Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3126 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

степенным

снижением его МОЩ

Т а б л и ц а

14.2

НОСТИ,

со

стоимостью

канала, с

П о т е р и , отн.

ед.

последствиями разного типа от

Состояние объекта

казов,

с работой канала в опас

Действие

оператора

5 ;

ном режиме

(50%

Gk),

приво

•s,

1 s<

дящей к сокращению его ресурса

• At

и т. д., допустим,

показал,

что

АІ

• 12

потери

могут

быть

оценены ве

А3

личинами,

приведенными

АІ

табл.

14.2.

Аь

Каждая конкретная величина

потерь

П г ?

является

результа

потери

по

том решения

следующей экономической задачи: какие

несем,

если

примем

решение

Ait

объект

при этом

будет

нахо

диться

в состоянии

Sj?

Как

уже

отмечалось,

условно считают,

что

потери

П ; ;

для

противной

стороны

(объекта,

природы)

представляют

собой выигрыши.

Итак,

какое же

действие

(стратегия) будет

оптимальным,

ка

кое решение оператору следует принять, какими критериями при выборе решения руководствоваться?

§ 14.2. Критерии выбора оптимальных решений (стратегий)

Минимаксный критерий. Поскольку вероятности состояний объекта pj = P{Sj} неизвестны, то при выборе оптимальной стра тегии можно поступить самым осторожным образом, рассчитывая

.на наихудшее априорное распределение вероятностей pj. Худшим вариантом, очевидно, был бы случай, в котором вместо пассивной природы был бы активный мыслящий противник. Следовательно, наиболее осторожному подходу к выбору оптимальной стратегии будет отвечать использование так называемого принципа мини- макса, который применяется для нахождения стратегий в активной игре двух противников [118—121]. Согласно этому принципу, принимающий решение (рассчитывая на наихудший случай) на : ходит сначала максимально возможные потери при каждом из

своих предполагаемых действий		At (і = 1, 2	т);
П 4 = т а х П и ,				(14.1)
	_	і
а затем выбирает то действие,	которому соответствует			минимальное
значение этих максимальных	потерь
т і п П і = = т і п т а х П г ї = = с в .				(14.2)

Противник, будучи осторожным, также рассчитывает на худший случай, т, е. выбирает такую стратегию, при которой его мини мально возможный выигрыш максимален:

т а х т і п П , ; = с н . -.

j... І

Итак, минимаксный критерий реализуется следующим образом. Каждый из противников, просматривая свои стратегии по табл. 14.1, записывает наихудший разультат, который он может получить при каждой из них, затем выбирает из этих результатов наилучший (для себя) и принимает соответствующую ему стратегию.


Величина	св называется		в е р х н е й ц е н о й	и г р ы,		а с„ —
н и ж н е й.	Если св	= си	= v, то говорят, что игра		имеет	с е д -
л о в у ю т о ч к у .		В примере § 14.1 седловую точку			можно легко
найти, просматривая		табл.	14.2. Но прежде чем	перейти		к этой

процедуре, необходимо вычеркнуть из таблицы потерь дублирую щие стратегии и заведомо невыгодные, над которыми доминируют другие.

Так, если для t'-й и А-й строк платежной матрицы	выполняется
неравенство
n u ^ n h ] для всех / = 1, 2, ...,п,	(14-4)

то говорят, что строка і доминирует над строкой k и последнюю следует вычеркнуть (стратегию k невыгодно применять, поскольку при ней потерн больше, чем при стратегии і). Иногда говорят, что стратегия k подчинена стратегии і. Аналогично Sr доминирует над Si при

П і г ^ г П а для всех і — 1, 2 , т .

(14.5)

В табл. 14.2 S3 доминирует над 5 4 . После вычеркивания столб ца S4 обнаруживаем, что строка А2 доминирует над Аг. В резуль тате вычеркивания строки Аг таблица потерь приобретает вид табл. 14.3.

Т а б л и ц а

14.3

Потери после вычеркивания подчиненных стратегий, отн. ед.

7	'		S .	макс тт .
			S .	/	У
	12	4	4		12
А3	6	5	5	6 =	с в
А4	8	4	10		10
Аь	12	13	0		13
min тт	6 = с н	4	0	—

В последних столбце и строке таблицы выписаны соответственно максимальные проигрыши (потери) для стратегий Аг и минималь ные выигрыши для стратегий 5у. Выберем из действий А2, А3, А4, Аь то, которому соответствуют минимальные (из максимальных) потери. Таким действием будет А3. То же можно сделать для сос тояний Sj. Если бы природа была игроком, то она выбрала бы свою

максимальную стратегию Sx. Очевидно, что в рассматриваемой			игре
св = ся	= v = 6, т. е. 6 — седловая точка. В этих условиях		стра
тегия А3	будет искомой минимаксной оптимальной	стратегией.
Если таблица потерь имеет седловую точку, то		решением	игро

вой задачи всегда является одна единственная стратегия (соответ ствующая седловой точке, А3). В этом случае говорят, что решение


получено в виде ч и с т о й		с т р а т е г и и .	Однако далеко не все
задачи имеют седловую точку. Очень часто оказывается, что					свфся.
Тогда решение может	быть	получено только в виде		с м е ш а н
н о й с т р а т е г и и .	Оно формулируется		так: поведение		игрока
оптимально, если в идентичных игровых ситуациях он				применяет
с определенными частотами		ph несколько действий Ah,		найденных

в процессе решения игровой задачи. Иными словами чередует (сме шивает) несколько определенных действий в определенной про порции. Причем это чередование должно производиться в случай ном порядке. Оптимальная смешанная стратегия считается изве стной, если найдены действия А к и частоты их применения pk.

Использование таких оптимальных стратегий позволяет умень

шить	потери	одной стороны	по сравнению с верхней ценой	игры
св (св	всегда	соответствует	какому-то одному действию At)	или

увеличить выигрыши другой стороны до величины большей, чем нижняя цена игры сн .

Вообще оптимальные смешанные стратегии обладают таким свойством, что если обе стороны придерживаются их, то потери и выигрыши сторон равны цене игры v [118—121]. Следует особо подчеркнуть, что если существуют чистые оптимальные стратегии, то при их реализации обеими сторонами св = сь = v. Если чистые стратегии отсутствуют, а обе стороны придерживаются оптималь ных смешанных стратегий, то св > v > сн . Так что v — проигрыш (выигрыш) при оптимальных стратегиях сторон. Поскольку чистую

стратегию	можно	считать частным случаем	смешанной (при
ph = 1, k	= 1), то	справедлива запись с в ^	v ^ сн .

Отклонение от оптимальной смешанной стратегии одной сто роны увеличивает проигрыш этой стороны и, следовательно, уве личивает выигрыш другой. Однако, если одна из сторон придер живается своей оптимальной смешанной стратегии, а другая при меняет действия своей смешанной стратегии, но смешивает их не оптимально, в произвольной пропорции, например использует только одно действие, то цена

игры все	равно остается			рав-		Т а б л и ц а	14.4
ной v. Проще всего найти опти					Потери для игры 2 X 2
мальные	смешанные , стратегии				Потери для игры 2 X 2
мальные	смешанные , стратегии
для игры 2 x 2		(табл.	14.4).
Если	нет	седловой	точки
(а наличие ее в матрице 2 x 2				го			п•13
ворит о том, что не вычеркнута							п•13
додчиненная стратегия),			то	оп	А,	П.	п1.
тимальные частоты рг и			р2 при-		А,	П.	п1.
тимальные частоты рг и			р2 при-		•2	•21	22

менен н я

действий

Ах

Л2

соответственно

можно найти

сле

дующим образом. Поскольку по определению цена

игры v

равна

потерям

При реализации

оптимальной смешанной стратегии,

сле

довательно,

для случая,

когда

противник

применяет

только

стратегию

Sx, v =

PxTLxi

Рг

П 2 1 (v — математическое

ожида

ние

потерь). Аналогично

для

Рі

П 1 3

+ р 2

П 2 2 . Так

как

Рг =

рх,

то из двух

уравнении легко

находим

P l =

П 2 3

— П 2 1

(14.6)

П п + П и — П і а — П 2

Решение игры 2 X її можно найти графическим способом. Про

иллюстрируем это на следующем примере.

Пример.

Требуется выбрать оптимальный

образ

действий

при

решении вопроса: выводить реактор на новый, более высокий уро

вень мощности — Ах

или не выводить — А2-

При этом

возможны

следующие

состояния

объекта: S x — аппарат

имеет

необходимый

резерв

для

форсирования мощности;

5 2

— в

одном

канале

запас

до кризиса теплообмена при кипении

недостаточен;

5 3 — в

10 ка

налах

запас недостаточен; 5 4 — большая

часть зоны

не

имеет

запаса. Таблица

потерь для данной задачи

имеет вид (табл.

14.5).

Т а б л и ц а

14.5

П о т е р и д л я

и г р ы 2 x 4 , опт.

ед.

Ах

100

300

Аг

100

Видно, что 5 4

доминирует

над S3

(Ss

вычеркиваем).

Седловой

точки не имеется, стало быть, решение должно быть найдено в виде смешанной стратегии. Для отыскания графическим способом оптит мальных частот р х и р 2 (с которыми надо применять действия Ах и А 2 соответственно) необходимо из концов отрезка единичной длины (рис. 32) отложить по вертикалям величины потерь, соответствую

щие стратегиям Slt	5 2 и 54 . На одной вертикали следует	отложить
потери, отвечающие	действию Аг, а на другой — Л 2 .	Соединив

прямыми одноименные точки Sj, находим линию максимальных потерь (жирная ломаная линия) и ее минимум — точку М. Ордината этой точки равна цене игры v — 75, а ее проекция N разбивает от-1-

резок	АхА2 на	две части, численно равные искомым частотам
Рх =	1/4 и р 2 =	3/4. (Заметим; что если Аг	применять с частотой
рх =	1, т. е. Л2	вовсе не применять, то возможные максимальные
потери "будут самыми большими, см.^точку S4			на левой вертикали.)

Итак, в одном случае из четырех нужно применять стратегию At, а в трех — Л2 , причем выбор стратегии в соответствии с этими час-

тотами следует производить случайным образом (например, всякий

раз	наугад вытягивая жетон из	урны, содержащей один жетон
Аг	и три жетона А2).	ситуация впредь не будет пов
	Если рассматриваемая игровая	ситуация впредь не будет пов

торяться, т. е. является единственной в своем роде, то очевидно, что оптимальная смешанная стратегия полностью не сможет быть реализована. В этих условиях разумно принять решение (действие), отвечающее наибольшей частоте А2.

А1 р2 N Pf А2

Р и с . 32. Г р а ф и ч е с к о е р е ш е н и е и г р о в о й з а д а ч и 2 Х п .

Итак, рассмотрены методы решения игровых задач, имеющих седловую точку, размером 2 X 2 и 2 X л. Если же после удаления дублирующих и подчиненных стратегий седловая точка не найдена и размер матрицы превышает рассмотренный, то для поиска опти мальной смешанной стратегии можно воспользоваться методами линейного программирования [122—125] и последовательного приб лижения [120, 1213 (им специально посвящен § 14.3). Поиск седловой точки обязательно должен этому предшествовать, так как при наличии седловой точки найденная смешанная стратегия не будет оптимальной.

Критерий минимаксного риска. Он является модификацией пре дыдущего принципа (минимакса) [119]. При его использовании

Б рассмотрение принимаются не только максимальные, но и мини мальные потери. Для этого таблица потерь (см. табл. 14.1) заменяет ся на матрицу рисков. В данном случае риск для любой ячейки табл. 14.1 определяется как разность:

г а = П и -	П т и ф	(14.7)
где П м ш ц - — минимальные потери	для /-го столбца таблицы.	Есте

ственно, чем больше потери (платеж), тем больше риск. В получен ной таблице выбирается строка (действие), имеющая наименьший

максимальный риск. Так, для		табл.	14.3 матрица	рисков	будет
иметь вид табл.	14.6.
			Т а б л и ц а		14.6
	Р и с к и ,	отн.	ед.
	S,		S,	max	г . .
	S,		S,	/	;
Л ,	6	0	4		6
А\	0	1	5		5
Л 4	2	0	10	10
Аь	6	9	0		9

Оптимальным будет действие А 3	, имеющее	минимальный риск
из максимальных. По двум критериям	(см. табл.	14.3), оптимальным

оказалось одно и то же действие А 3 . Однако в общем случае опти мальные по разным критериям действия могут быть различными.

Критерий «пессимизма — оптимизма» Гурвица. Оба предыдущих критерия очень осторожны. Они предполагают самые худшие ситуации, т. е. в определенной мере пессимистичны. Для того чтобы учитывать и лучшую ситуацию, был предложен третий критерий.

Для его применения задаются фиксированным числом 0 <		а < 1,
называемым показателем «пессимизма — оптимизма». Для		каждого
действия	А І вычисляются потери:
	П а = а П ? + ( 1 — а ) П ? ,	(14.8)
где П/,	П" — соответственно наибольшие и наименьшие	потери

в строке і табл. 14.1. Предпочтительнее будет то действие, у которого'

П а	меньше. При а = 1 получаем минимаксный критерий, а при
о, = 0 — критерий миниминных потерь.
-	Критерий Лапласа. Три рассмотренных критерия обычно исполь-'

зуются, когда совершенно неизвестно, какое из состояний Sj в дей ствительности будет иметь место (т. е. каковы вероятности состоя ний). Если нет достаточного основания считать одно состояние более; вероятным, чем другое, то можно воспользоваться критерием Лап ласа, т. е. считать все состояния равновероятными. При этом нужно

вычислить математическое	ожидание	потерь для каждого дей
ствия А І
ЛГ(П\| ) =	^п( П а + П „	+ . . . + П , п )

и выбрать то, которому отвечает меньшее М (Пг ).

Выбор стратегии при известных вероятностях состояний. Если известны (из предшествующего опыта) вероятности pj = Р [Sj] появления состояний Sj, то нет нужды вычеркивать подчиненные стратегии из табл. 14.1, а целесообразно выбрать такое действие (стратегию), которое имеет наименьшее математическое ожидание потерь:

			М(Щ=ІІ,1р1			+ П п Р	і + ...+ТІіпрп.			(14.9)
Если	в примере			§ 14.1 известны вероятности состояний: рг =						0,03;
р2 =	0,02;		рз =	0,05;	р 4 =	0,90,	то наименьшее		математическое
ожидание			соответствует действию				А Ь .
Рассмотрен ряд критериев для выбора решения при неопреде
ленности. Вопрос о том, какой из							критериев	предпочесть,		лежит
целиком		в	компетенции		инженера,		ставящего	и решающего		кон
кретную		задачу,		которому		известны ее тонкости			и особенности.

§ 14.3. Нахождение оптимальных смешанных стратегий методами линейного программирования и последовательных приближений

Симплекс-метод. Игровые задачи могут быть просто сведены к задачам линейного программирования. В последних обычно тре

буется минимизировать					(или	максимизировать)			линейную форму
			Ф =	сххх +		с2 х2 +	... +	стхт		(14.10)
при	заданных		условиях:
			а П х 1	"Т~ 0-гл.х1		~Ь ••• .~Г" йтіХт		— Ьх\
			CLxoXi	-f-	#22^2	" '	^ m % X m ~		^2>	ілл	i n
			&lnxl	~f~ a2nx2		"T~ . . . ~b Gmnxm		—	b n . J
Иными словами, необходимо найти такую совокупность зна
чений хх,		х2,	хт,	которая удовлетворяет условиям (14.11) и
при которой ф = min				(или max). Причем предполагается,						что	все
х£ ^	0 и	п ^	т.					X п имеет оптимальную
	В свою очередь, если игра размером т							X п имеет оптимальную
смешанную стратегию, то каково бы ни было состояние										природыу

/ = 1, 2, п, применяя эту стратегию, всегда получим потери, меньшие или равные цене игры v, т. е. можно записать:

Пц/>і +		П 2 1 р 2	+	... +	П т 1 р т	<	v;
П1 2 рі	+	П 2 2 р 2	+	... +	П
П1 7 1 рі	+	П 2 7 1 р 2	+	... +	П т п р т	<	v.	(14.12)

S P I = I

1=1

Эти неравенства легко превратить в равенства путем введения п до полнительных фиктивных переменных (по одному в каждое уравне ние) РІ^О, і = т + 1, т + 2, т + п. Например, п-е неравен ство превратится в равенство

v = n l n p 1 + n 2	n	р 2 + . . . + П т п рт +		(14.13)
Вычтем из этого равенства		последовательно по одному		из п — 1
предыдущих неравенств,	аналогично преобразованных.			Получим
( П 1 в - П 1 У ) P l + (П3 „ - П2}) р 2 + . . . + ( П т п			-
~ Umj)	Рт + Pm+n ~ Pm+j) = °>			(14.14)

i2= 1 РІ = 1; / = 1, 2,... ,п, р , ^ 0 , Z= 1,2,..., т			+ п .

Эту систему из п + 1 уравнений можно рассматривать как условия (14.11). В качестве линейной формы, которую необходимо мини

мизировать,	выбираем уравнение (14.13),			зависящее	от	tn + 1
неизвестных	р х , р 2 ,	рт и фиктивного		рт+п.
Таким образом, задача нахождения смешанной стратегии свелась
к задаче линейного		программирования:	необходимо найти			такие
значения частот pt		применения действий	At	(см. табл.	14.1), при

которых цена игры минимальна и удовлетворяются условия (14.14). Подобного рода задачи линейного программирования решаются с помощью так называемого симплекс-метода*. Это метод последо вательных приближений, на каждом шаге которого, опираясь на некоторое приближение (опорный план), находят значение линей ной формы, меньшее, чем на предыдущем шаге.

Введем векторные обозначения. Обозначим вектором П 0 п чи

с е л — свободных членов	уравнений системы	(14.14). Они будут
как бы составляющие вектора П 0 в n-мерном		пространстве	(проек
ции на оси координат).	Коэффициенты при	рг обозначим	векто-

* С и м п л е к с о м в м а т е м а т и к е н а з ы в а е т с я я - м е р н ы й в ы п у к л ы й м н о г о г р а н н и к , и м е ю щ и й п -f- 1 в е р ш и н у . Н а п р и м е р , д в у м е р н ы м с и м п л е к с о м я в л я е т с я т р е у г о л ь н и к , т р е х м е р н ы м — т е т р а э д р . У р а в н е н и е с и м п л е к с а , о т с е к а ю щ е г о

н а к о о р д и н а т н ы х о с я х е д и н и ч н ы е о т р е з к и , и м е е т в и д 2*i = 1 Н > 0.

1=1

ром П І , при			р 2 - — П 2		и т. д. Тогда				систему (14.14) можно будет
записать в		компактной				векторной		форме:
			П І Р І	+	П 2	р 2 + . . .	+	П Т + П	рт+п	= П 0 .	(14.15)
Планом или возможным решением сформулированной задачи
(14.13)	и	(14.14)		называется			такая		совокупность		значений р1г
р 2 ,	р т +	п	[т. е.	вектор Р =			( P l , р 2 ,			рт+п)),	которая удов

летворяет условию (14.15). План называется опорным, если векторы

					т+л
П;, входящие		в разложение		П 0	= 2	Рі П Г , линейно	независимы.
Векторы	П І ,	П 2 ,	П Т + 7 1	линейно		независимы, если
			т-\-п				(14.16)
			2р,П1 = М,				(14.16)
			;,= і
и лишь	при рх = р 2 =		... = рт+п		= О

•2 Р,пг =о.

г= і

Вэтом случае говорят, что векторы Лг образуют базис [122—125]. Примером базиса в трехмерном пространстве могут служить три взаимно перпендикулярные вектора, в частности единичные. Ана логично в /г-мерном пространстве базисом могут служить k еди

ничных векторов: (1, 0,

0), (0, 1, 0,

0),

(0, 0,

0, 1).

Можно показать (см. работу [124]), что в нашей задаче лишь т век торов (любых) из т + п являются линейно независимыми. Так что базисными векторами будут т штук из П Г (14.15).

Поясним решение игровой задачи симплекс-методом на следую щем примере. На АЭС необходимо иметь на период кампании реак тора некоторое количество запасных рабочих каналов на случай возможного выхода из строя работающих. Слишком много дер жать таких каналов невыгодно, поскольку они требуют постоянно го осмотра и контроля и их надежность незначительно, но сни жается при хранении. С другой стороны, слишком малого коли чества запасных каналов может не хватить для замены отказавших.. Очевидно, что существует какое-то оптимальное п, при котором потери минимальны.

Допустим, из предыдущего опыта известно, что за кампанию реактора число отказов каналов колеблется от 3 до 15. Рассмотрим следующие состояния объекта (природы): 5 Х — за кампанию отка

зало 3 канала; 5 2		— 9 каналов и 5 3 —415 каналов. Предположим,
что	возможными	решениями могут быть А± — сделать	запас из
5, А 2	— из 10, А3	— из 15 и Л 4 — из 20 каналов. Будем	считать,

что если отказало 3 канала, а запасных было 5 штук, то экономи

ческие потери составят П = 5—3 = 2		условные единицы. Если же
отказавших	оказалось 15, а запасных	имеется 10, то потери будут
на порядок	выше: П = (15—10) -10 = 50,

При этих	условиях		таблица	потерь		запишется в виде табл. • 14.7.
Исключив	Л 4 ,	над которым		доминирует As,			получим окончатель
ную таблицу		потерь	из первых		трех	строк	(пг =	3).
						Т а б л и ц а		14.7
			П о т е р и ,		отн.	ед.
						s 2		S.
			2			40		100
		Аг	7			1		50
		А3	12			6		0
		А,	17			11		5

Видно, что седловая точка отсутствует. Воспользуемся сим плекс-методом. Обозначим р х , р 2 и р 3 частоты возможных приме нений действий Аъ А2 и Л 3 . В соответствии с выражениями (14.12) можно записать:

Рі + Рг + Рз = 1; 2Pi + 7ра + 12р3 < v ; 40pi + р 2 + 6 р 3 < v; 100рх + 50р2 < v.

Перейдем от неравенств к равенствам:

Pi + Рг + Рз = 1;

2pi + 7р2 + 12р3 + р 4 = v; 40pt + р 2 + 6 р 3 + р в = v;

ІООрі + 50р2 + p e = v.

Вычтем из последнего уравнения второе и третье:

Pi + Pi + Рз = і;

98рх + 43р2 — 12р3 — р 4 + р , = 0; 60рх + 49р2 — 6 р 3 — р 5 + р в = 0.

(14.17)

(14.18)

(14.19)

Последнее уравнение системы (14.18) примем за линейную форму

v = lOOpj + 50р2 + р в .

(14.20)

Для применения симплекс-метода (как уже отмечалось) нужно иметь опорный план. В работе [124] в качестве опорного плана для первого шага приближения предлагается выбрать план, содержа-

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3126 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ