Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 313 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

где М — математическое ожидание; о — среднее квадратическое отклонение случайной величины X. Функция распределения для нормального закона

F(x) = 0,b + Q) ' х—М	(3.10)
где Ф (и) = ~ = f ехр (—12/2) dt	(3.11)

функция Лапласа. Она табулирована (см. табл. П.I в приложении). Очевидно, что Ф(— и) = — Ф(и) — нечетная функция, Ф (со) =

	О	М-Зб	М М+б М+26 И+Зб х
	Р и с . 3. Н о р м а л ь н ы й з а к о н р а с п р е д е л е н и я .
=	— Ф(— со) =	0,5.	Заметим, что функция Лапласа однознач
но	связана с	так	называемой функцией ошибок erf(x) —

ф ( „ ) = І е г Г ( і ) ;	егГ() = 2Ф(1/2) .
Вероятность, что нормальная случайная величина		X примет
значение, лежащее вне интервала	(М — Зет, М + За),	равна 1—

— 0,9973 = 0,0027, т. е. очень близка к нулю. Поэтому в инженерной практике обычно считают, что в область М — За <Г х ^ М + За попадают практически все возможные значения нормальной слу

чайной величины, и в качестве максимального	отклонения X от
ее математического ожидания М принимают
\| Аммане I = З а -	(3.12)

Это так называемое п р а в и л о , т р е х с и г м .

Логарифмически нормальный закон. Логарифмически нормаль ному закону подчиняются величины напряжений и относительных удлинений при разрушении для некоторых легированных сталей, ис пользуемых в реакторостроении [15]; размеры частиц, получаю щихся в результате дробления [16, 17]; наработка до отказа у не которых невосстанавливаемых изделий, например электронных ламп определенных типов; время восстановления (ремонта или за мены) отказавшего устройства [18]; некоторые случайные величи ны, встречающиеся в экономике [19]. Из центральной предель ной теоремы А. М. Ляпунова [см. формулу (3.7)] следует, что при

определенных условиях			логарифмически нормально			распределена
случайная величина X =				п		— независи-
			П е , при большом п, где є;
			«= і
мые		случайные величины,		приблизительно	одинаково		влияющие
на произведение (нет доминирующих).
X	В	общем случае любая		неотрицательная	случайная		величина
	>	0 распределена логарифмически нормально, если ее логарифм
Y	=	1пХ распределен нормально,

где М и о — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормальной случайной величины Y. Воспользовав шись формулой (2.30), получаем логарифмически нормальный за кон для случайной величины X (рис. 4)

f(x)	=—-т=^	ехр 4 ( ^ ) 1			<^>
Математическое ожидание и дисперсия для				логарифмически
нормального закона
. М (X) = ехр (М + о72);			D (X.)	=
=	[ехр (а2 ) — 1] ехр (2М		+ о2).		(3.15)
Интегральный закон распределения имеет вид
	F(jc) =	0,5 + q>( І П Х ~ М у			(3.16)

Гамма-распределение. По этому закону распределяются время работы изделия до отказа, если этот отказ обусловлен усталостной прочностью материала [8І; наработка до отказа системы, состоя щей из невосстанавливаемого изделия (с экспоненциальным за коном распределения наработки) и дублирующего его, аналогич ного, но в. нормальных условиях ненагруженного изделия («холод ный резерв»); время работы между несмежными отказами (первым

и третьим, первым и четвертым и т. д.) при условии, что наработка

до очередного отказа (смежного) распределена экспоненциально

114];	наработка	до бтказа, который наступает из-за появления
а >	1 пиковых	выбросов (например, всплесков нагрузок), при ус

ловии, что поток этих выбросов является пуассоновским с пара

метром Я[8] (кстати, эти величины как раз и будут' двумя	парамет-
п
рами гамма-распределения); случайная величина X = 2	где

все Xi имеют одно и то же экспоненциальное распределение (3.4).

Р и с . 4. Л о г а р и ф м и ч е с к и н о р м а л ь н ы й з а к о н		п р и Мх =
= М2=	о"! = 1, а2 = 4 ~ с т і ; М о = е	М ~ а ' -

Дифференциальный закон для гамма-распределения

(рис. 5)			(
' 0 при х < О,
/ ( ^ ) = U ( ^ ) « - 1		. . .	^ .
——'	ехр(—Кх)		при х>0; Х > 0 ;
г W			а > О,
где Г(а) — так называемая		гамма-функция:
		оо
Г(а) =		\| х а - 1 е х р ( — x ) d x ,

которую можно рассматривать как обобщение понятия ла на случай дробного аргумента а[20], поскольку

Г (а) = (а — 1) Г (а — Г):

имеет вид

v(3.17)

(3.18)

факториа

(3.19)

При а — целом и положительном Г(а) = (а — 1)(а — 2) ...2-1 =

=	(а — 1)!.	Полезно		помнить,			что	Г(1) = Г(2) =		1; r(V2 ) =
=	/ я ; Г(3 /2 )	=	У я/2;	0,8856< [Г(1 <				а <	2)] < 1.
	Основные	числовые		характеристики				для	гамма-распределения:
		М	(X) = а/к; D (X) = а/Я2 ; а = Уа/к.							(3.20)
Интегральный закон для					гамма-распределения имеет					вид
				їх
			F (х) — [ г°~' е			х р ( ~ z ) dz = уа			{he),	(3.21)
					Г	( а )
где	Уа(и) =	Г"	2а — ЄХР (		Z)		неполная		гамма-функция, она
где	Уа(и) =	\		——— dz—			неполная		гамма-функция, она
		о	Г ( а )

табулирована и приведена в табл. П.2 в приложении.

О і 2 J 4 5 6 7 S *

Р и с . 5. Г а м м а - р а с п р е д е л е н и е п р и к = 1 ; М о = ( а — 1 ) Д .

Непосредственно из рис. 5 видно, что при возрастании ос гаммараспределение приближается к нормальному закону. Например,

при а ^ 10
Р {а < X < Ь) = уа (Щ — уа(ка) s	Уа/%	а — ( а / Х )	. (3.22)
	Уа/%	J

Из гамма-распределения как частные случаи получаются мно гие известные законы распределения.

1. При а — 1 — экспоненциальный закон (3.5).

2. При а — k (k — целое число) — закон Эрланга:

/ ( * ) = * .	ехр(—Хх).	(3.23)
(ft—1)!
	величины X =	fe
Это закон распределения случайной	величины X =	где все
		«"=«

X; подчиняются экспоненциальному закону с параметром А, (на пример, распределение промежутка времени между первым и k-м от казом сложной системы).

Р и с . 6. З а к о н р а с п р е д е л е н и я х2 ; M o = k — 2 п р и k » 3.

3. При	а =	£/2 (& — целое число)	и % = V 2	— распределение
X2 с & степенями свободы (3.25).
Закон распределения %2 Пирсона. Рассмотрим случайную ве
личину X,	равную сумме квадратов		нормально	распределенных
независимых случайных величин:
		•X = Y* + Yl + ...+Yl=	2 У?.		(3.24)
			(= і
Если все	Yt	имеют нормированные	(а — 1) и	центрированные
{М — 0) нормальные распределения, т. е. f(yt) — -у=					е х Р ( — У?/2),
то случайная величина X распределена			по закону у? с k степенями
свободы (рис. 6)
		[ — ї 7 о ^ ( * / 2 ) - 1	е х р ( — х / 2 ) .		(3.25)

Здесь х > 0, k — целое число, равное числу	независимых	случай
ных величин. Для распределения х2
М (X) = k\ D (X) = 2k; а =	У 2k.	(3.26

Распределение х4 является устойчивым законом, так как сумма (композиция) нескольких независимых случайных величин, рас пределенных по закону %2, имеет также ^-распределение с числом степеней свободы, равным сумме степеней свободы слагаемых.

Интегральный закон распределения %2 имеет вид:

JVA/2) exp ( — х / 2 ) dx

	T ( A / 2 ) - 2 * / s	1-&{х,	k),	(3.27)
	T ( A / 2 ) - 2 * / s
где
SF>(x, A ) -	x(*/2 >-' exp	Г (й/2)-2k/2
j	x(*/2 >-' exp	(—x/2)dx
функция, называемая	интегралом	вероятности %2,	она	приведена

в табл. П.З в приложении. Очевидно, что SF>iO,.k)= 1, 5а(оо,- -k)~ 0.

Величина $>{х =	10, А = 6) изображена на рис.. 6 заштрихованной
площадью.
В соответствии с теоремой		А. М. Ляпунова (3.7) случайная ве
личина х2 (3-24)	при больших	k(k	20) распределена практически

нормально с М = k и а = У2k, т. е.

9*Qc,k)s*0,5

— <b[(x — k)/V2kl

(3.28)

Закон распределения эксцентриситета (закон Рэлея). Закону

Рэлея

подчиняется

случайная

величина

эксцентриситета е =

= \/ X2

•+ Y2, рис. 7

(величина

смещения центров

коаксиальных

цилиндров, отверстий

и т. п.), при условии, что X и. Y распределе

ны нормально с М(Х)

M{Y)

= 0 и о(Х) =

o(Y) =

о.

Закон

распределения

эксцентриситета

имеет вид (рис. 8)

/(е) =

•еехр

^ 2

(3.29)

При этом

М(е)

аУя/2;

D (є) =

а2

(2 — я/2);

(3.30)

•

а (є) =

а К 2 — л/2! -

• ;

^ ( е ) • =

1 _ е х р (—е2 /2а2 ).-

(3.31)

Закон

распределения

Стьюдента.

Ему подчиняется .случайная

величина

• .

.'. і

YlV-Xlk,

\ ,

і ; ! І І - \ . - . . 0

(3.32)

2Ь

где	Y — случайная		величина, распределенная			по нормированному
и центрированному			нормальному закону		(т. е. а = 1 и М = 0 ) ,
а X — по закону %2 (3.25) с k				степенями	свободы, причем X и Y
независимы между			собой.
Закон распределения Стыодента с k степенями свободы имеет
вид	(рис. 9)
f	( Л	Г [ ( А - Н ) / 2 ]			1 +	£ ч - « + „ / . _ ( 3 3 3 )
/ h	U	VnkT(k/2)
Области возможных значений: —				оо < ^ < с о ; k		> 1 — целое. Кри
вая	fh(t)	значительно медленнее		спадает к оси t, чем нормальное
				распределение. Однако это спра
				ведливо лишь при малых k. При
				k >- оо (k ^		30) закон Стьюдента

								46 С
Р и с .	7.	Э к с ц е н т р и с и т е т		осей к о а к		Р и с .	8. З а к о н р а с п р е д е л е н и я э к с
	с и а л ь н ы х ц и л и н д р о в .						ц е н т р и с и т е т а ; М о = а .
очень близок к центрированному						и нормированному		нормальному
закону		(фактически		не	зависит	от k).	Для закона Стьюдента
М	(t) = 0; D (t) =				— 2) (при k >		2), а =	— 2). (3.34)
В случаях А = 1 и А =					2 дисперсия D(^) = оо.
Интегральный			закон		имеет вид
			t
		F(t)=Bk\[l+-r)				.dt = -[l+cc(t,k)],		(3.35)
где
		а (*, ft) =	\| м * ) Л = 2 Я Л \| ( і + -					(3.36)
			- <			о

— вероятность, что случайная величина, распределенная по за кону Стьюдента, попадает в интервал (— t, t). В инженерных при ложениях обычно бывает нужным отыскивать не вероятность а по заданным t и k, а величину t, соответствующую заданным а и k.

Обозначим ее ta. Если уравнение (3.36) разрешить относительно t, то найдем

		ta	= / (a, k).		(3.37)
Эта функция приведена		в табл. П.4 в приложении. Заметим, что
при k 2? 30
a	(ta,	k ^	30)	= а (/а, со) =
=	Ф ( О -		Ф (	Ч ) = 2Ф (ta).	(3.38)

	- 3 - 2		-1	0	1		2	3 t
	Р и с . 9 . З а к о н р а с п р е д е л е н и я С т ь ю д е н т э п р и £ = 1 и k= 3 и н о р
	м а л ь н ы й	з а к о н	с Q—l,	М — 0. В с е к р и в ы е		С т ь ю д е н т а		f^t)	п р и
	1 < k <	оо л е ж а т в о б л а с т и м е ж д у			^ Н о р м	М и	/&=і	(0 —	з а _
		' "		к о н о м К о ш и .
Закон распределения Фишера. Этому закону подчиняется слу
чайная	величина
			*	=					(3.39)
где Y1	и У 2 — независимые случайные величины, распределенные
по закону х2 (3.25)			соответственно с		kx и	А2	степенями		свободы.
Закон	Фишера	имеет вид (рис. 10)
									. (3.40)
Область возможных значений: 0 <1 х <С оо ;							^> 1,	А2 >	1 — це
лые числа.

Математическое ожидание М(Х) существует при k2 > 2 , диспер сия D(X) — при k2 > 4:

М(Х) =	;	D{X) = 2ftf (kt +		k2—2)
ft.,-2			* i ( * a - 2 ) » ( A , - 4 )
a =	^	-, /	2 ^ + / ^ - 2 )		(3.41)
	A i - 2 ' K		ft^fto-4)	-	(3.41)
	A i - 2 ' K		ft^fto-4)	-	1
					1

Интегральный закон Фишера в инженерных приложениях исполь зуется редко. Значительно чаще используется величина лср, явля-

р-Р(х>хр}

Р и с . 10.. З а к о н р а с п р е д е л е н и я			Ф и ш е р а ; М о			* i ( А . + 2)
	п р и k± ^		2.

ющаяся	корнем уравнения	J f(x)dx — Р или ^(лгр) = 1 — J5, где
		*р. .
р численно равно заштрихованной площади					на	рис. 10.	Иными
словами,	хр — значение случайной		величины		X,	вероятность по
пасть правее (стать больше)		которого		равна	р, а левее		(1 — Р).
Очевидно, что величина х§ является функцией						трех аргументов:
	Хр = х (р, 'klt			k2).			(3.42)
Она приведена,в табл. П.5 в приложении. Заметим, что
	х (Р, kx, k2) =	Их (1 —'р, -kit			ftj). •		(3.43)

Поэтому таблицы величин д:р для закона Фишера обычно содержат значения Р < 0,5. При-"больших Р надо пользоваться формулой

(3.43).

Закон распределения крайних значений (двойное показатель ное распределение). Рассмотрим некоторую случайную величину X , например, глубину микротрещины на оболочке твэла. Замерим п значений этой случайной величины (т. е. измерим п конкретных микротрещин) и расположим их в порядке возрастания


	^шш = ^-1> -^2> •••> ^-71-11 Хп ~ -^-макс				(3-44)
Крайние	значения этой выборки Х м 1 1 „ и Х м а		к с	являются	случай
ными величинами, они и подчиняются закону			распределения край
них (или экстремальных)		значений.
Законы распределения		крайнего значения		Х к р для выборки,
состоящей из п значений случайной величины X,- имеющей инте
гральный	закон распределения [W (х) (2.1)] и			дифференциальный
\\р (л;) (2. 3)] записываются		в виде:

при			Х к р	=	Х1 й
					МПН
F	(х) =	Р { Х М 1 Ш <		х)	= 1 -	[1 - Y (х)]";
	/	(х) =	n [1 — V (я)]"-*ф (х);
при			Х к р	=	Х й
					макс
F(x) =	P { Х м а к с <		х} =		п
F(x) =	P { Х м а к с <		х} =	П Р {xt < х} = [У (х)]«;
				«=1
		f(x)	= п [У (х)]"-Ч\)			(х).

(3.45)

(3.46)

(3.47)

(3.48)

ЕСЛИ случайная величина X распределена по нормальному за кону (3.9), то крайние члены выборки объемом л-»- оо подчиняются двойному показательному закону [20]:

Для	Х ш ш
	F(x)=	l - e x p I - e x p ^ - A f O / ^ p } ] ;				(3.49)
для Х„
	F{x)	= 1 — ехр[ — ехр{(х—М2 )/ок р }];				(3.50)
где
	М1 = М — aylnn		+ a	.,,	—;
	М2=	M+oY In	п—а	In In n +	l n 4 л
				2"l/2 In n
		°кр~УбШ		'
Mao	— параметры исходного		нормального		закона.

Двойное показательное распределение хорошо описывает та кую случайную величину, как максимальный выброс радиоактив ного вещества в атмосферу атомной электростанцией за заданный период времени М21]. •

<<< < Предыдущая 1 23 / 313 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ