книги из ГПНТБ / Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов

Закон Вейбулла. Ему подчиняются пределы упругости и харак­ теристики усталостной прочности стали [22], а также время без­ отказной работы многих невосстанавливаемых изделий (электрон­ ных ламп, подшипников качения и других) [14, 18]. Закон Вей­ булла есть распределение крайнего минимального члена большой выборки для положительной случайной величины.

Р и с . 11. З а к о н В е і і б у л л а п р и X =

при v > 1 •

Частными случаями закона Вейбулла являются: экспоненциаль­ ный закон (3.4) при у = 1 и закон Рэлея (3.29) при 7 = 2. Для за­ кона Вейбулла

§ 3.2. Законы распределения дискретных

случайных величин

Гипергеометрическое распределение. Наибольшее - применение это распределение находит при контроле качества готовой продук­ ции. Ему подчиняется случайная величина т — число дефектных изделий среди п изделий, выбранных наугад из партии объемом N штук, содержащей М дефектных изделий. В общем случае к ги­ пергеометрическому распределению приводит следующая матема­ тическая модель. Имеется N предметов: М типа А и (N — М} ти-

па В. Из этих N предметов случайным образом выбирается п штук. Вероятность того, что среди п окажется точно т предметов типа А

где т — случайная дискретная величина с возможными значения­ ми: 0, 1, 2, л; N, М, п — постоянные целые положительные чис­ ла, М < N, п < N; C'N — N\ln\{N — л)! — число сочетаний из N элементов по п.

Формула (3.54) задает ряд распределения (2.7), который полу­ чил название гипергеометрического (рис. 12),

Математическое ожидание случайной величины т (среднее чис­ ло предметов типа А из п)

где- р = M/N — вероятность, что наугад взятый предмет из сово­ купности N окажется предметом типа А (например, будет дефект­ ным, если речь идет о контроле качества готовых изделий). Диспер­ сия и среднее квадратическое отклонение имеют вид:

N — l

(3.57)

т ( о ) = | / „ р ( 1 - р ) ( 1 - ^ = 1 ) .

Вероятность, что случайная величина т примет значение в ин­ тервале пц ^ т ^ т.2, вычисляется по формуле

тически совпадает с биномиальным (3.59) [23].

Биномиальный закон. К биномиальному распределению приво­ дит следующая часто встречающаяся на практике математическая модель: п элементов по очереди или одновременно участвуют в не­ котором опыте (испытании); по окончании опыта каждый элемент может либо попасть в состояние А, либо нет, причем вероятность

Такая модель может быть интерпретирована еще так: проводит­ ся п одинаковых опытов, в каждом из которых с вероятностью р может наступить некоторое событие А. Тогда вероятность, что за п опытов событие А произойдет т раз, выражается формулой (3.60), называемой формулой Бернулли. Если т рассматривать как ди­

(2.7), называемый биномиальным законом (рис. 13). Числовые ха­

т. е; биномиальный закон переходит в распределение Пуассона.

Закон Пуассона и простейший поток событий. У распределения Пуассона есть еще одно название: закон редких событий, т. е. со­ бытий, вероятность возникновения которых мала (р-*-0). Обычно достаточно р ^ 0,1 [14, 26]. Из выражения ясно, что к закону Пу-

ассона приводят те же самые математические модели, что и к бино­ миальному закону, но при малых р, п-*- оо и пр — const. Закон Пуассона имеет вид (рис. 14)

Закон Пуассона — это не просто частный случай гипергеомет­ рического и биномиального распределений. Он справедлив в более общем случае, когда рассматривается число т событий не в п опы­ тах, а вообще за некоторый произвольный интервал х (простран­ ства, времени и т. п.). Например, событием может быть появление

дефекта на канале реактора. Пусть среднее число событий (дефек­ тов) на интервале единичной длины (на одном погонном метре ка­ нала) постоянно и равно X. Тогда вероятность, что на интервале длиной х (допустим на всем канале) рассматриваемое событие про­ изойдет т раз, определяется по закону Пуассона

приближенной формулой, аналогичной (3.64), которая тем точнее, чем больше а [27]:

вости. Это означает, что композиция законов Пуассона есть также

акторостроителю постоянно приходится сталкиваться с теми или иными потоками событий, например потоком отказов реактора [28].

что вероятность появления т событий на интервале времени от t до t + не зависит от t (от места расположения промежутка At на временной оси), а является функцией только числа т и длины ин­ тервала Д^. О т с у т с т в и е п о с л е д е й с т в и я означает не­ зависимость появления того или иного числа событий в промежутке времени А^ от появления событий , в -предшествующий период t (от предыстории). О р д и н а р н о с т ь отражает практическую невозможность появления двух и более событий в один и тот же мо-

большого числа наблюдений п. В этих случаях надо пользоваться формулой

Вычисление о по формуле (4.6) приводит к систематической погреш­ ности

тивной оценкой дисперсии является смещенная оценка о2 , а не о\.

законы распределения (см. гл. 3) зависят от одного, максимум двух параметров. Если аналитическая форма закона известна, то для определения его конкретного вида достаточно найти величины этих параметров. Поэтому важной практической задачей является получение оценок параметров закона распределения по результа­ там наблюдений — задача параметризации.

Метод максимального правдоподобия. Возникает естественный вопрос: не существует ли какого-то общего метода нахождения оценок параметров законов распределения, удовлетворяющих свойствам (4.3) — (4.5). В статистике разработано несколько та­ ких методов [7, 20, 30, 31]. Наиболее интересным из них, дающим эффективную и (для практических случаев) состоятельную оценку параметра, является метод максимального правдоподобия. В ос­ нове его лежит понятие функции правдоподобия. Чтобы записать эту функцию, необходимо знать вид (аналитическую форму) закона распределения случайной величины, параметр которой оценивается.

Если рассматриваемая случайная величина дискретна и распре­ делена по закону Р(т, а), то функция правдоподобия записывается в виде

величины т, полученных в результате наблюдений над ней. Посколь­

где а — параметр закона (для иллюстрации выбран однопараметрический закон); хх, х2, xt, хп — вариационный ряд (4.1) для случайной величины X, распределенной по закону f(x, а).

Сущность метода наибольшего правдоподобия заключается в том, что в качестве оценки параметра а принимается такое его зна­ чение а, при котором функции L (или ее логарифм, что одно и то же) максимальна. Иными словами, а определяется из уравнения

а никакая другая, то вероятность такого события, равная L , долж­ на быть максимальна (ибо это событие произошло, а другое нет, т. е. другое менее вероятно).

Метод моментов. Есть такие законы распределения, для которых вычисление точечных оценок параметров по методу наибольшего правдоподобия приводит к большим вычислительным трудностям