Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3124 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

	Инженера-реакторостроителя			часто интересует вопрос о макси
мально возможном отклонении х от хя (см. рис.						28). Поскольку на
практике		всегда	величина хв	оказывается	в	пределах	допуска
х	•А ^	л-в ^	л'и + А, то непосредственно		из рисунка видно, что
в этом случае наибольшее отклонение х от хп					будет, когда хв		примет

а2=0,0

0,7

0,6

0;5\

•

0,4

Ц2\
0,1					'	A h
0,1
О	1	2	3	4	5	а.

Р и с . 29. О т н о с и т е л ь н о е о т к л о н е н и е Л с р е д н е г о з н а ч е н и я п а р а м е т р а о т н о м и н а л а в з а в и с и м о с т и о т п а р а м е т р о в у с е ч е н и я .

одно из крайних значений: хн - f А или хя — Д. Кстати, это очень маловероятная ситуация, поскольку при ней ровно половина изде лий должна быть отбракована. В этом случае один из параметров усечения а 2 (или ах) оказывается равным нулю. Следовательно, со гласно выражению (11.18)

1—ехр ( —	а2/2	(11.23)
max		(11.23)
а Ф (а)
Фактические измерения свидетельствуют, что ах	+ а2	3, т. е.
в рассматриваемых случаях можно считать щ > 3	при а 3	= 0 или

а2 > 3 при aL = 0. Тогда (см. табл. П.1) выражение (11.23) при нимает вид

х—хи I	2	/ 9	1,6
max	= 1	і / — = 1 -	•	(11.24)

Д І

я V п

Поскольку на практике, как правило, а	6, находим
max I Л: — х„ \| = 0,73Д,		\\\.25)
где Д — половина допуска для параметра х.

0 - 1 - 2	3	4	5	а2
Р и с . 3 0 . К в ы б о р у п а р а м е т р о в у с е ч е н и я ах		и а2,	о т в е ч а ю щ и х ф и к с и
р о в а н н о м у з н а ч е н и ю Л (alt		а2) — с.

В заключение параграфа коротко остановимся на обратной задаче: какими должны быть параметры усечения 'ак и.а'2, чтобы при фикси

рованном размере	допуска Д-	- -	-	"
	\| х - х п [ < \| с \| Д , .				(11.26)
где с — некоторое	заданное, число		( — 1 < с < 1 )		(см. рис. 28),

Из соотношения (11.14) видно, что величина А однозначно свя зана с параметрами усечения ах и а 2 (11.13):

	А = (ах + а,) а/2.	(11.27)
Величина	о" характеризует производственный разброс	значений
параметра х для изделий, еще не прошедших операцию		контроля
(т. е. в том	чидле и тех изделий, которые будут отбракованы).

Ее конкретное значение обычно определяется чисто производст венными факторами (технологической дисциплиной, культурой про изводства и т, д.) и практически не зависит от назначаемой из тех или иных соображений величины допуска А (11.1). Следовательно, произвольно можем выбирать только один параметр ах или а2 ;

другой	однозначно		определяется	из выражения	(11.27) при за
данной	о.
Тогда сформулированную выше задачу (11.26) можно решить
следующим		образом. Используя зависимость (11.20),				перепишем
соотношение		(11.26)	в виде
			\| Л (al f а2)\	< \с\.		(11.28)
Стало быть, выбирая параметры усечения ах и а2,					удовлетворяющие
соотношениям (11.27) и (11.28), обеспечим заданную						величину от

клонения X ОТ Х Н .

На рис. 30 приведены значения аг и а2 , удовлетворяющие равен


ству Л ( а ь а 2 ) =		с д л я \| с \|		0,7.	Например, если требуется выбрать
ах и а2	при х — хн =		0,5А, то		из рис. 30 для с ' = 0,5 получаем
3,2 ^ ах^	6, 0 ^	а2^	1,9. Выбирая их по кривой при с =0,5 удовле

творяющими уравнению (11.27), получим искомые величины ах и а2 ,

при которых строго х — хн = 0,5А. Выбирая		параметры усечения
в области между диагональю с =	0 и кривой	с =	0,5	на рис. 30,
обеспечим выполнение неравенства	0 < х — х н <		0,5А.	рациональ
Аналогичным образом можно разработать процедуру

ного выбора А при фиксированном одном параметре усечения и т. п.

Г л а в а 12.

П Р И М Е Р Ы Р Е Ш Е Н И Я Ч А С Т Н Ы Х З А Д А Ч В Е Р О Я Т Н О С Т Н О Г О А Н А Л И З А Т О Ч Н О С Т И И З Г О Т О В Л Е Н И Я И С Б О Р К И Э Л Е М Е Н Т О В К О Н С Т Р У К Ц И И В Р Е А К Т О Р О С Т Р О Е Н И И

§ 12.1. Определение среднего зазора

кирпичной кладки

Кладка из графитовых, свинцовых и т. п. кирпичей часто ис пользуется в реакторостроении, например для защиты от излуче ния. При оценке' эффективности такой кладки обычно требуется знание средней величины зазора, неизбежно возникающего между отдельными кирпичами из-за конечной точности их изготовления и укладки.

Если фактические размеры двух соседних кирпичей в кладке

(рис.	31) обозначить хг и х2 *, то упомянутым зазором можно	счи
тать	величину А = \| л'! — Л'2 \|. Зазор — сугубо положительная
величина, возможные значения которой лежат в интервале 0 ^		А	^
^ А м а к с . Случайные величины х\ и х 2 распределены по одному			и

тому же закону, который практически всегда близок к нормальному

а У 2л ехр

(12.1)

где хп — номинальный размер кирпича; хя = М (х); а — среднее квадратическое отклонение фактических размеров хх и х 2 от х„.

Для определения среднего зазора А, т. е. математического ожи

дания М (А), необходимо знание закона		распределения / (А). Его
не сложно найти,	поскольку вследствие	устойчивости	нормального
закона случайная	величина у = хх — х 2	также будет	распределена

по нормальному	закону с		параметрами
М (у) = М (хх) — М (х2 ) =						хи — х н =	0;
° Г У = YD		(у)=	У а2	(хЛ + о- (х2 ) = о У			2.
Итак,
		1
f{y)-		о - " 1 / 2 У 2 л ехр				стТ/2
		1	ехр
		2оУ~к	ехр
Поскольку А =	\| у \|,	для получения закона /(А) достаточно исклю
чить левую ветвь функции / (у), которая отвечает							отрицательным
значениям у, и для выполнения				условия		(2.6) домножить получив
шийся закон на 2:					- і (	т ) ]
		0	у л		- і (	т ) ]	(12.2)
	/ ( А ) = ^ Г л е х			Р			(12.2)

* В в е л и ч и н ы хх и х2 м о ж н о в к л ю ч и т ь т а к ж е п о г р е ш н о с т и , с в я з а н н ы е с л о к а л ь н ы м и о т к л о н е н и я м и г е о м е т р и и к и р п и ч е й о т н о м и н а л ь н о й , с в о з м о ж

н ы м п о п а д а н и е м м е ж д у к и р п и ч а м и и н о р о д н ы х э л е м е н т о в ( ч а с т и ц ) и т . д .

Следовательно, искомый средний зазор кладки по формуле (2.10)

оооо

	Д = Л Ї ( Д ) = J д		/ ( A ) d A =	<J (A al^ix) х
	x e x p f	[ --Y]dH=*2alY		п= 1,13a.	(12.3)
	L	4 V о / J
Если известно максимально возможное отклонение размера
кирпича	от номинала	б х м а к о ,	то, согласно условию (3.12),		можно
принять	a = 6 х м а к с / 3 .	Тогда
	А = 2 б х м а к с / 3 У л =			0,38бх м а к с .

Зная закон (12.2), можно определить и максимально возможную величину зазора кирпичной кладки А м а к 0 , например такую, что вероятность получить больший, чем А м а к с , зазор равна 0,001. По фор муле (2.8) вероятность, дополняющая упомянутую до единицы, равна

		мани	мсти	л	X
					X
X ехр	. _ L j ^ A ^ 2 " ^ д= 2		ф ^ - ^ \| с ) = 0,999.
Из этого уравнения		находим Ф (а) = 0,4995			или и = 3,29
(см. табл. П.1). Тогда
А м а к с =	о-]/2	и = 3,29аУ2	= 4,64а =	1,55бх м а к с .

§ 12.2: Оценка вероятности касания элементов системы «труба в трубе»

Подобные системы получили большое распространение в реакто ростроении. Примерами их могут служить рабочий канал активной зоны в цилиндрической ячейке графитовой кладки реактора, кольце вая сборка твэлов, элементы парогенераторов и др. Обозначим вну тренний диаметрнаружной трубы dHap, внешний диаметр внутрен ней трубы dBH, а эксцентриситет их осей є (см. рис. 7). Минималь ный зазор между трубами

Д = min -J- ( d H a p — О = - і - (duap—d№) — є.		(12.4)
(поф) z	z

Величины duaP, dBK и e являются случайными, поскольку на ^нар> ^вн накладываются погрешности изготовления, а є полностью обусловлен погрешностями сборки. В качестве законов их распре-

деления с достаточной точностью можно принять соответственно нормальный закон (3.9) и закон эксцентриситета (3.29):

Jnap w e			"нар —"„ар
Jnap w e	x	p	-•нар	(12.5)
Жвп) = о-вп У 2л.		1	» \21
Жвп) = о-вп У 2л.	ЄХР
7 =	ЄХР
		2 \	а в н
/ 2 (є) = — j -		є ехр		(12.6)

2 I 0-Е

где d"ap, с?вн — номинальные значения диаметров; их можно рас сматривать как математические ожидания:

		М (d n a p ) = d"ap,				М (dB H ) =		d"„.
Чтобы оценить вероятность касания рассматриваемых труб,
необходимо знать закон распределения случайной									величины А.
Это не сложно сделать, так как закон распределения									случайной ве
личины z = (dnav		— dBH)!2		является композицией двух нормальных
законов, т. е. тоже нормальным законом:
	/ і	(2) =		—	ехр					(12.7)
			, Т / 2 я
где
° z =	V D	("2"d "a v )+ D			і ~	\ d ^	=	Т ^ 0 " а р + о \| , , :
гп	= М {y(dHap)-f-			7W ( -		у dB 1 I )	=	- у № Р - ^ ™ ) -		І 1 2 - 8 )

• Следовательно, искомый закон / (А) — это закон распределения разности А = z — є двух случайных величин, одна из которых подчиняется нормальному закону (12.11), а другая — закону экс центриситета (12.9). По формуле (2.31) интегральный закон распре- - деления случайной величины А имеет вид

F (А) = Р {г—є < А} — Р {г < є + А} =

оо Г в + А

0 Є ,

О 1 - 0

где S — область координатной плоскости (z, е), лежащая ниже пря мой z = є + А; А — фиксированное значение рассматриваемой

случайной		величины;		є ^	0. Тогда искомый			дифференциальный
закон, согласно формуле					(2.3), примет вид
		/ ( Д ) = / " ( Л ) = 5 M e + A)/a (e)de =
		exp		8+ Д-		—	•є exp				de =
.)	az-\/2n	exp	2			—	•є exp				de =
о						Оє
о
	о2 "\|72я		2		1	_ »ї	2	\	a	a z	X
	о2 "\|72я		2			о	2	\	a	a z	) .
		X (zH —A) exp					- Д \2				(12.9)
		X (zH —A) exp				2					(12.9)
						2
где	а 2 = а \|	+ о\| .
Математически			(формально) условие				касания		можно		записать
в виде А ^		0. Поэтому искомая вероятность касания труб по фор-
'муле	(2.8) равна
		р=		\ /(Д)4Д = 0 , 5 - ф ( - ^ - )				+
		exp		2	2	0,5+	Ф				(12.10)
				CFz + OV
Применение дистанционирующих						устройств для			предотвращения

касания элементов системы «труба в трубе» приводит к снижению

только

среднего

квадратического

отклонения для эксцентриситета

о-8.

Из формулы

(12.10)

видно,

что при а 8

0 р

уменьшается,

стремясь

к р =

0,5—Ф (2H /az ).

Однако, поскольку сами дистан-

ционирующие

устройства

имеют

погрешности

изготовления,

а 8

хотя

и снижается, но практически всегда остается

отличной

от

нуля. Величины

az и оЕ можно оценить по формулам:

= (1/2) 1/онор + о1нМ1/6)Кб|,р + б!„,

[(12.11).

где би а г)

б в н

— половины допусков

соответственно

ДЛЯ fifjнар

и dBa

[использованы формулы (12.8) и

(3.12)],

где е ы

•— максимально

к°£ ^

е м а к с / 3 , 7 ,

(12.12)

а к с

возможный эксцентриситет для конкрет-

ВОЗМОЖНЫЙ ЭКСЦ1

ной системы [вероятность превысить его равна 0,001].

Раздел V. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СОВРЕМЕННЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ДЛЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РЕАКТОРОСТРОЕНИЯ

Г л а в а 13.

В Ы Б О Р Р Е Ш Е Н И Я НА О С Н О В Е Э К С П Е Р И М Е Н Т А Л Ь Н Ы Х Д А Н Н Ы Х ( Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И С Т А Т И С Т И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й )

§ 13.1. Выбор решения при помощи проверки простой гипотезы против простой альтернативы

В процессе инженерной деятельности конструкторам, расчетчи кам, исследователям, • производственникам, эксплуатационщикам на этапах разработки, изготовления и эксплуатации реактора часто приходится принимать решения на основе данных, содержащих элемент неопределенности. Эта неопределенность связана, например, со случайными погрешностями экспериментальных данных или

сотсутствием необходимых опытных данных вообще.

В§ 4.3 рассмотрена проверка статистических гипотез без учета потерь, к которым приводят неправильные решения. В классиче ской статистике потери учитываются лишь косвенно при помощи таких понятий, как уровень значимости, мощность критерия, дове рительные вероятности и т. п. Сравнительно недавно разработана теория статистических решений, в которой делается попытка учесть конкретные экономические, психологические и т. п. убытки (выигры

ши) [115]. Ниже рассмотрены	некоторые положения этой теории
и даны примеры использования	ее в задачах реакторостроения.

На практике часто приходится принимать решения о возможном состоянии некоторого объекта на основе экспериментальных данных, имеющих случайные погрешности. При этом точно не известно, ка

кое состояние из	S0 , Slt	Sm	имеет	место. Предположив, что
объект находится	в состоянии	S.;,	можно	проверить эту гипотезу,

пользуясь опытными данными. В качестве исходного материала для такой проверки необходимо иметь ряд возможных состояний объек

та S0 ,	Sj,	Sm, набор соответствующих им	решений уа, у1г	ут
-относительно		истинности этих состояний и	выборку с элементами
хг, х2,	хп,	представляющую собой п повторных эксперименталь

ных замеров параметра объекта, по величине которого можно судить

о состоянии объекта Sj. Ситуация наиболее проста при двух				взаимо
исключающих состояниях 50		и Si.	В этих условиях можно выдвинуть
две гипотезы: Я 0	— о том,	что	объект находится в состоянии S0
и ее альтернативу	Я 3 —• объект		находится в состоянии Sx.	Таким

образом, должна быть проверена простая гипотеза против простой альтернативы (см. § 4.3).

Проверка проводится по следующему правилу			[см. выражение
(4.46) ]. Если конкретная выборка 2 = (хи		х2<,	хп)	попадает в об
ласть приемки G0	= 0 1 ф , то принимается	решение у0		о справедливо
сти гипотезы Н0	(объект находится в состоянии S0):			(х1г х2	хп)

€ Go^-yo-

Если

же точка

г = {хг,

х2,

хп)

попадает в критиче

скую область Gx

0,.р , то принимается решение ух

о справедливости

гипотезы

Нх:

( х ь

х2,

хп)

£G1-+yl.

ранее [см. выражение

При

такой проверке, как уже отмечалось

(4.47)], возможны ошибки первого и второго

рода. Обозначим П 1 0

потери,

например экономические, при ошибке первого-рода (примем

гипотезу Hlt

когда справедлива Я 0 ), а П 0 і

при ошибке второго рода

(принимаем гипотезу Н0,

когда справедлива

Нг).

Обозначая далее

П 0 0

П п

выигрыши

(«отрица

Т а б л и ц а

13.1

тельные

потери»

П 0 0

< О,

П . і < 0 ) ,

получаемые

при

пра

П л а т е ж н а я

м а т р и ц а

вильных решениях, можно запи

Гипотезы

сать

так

называемую

таблицу

Решения

я„

я ,

потерь

(или

платежную

матри

цу)

(табл.

13.1).

том,

То

П 0 0

Поі

Задача

заключается

чтобы найти способ выбора об

Ті

Пю

ластей G0

и Glt учитывающий ве

личины этих

потерь. При выборе областей О п р

и 0 к р

в § 4.3 вопрос

о потерях

полностью

игнорировался.

Если

найдем

указанный

выше способ, то

получим

искомое

правило

для

выбора

решения.

Бейесовское правило выбора. Предположим, имеются состояния

Sj> І =

0> 1» •••> т

1 1

соответствующие им решения yh,

k — 0, 1,

т.

Если

наряду

таблицей

потерь

Ukj

известны

и априорные ве

роятности

состояний pj

P{Sj),

то для

выбора

решения

можно

воспользоваться бейесовским правилом, которое основывается на

минимизации так называемой			средней функции						риска	R. Послед
няя	представляет собой	среднее		по		всем возможным				состояниям
Sj	значение (математическое ожидание)						риска:
	т				m	m
	R = 2	Р]Г}= 2			РІ 2		n f t i	х
	і = 0		/ = 0			= 0				(13.1)
	хР{(хг,х2,		...,хп)			Є	Gk/Sj},
где Г} — условный риск для состояния Sj							(математическое ожидание
потерь); Р {(хъ х2,		xn)£Gk/Sj]			—условная				вероятность по
падания выборки (хъ х2,			хп)	в область Gh,				если в действитель
ности имеет место состояние			Sj.
Для двух взаимоисключающих событий средняя функция риска
(13.1)
		R =	р < / о	+	р л -					(13.2)

Условные риски /'о и 1\ для состояний S0 и Sx вычисляются соот ветственно по формулам:

'о = П 0 0 (1 -		+ П 1 0 6 і ;
'і = n 0 1 p 3	+	n u (1 -	p2 ), jj	(13.3)
где
Xn)	eGi/So} -		P {Vi/Яо};	.(13.4)
Xr,)	6 Go/S,} =		P {yjH,}	.(13.4)
Xr,)	6 Go/S,} =		P {yjH,}

вероятности ошибок соответственно первого и второго рода (4.47).

Таким образом,
R = р 0 П 0 0 + р г П и +	РоРх (П 1 0 - П0 0 ) + р , 6 2 (П 0 1	-	П п ) . (13.5)
Чтобы минимизировать R, необходимо знать Вх и В2 . Эти вероят
ности можно найти, если известен закон распределения			/ (х) слу
чайной величины X,	выборку из которой хи х2,	хп	рассматри

ваем. Обычно закон / (х) является нормальным, так как определяет ся случайными погрешностями измерений. Можно записать:

р\

f ... \ L

(xlt

х2,

xn/S0)xdx1,

dx2,

dxn;

)

(XU

X.2,

xn/Sy)

X dxu

dx2,

dxn,

(13.6)

j" ... J L

где L (xx,

x2,

xJSj)

— условный

закон

распределения системы

случайных величин хи

х2,

хп при условии, что имеет место со

стояние

Sj. Поскольку Xi

независимы,

(хи

х2,

xJSj)

= hf(Xi/Sj).

(13.7)

Это есть функция правдоподобия для выборки хи

х2,

Хп при

условии, что 5 =

Sj.

Условный закон / {ХІ/SJ)

представляет собой

закон f (х) при 5

= 5;, х — xt (і =

1, 2,

п; j

= 0,

1). Подста

вим выражения (13.6) в формулу для R (13.5), изменив в выражении

для В2 область интегрирования,

В2

= 1 — J ... J L (xlt

х2,

xJSj

dxlt

dx2,

dxn.

°i

•

Получим

РоПоо +

РіП 0 1 — j ... J [Pi (П 0 1 —

о.

— П п ) L (xit

x2,

xr i /S1 ) — p 0

(П 1 0 —

Поо) ^ C*-i> x2,

xn/Sg)] dxy, dx2,

dxn.

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3124 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ