издержкам; а = = 0,99 — в крайних, ответственных, случаях.

Доверительный интервал для математического ожидания нор мальной случайной величины:

х	^=t(a,	п — 1 ) < М < х Н	?=Ца,п—1).	(4.27)
Уп	— 1		Уп— 1

Это двусторонний симметричныйдоверительный интервал, в кото ром с вероятностью а'лежит математическое ожидание М нормаль ной случайной величины X. Для определения интервала достаточ но провести п наблюдений и найти х, а по формулам (4.6) и t(a, п — 1) — по табл. П.4 в приложении, задавшись а.

Часто инженера интересуют односторонние доверительные ин тервалы для математического ожидания. Можно показать, что с до верительной вероятностью а

М^х	2—t(2a—l,	л—1);	(4.28)
Уп	— 1
M<Lx-\	^=^t(2a-^\,	п — 1).	(4.29)

У « — 1

Доверительный интервал для математического ожидания про извольной случайной величины. Доверительный интервал, в ко тором с вероятностью а лежит математическое ожидание М произ вольной случайной величины при известном ее среднем квадратаческом отклонении а, имеет вид

	х~ —^ua/2^M<x+-^=rUa/2,	(4.30)
	уп	уп
где	иу(у = а/2) — значение аргумента	функции Лапласа (3.11),
при	котором
	Ф (иу) = у.	(4.31)

Величина иа/2 легко находится по табл. П.1 в приложении.

Если о неизвестно, что при п > 10 вместо него в формулу (4.30) можно подставить ах [формула (4.9)]. В итоге получим приближен ную, но наиболее употребительную на практике интервальную оценку для /И:

4 K A I < * + - ? r « . / 2 .

(4-32)

Односторонние доверительные интервалы для математического ожи дания произвольной случайной величины имеют вид:

М^х	°—и.	і , или М<х + -^—и	, . (4.33)
	Уп а~Т	УК	а ~ 7

Доверительный интервал для среднего квадратического откло нения нормальной случайной величины. Симметричный довери тельный интервал, в котором с вероятностью а лежит истинное среднее квадратическое отклонение а нормальной случайной ве личины X, имеет вид:

° \ / п	1 х ( Н Г '	"— 0 <а<°]/		/ г / л ' ( ^ Г '		" — і ) . (4.34)
где х($, k) —значение аргумента х функции 9й					(х, k)	[см. формулу
(3.27)], при котором
		&>(х, k) =		8.		(4.35)
Величина	л:(8, k) легко находится по табл. П.З в приложении для
заданного k и 3* =		6. При k >	20
		х(8, k) ^k	+ u.	і W,		(4.36)
			- — P
			2
где и і	—корень	уравнения	(4.31)	при v =	6.
Т - Р	.				2

Односторонние а-интервалы для о имеют вид:

а<аЛ/	, либо о>а\/		.'(4.37)
У	х{а,п — 1)	у х(\—а,п—\)	v

Доверительный интервал для среднего квадратического откло нения произвольной случайной величины. Такой интервал может быть определен только приближенно. С вероятностью а среднее квадратическое отклонение о произвольной случайной величины при п > 20 лежит в интервале:

— ^ < * <	- ^ >	(4-38)
У\+ь	У\—ь
где ft = u a / 2 \| / ^ i . — l j / ( n —1) .	'

Односторонние «-интервалы для а имеют вид:

+ b'. и a<a1/Y

\—b'

(4.39)

(b' — b, если вместо а подставить 2 а — 1).

Доверительный интервал для вероятности события. Точечной оценкой для вероятности события является частота (1.31) Р с т = mitt появления события в серии из п независимых опытов. Возникает вопрос: насколько истинное значение р будет отличаться or оценки р = Р с т при заданном конечном п. Ответ на этот вопрос дает построение доверительного интервала, который с веро ятностью а накрывает р:

Р {Рнинш < Р <

Рверхн) = а

( 4 - 4 0 >

где доверительные

границы, симметричного а-интервала для р

Рішиш = Рнижн К

т> аУ>

Рверхн = Рверхн'К

аУ-

(4-41)

Эти функции приведены

в приложении,

табл. П.7.

Если для р требуется найти односторонний доверительный ин

тервал,

такой,

что Р{р

> p]miKli)

= а или Р{р <

р в

е р х а )

а, то

можно

воспользоваться

теми же

формулами

(4.41),

куда

вместо

а следует

подставить 2а — 1.

Для инженера интересны следующие три частных случая.

Вероятность

появления

события

в отдельном

опыте

мала

р<С0,\.

этих условиях

Р н и ж н = "вижв^'

Рверхн ~

""верхні»

(4.42)

где а н

ш к н

и а в е р х к — к о р н и соответственно уравнений

Q ( m - 1 ,

а н

и ж н ) =

(1 - а ) / 2 ;

Q(т, а в е р х н ) =

(1 +

а)/2.

(4.43)

Функция

Q (т, а)

табулирована

(см. табл. П. 6).

n > 9

^ -

1 j .

Исходя

из выражения

(3.63),

можно

записать

Р — иа/2

р (1 — p)/n^p<p

+ iia/2V

р(1—

р)/п.

(4.44)

3. Очень характерный для реакторостроения случай: произве дено п опытов, например испытано п каналов реактора, а интере сующее нас событие (допустим, выход канала из строя) ни разу не произошло (т = 0). Очевидно, что нижняя граница для вероят ности р рассматриваемого события равна 0. Верхняя доверитель ная граница, левее которой о вероятностью а лежит истинное р при т = 0:

Р В е р х и = 1 - ^ ' Ь Г ^ = l - e x p j l n ( l - a ) j ^ - [ I n ( 1 - а ) ] / я . (4.45)

Эта зависимость представлена в табл. П.8 в приложении.

§ 4.3.. Проверка статистических гипотез

Классификация гипотез. Исследуя случайную величину, всегда располагаем ограниченным числом наблюдений хх, х2, хп, ко торые представляют собой выборку объемом п (4.1) из генеральной (часто бесконечной) совокупности возможных значений рассматри ваемой величины. Основываясь на экспериментальных данных,, ис следователю приходится принимать или отвергать ту или иную ста тистическую гипотезу о случайной величине, т.е. генеральной сово

купности в целом. Причем всегда

имеем дело с двумя

гипотезами:

В0

— проверяемой

Нг

— противоположной ей

(альтернативной

или конкурирующей).

Например, гипотеза Н0 — случайная вели

чина X имеет равновероятный закон распределения,

Я 4 — вели

чина

распределена

по

закону,

отличному от

равновероятного.

В данном случае надо из двух

взаимоисключающих возможностей

выбрать

одну.

Такая

задача

называется проверкой

п р о с т о й

г и п о т е з ы .

Если

количество

исходных возможностей больше

двух,

то говорят о

с л о ж н о й

г и п о т е з е .

Например,

# 0

—

уже

упоминавшаяся

гипотеза,

а Я 1

— гипотеза,

состоящая

в том,

что X либо нормальна, либо распределена по логарифмически нор

мальному

закону.

Гипотезы о равенстве числовых характеристик двух или более

случайных величин

(допустим,

Н0

— математическое

ожидание

Мг

М2 ;

НІ — Мг

ф МІ) называются н у л е в ы м и

г и п о т е

з а м и .

Эти

гипотезы

проверяют

вопрос:

Мх

—

—Мо =

О?

Задача проверки

статистических

гипотез заключается не

в вы

яснении абсолютной истинности или ложности проверяемой гипо тезы Н0, а в установлении того, согласуется она с выборочными {экспериментальными) данными или противоречит им. Если гипо теза #„ принимается, это не значит, что она истинна, просто по •отношению. к имеющимся экспериментальным данным она более правдоподобна, чем Ht.

Критерий проверки. Выборка (4.1) является случайной. Это зна чит, что проведя еще п наблюдений надХ, получим аналогичную по

объему, но иную выборку: х\, х'ч,	х'п. Повторяя этот процесс
N раз, получим систему выборок типа (4.1), которые, вообще говоря,

•будут отличаться друг от друга. Если члены каждой выборки рас сматривать как координаты некоторой точки в/г-мерном простран


стве,		то очень наглядно все N выборок можно изобразить точками
этого		пространства zlt	z2,	z\,	z^. Очевидно, что среди		вы-
•борок		могут оказаться	такие, по отношению к			которым гипотеза
# 0	верна (наиболее правдоподобна), а по отношению к другим лож
на,	и ее следует отвергнуть в пользу конкурирующей гипотезы						Н1.
Необходимо иметь какое-то				правило,	критерий,	который бы	по

зволил по результатам наблюдений (по одной выборке z{) принять или отвергнуть исследуемую гипотезу. Для этого все простран ство выборок объемом п(/г-мерное пространство Оп) разбивают на

						(4.46)
Если выборка zt			попадает в область		«приемки» 0 п р , то проверне-
мая	гипотеза Н0		принимается, если		же — в критическую	область
0 к р ,	то отвергается.
Уровень значимости. Естественно, возможны такие выборки,,
что, основываясь			на них, мы вынуждены будем по нашему			правилу
отвергнуть		гипотезу # 0 ,		когда она верна, — о ш и б к а		п е р в о
г о	р о д а ,	или	принять гипотезу Н0,		когда она ложна, — о ш ігб-
к а	в т о р о г о		р о д а .	Обозначим	вероятности этих ошибок со

ответственно р и р\. Используя выражение для условной вероят

ности,	можно		записать
		Р -	Р {гг	£ О„р/Я0 };	р! = Р {zt	€ ОярОД .		(4.47>
Здесь	выражение			[zi £ О к р / # 0 ]	обозначает	событие,	состоящее-
в попадании точки zi в критическую область						при условии,		что ги
потеза	# 0	верна.		Подобно расшифровывается и событие				{г,- £
Опр/Ях).
Ясно,		что надо так выбрать			критическую	область	О к р ,	чтобы
Р и р\ были минимальны. Однако при заданном конечном объеме
выборки /г минимизировать обе вероятности						Р и р\ одновременно

не удается. Поэтому критерий проверки гипотезы выбирают сле


дующим	образом: задают		некоторую	достаточно		малую		величину
р и область		О к р находят	из условия	минимума		р х	( к р и т е р и й
Н е й м а н а		— П и р с о н а ) . Вероятность р называют у р о в
н е м з н а ч и м о с т и			к р и т е р и я		п р о в е р к и			г и п о
т е з ы .	Вероятность (1 — рх ) отвергнуть				гипотезу		# 0 ,	когда она
ложна,	называется м о щ н о с т ь ю			к р и т е р и я . .

Чем больше величина р, тем «жестче» уровень значимости и строже критерий. Приняв, например, Р = 0,05, мы обязаны счи тать, что событие, вероятность которого меньше 0,05, практически невозможно (при условии справедливости Н0), а если уж оно поя вилось, то это указывает на неправильность исходной гипотезы Я0 , (на значимость отклонения от Н0), т. е. следует принять ее альтер нативу Hv Это значит также, что в 5% случаев можем отвергнуть гипотезу # 0 , когда она верна. Часто оказывается, что чем больше уровень значимости р, тем мощнее критерий (больше 1 — pj), т.е. тем правильнее будем делать выводы относительно ложности ги

потезы Я 0 ,	меньше будем совершать ошибок второго рода (но боль
ше первого).
Понятие	уровня	значимости базируется	на п р и н ц и п е
п р а к т и ч е с к о й		н е в о з м о ж н о с т и ,	который надеж

но проверен и подтвержден практикой. Поскольку проверка от дельной статистической гипотезы представляет собой единичный опыт, то исследуемое при этом событие 2( ^••QKp, вероятность ко-

торого

мала

р =

0,01

4-0,05,

можно считать

практически

невоз

можным. В качестве наиболее употребительного уровня

значимости

для инженерных расчетов можно рекомендовать

|3 =

0,05.

Когда

из теоретических,

физических

или

иных априорных

предпосылок

следует

уверенность в

справедливости

проверяемой

гипотезы

Я 0 ,

можно

брать р =

0,01. В противоположных ситуациях

(когда есть

уверенность

ложности

Н0)

разумно

принимать

р =

0,1,

чтобы

повысить мощность критерия

(1 —

Р,).

Гипотеза

законе

распределения.

Проведено

наблюдений

над случайной

величиной

X, на основе

которых

получен

эмпири

ческий интегральный закон распределения Fa(x)

[см. формулу (2.2)].

Из физических, теоретических

(или

иных) соображений

принято,

что истинный закон распределения величины

имеет

вид

(х).

Требуется проверить эту статистическую гипотезу

(#„). Альтерна

тивной гипотезой в данном случае

будет Нг:

«X

распределена

по

закону, отличному от F (х)».

Есть

несколько критериев

проверки такой простой

гипотезы.

Они называются

к р и т е р и я м и

с о г л а с и я.

Критерии

согласия

дают

возможность

оценить,

является

ли

расхождение

между эмпирической Fg (х) и теоретической F (х) кривыми случай ным, несущественным или же оно не случайно, значимо.

1. Критерий	согласия Колмогорова. Сравнивая	две кривые F0 (х)
и F (х), находим	величину
	Л = max \| F3 (х) — F (х) \-Vn.	(4.48)

Если Л окажется больше некоторой величины Я|_р, то гипотеза Н0 должна быть отвергнута. Величина ?ч - р есть корень уравнения [33]

К(Х,_р) = 1 - р.

(4.49)

Она легко находится по табл. П.9 для любого р. Величина уровня значимости р для критерия Колмогорова обычно задается равной

или	большей	0,05.
2.	Критерий	согласия у? Пирсона. По этому критерию прове

ряется гипотеза Н0 о согласии теоретического дифференциального закона распределения случайной величины / (х) [см. (2.3)] с эмпи

рическим дифференциальным законом			/ э (х)	[см. (2.5)].			Задаемся
аналитическим видом / (х), и оцениваем его				параметры			на	осно
вании выборки (4.1), количество которых в				общем		случае		может
быть s.
По	результатам наблюдений	(4.1) х ь	х 2		х„	вычисляем			ве
личину	х2- Для этого предварительно интервал				[ х ь	хп]	разбиваем
на N подынтервалов ( 5 ^ N ^		12). Обозначим			&П] число наблю
дений, попавших в /-й подынтервал (/ =			1, 2,	.... W) шириной					Axj.
Тогда

/ =1

я"7

""/У

где п — объем выборки; р] — теоретическая вероятность попадания X в /-й подынтервал (xj, х} — кх/):

р\=

г1

. (4-51)

f(x)dx;

V] Р } = 1-

Величина

х2

будет

распределена

по

закону х2_Пирсона

(3.25)

k = N — 1 — s степенями

свободы [34].

Если вычисленное по формуле (4.51) значение X2 окажется больше

хр, то

гипотеза Я 0

отвергается,

поскольку

расхождение

между

7э (х)

и / (х)

значимо.

Гипотеза

Я 0

принимается,

если

%2 ^

х$.

Величина

находится

из уравнения

3* (х, k) — р по табл. П.З при

заданном

Р и при

/г =

N — 1 — s.

Гипотеза о равенстве математических ожиданий двух случайных

величин.

Случай

первый.

Заданы

две нормально

распределенные

случайные величины

имеющие одинаковые дисперсии

D (X) =

D (У)-=

а2

(величина

а2

может быть неизвестной). Тре

буется по результатам наблюдений над этими величинами

Хх,

Хъ,

•••> ХПі)

У\, У%і

1/па

(4.52)

проверить гипотезу Я„ о равенстве математических ожиданий М (X),

М (Y). Вычисляем	величину
f _	У") У / г і	" з [1 — 2 / ( л х 4 - / г 2 ) ]	^
	V 1=1	і=і
К р и т е р и й С т ь ю д е н т а		для проверки гипотезы Я 0	можно

сформулировать следующим образом: если полученное на опыте

значение

окажется по абсолютной величине больше

некоторо

го

числа

то гипотеза о равенстве М

(X) и М (Y)

отвергается

на

уровне

значимости

(3, если

меньше,

то принимается. Величина

tx_$

= t (1 — Р;

пх

+ пг

— 2)

находится

по табл. П.4

при а

= 1 — р и /г = лх

+ п 2 — 2.

распределенные

величи

Случай

второй.

X и

Y — произвольно

ны,

причем

дисперсии

D (X) — <з% Ф D (Y) = с$.

Для

проверки

гипотезы

Я 0 о равенстве математических

ожиданий М (X) =

(Y)

в этом случае

используются

приближенные критерии

(при

пх

^ 2 0 ,

По, >

20). Находим

Ojj.,

а\у по формуле (4.9), л:, у

по формуле

(4.6)

и величину

W = (x-y)

I V{o\xlnx)

+ (a\y!n2).

(4.54)

Если | W\ ^ «o,5(i-0), то гипотеза Я0 -принимается на уровне зна чимости Р; если | W] > «0 ,5(1-р),то отвергается в пользу конкури рующей гипотезы М (X) ФМ (Y). Здесь ыо,5и-р) — корень урав нения (4.31) при у = 0,5 (1 — Р) [см. табл. П.1].

Зак. 1282

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 315 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ