книги из ГПНТБ / Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов

целесообразно таким образом планировать эксперимент, чтобы дис­

персия о$ во всех точках пространства факторов была одинакова.

Оптимальные свойства ортогональных экспериментов. Подво­ дя итог всему сказанному выше, отметим еще раз оптимальные свойства ортогонального факторного эксперимента и дробных реплик:

1)требуется гораздо меньший объем экспериментальных работ, чем при традиционном методе исследования;

2)существенно упрощаются все вычисления;

3)коэффициенты а; уравнения регрессии получаются независи­

4)все коэффициенты имеют одинаковую, причем минимальную дисперсию (погрешность);

5)планирование обладает ротатабельностью. Это является га­ рантией того, что в результате эксперимента не попадем в область значений факторов, где а | (погрешность уравнения регрессии) ока­

жется больше, чем в других областях.

§ 9.5. Планирование экстремальных экспериментов

Описанный факторный эксперимент и дробные реплики исполь­ зуются в других видах планирования, например при исследовании поверхности отклика. Иногда необходимо найти экстремум этой поверхности у(хи хг, . . ., xh), положение которого заранее не из­ вестно.

Поиск экстремума ведется итерационным способом, на первом шаге которого факторы (х1г х2, . . ., xh) изменяются в небольшом интервале с целью получить линейное уравнение регрессии у(х1г х2, . . - ,xk). Для этого на упомянутых интервалах ставится насы­ щенный дробный факторный эксперимент, который получается за­ меной всех столбцов взаимодействий в матрице планирования пол­ ного факторного эксперимента недостающими факторами. В случае трех факторов насыщенной будет полуреплика, использующая план «22», в котором произведена замена: хх х2 = х3 ; для семи факторов

насыщенной репликой будет полный факторный эксперимент «23»; для пятнадцати — «2'J» и т. п. Насыщенные планы для ряда других чисел факторов строятся несколько иным способом [105]. После того как получен полином первой степени для у, ставится следующая серия опытов на соседних интервалах, взятых в направлении вектора

и производится движение еще на один шаг, в направлении гради­ ента. Этот метод называется методом крутого восхождения (наи­ скорейшего спуска). На каждом шаге отклик у должен изменяться в одну сторону (увеличиваться или уменьшаться). Процесс продол­ жается, пока отклик у не начнет изменяться в обратную сторону. Это будет означать, что найдена область оптимума. Ее наличие должно также проявиться в неадекватности линейной модели для уравнения регрессии.

Далее для отыскания экстремума необходимо в области оптимума более точно описать поверхность отклика. Для этого применим рас­ смотренный в §9.4 полный факторный эксперимент и дробные репли­ ки, которые представляют собой планирование первого порядка. Если для упомянутого описания окажется недостаточно неполного квад­ ратичного уравнения регрессии (9.45), то следует организовать пла­ нирование второго порядка. Оно (с помощью введения дополнитель­ ных опытов) позволяет получить квадратичные члены в уравнении регрессии. Однако возможны трудности, так как планирование вто­ рого порядка может быть ортогональным, но не ротатабельным, и наоборот. При необходимости получить уравнение регрессии в виде полинома третьего порядка можно воспользоваться ротатабельными планами третьего порядка. Подробнее эти вопросы излагаются в работе [105].

После получения уравнения регрессии для зоны оптимума находится экстремум этого уравнения. Такую задачу можно решить с помощью различных методов, в частности метода неопреде­ ленных множителей Лагранжа [107].

положения в результате изменения каких-то факторов. Задачей эволюционного планирования является непрерывное планирование (полное факторное или дробные реплики) в области предполагае­ мого оптимума с целью фиксирования статистически значимых из­ менений отклика (отклонений от максимума). В случае получения значимых эффектов организуется поиск нового оптимума или же принимается решение относительно изменения значений факторов с целью возвращения оптимума в прежнюю точку (в зависимости от конкретной задачи). Таким образом, непрерывное эволюционное планирование позволяет следить за изменением оптимума во вре­ мени.

Г л а в а 10.

А Н А Л И З П О Г Р Е Ш Н О С Т Е Й И О Б Р А Б О Т К А Р Е З У Л Ь Т А Т О В Э К С П Е Р И М Е Н Т О В В О Б О С Н О В А Н И Е П Р О Е К Т А Р Е А К Т О Р А

§ 10.1. К вопросу учета систематических погрешностей

Наряду с задачей рационального планирования экспериментов перед реакторостроптелем стоит не менее важная задача извлечь из минимального количества опытов максимум полезной информа­ ции и получить (обработав соответствующим образом эксперимен­ тальные данные) наиболее точный результат. Вопросы математи­ ческой обработки опытных данных сравнительно широко освещены в работах [99, 108—111] (правда, зачастую авторы игнорируют спе­ цифику конкретных инженерных экспериментов). Ниже рассмотрим лишь некоторые вопросы, которые чаще других встают перед ин­ женером-экспериментатором в процессе разработки реактора. Ма­ тематический аппарат, дающий основу для решения задач обработ­ ки наблюдений и управления в условиях полной автоматизации эксперимента (объединения экспериментальных стендов или объ­ ектов исследования с ЭВМ, когда непрерывную обработку резуль­ татов и управление экспериментом осуществляет машина), приве­ ден в работе [111].

Перед экспериментатором постоянно возникает вопрос, как ис­

кую погрешность результата, которая сохраняется неизменной при повторении опыта в идентичных условиях (например, на той же экс­ периментальной установке). Если величины погрешностей таких

грешности заранее (до опыта) не известна, однако она может быть оценена по результатам опыта. Величину систематической погреш­

в рабочем канале с помощью термопары, заключенной в герметич­ ный чехол, сопровождается систематической погрешностью, свя­ занной с наличием перепада температуры между спаем термопары и потоком теплоносителя. Эту погрешность можно оценить расчет­ ным путем до опыта и исключить ее введением соответствующей по­ правки. Однако такие случаи крайне редки в экспериментах в обос­ нование проекта реактора. Более вероятны ситуации (при сложных опытах), когда экспериментатор даже не догадывается о существо­ вании систематической погрешности. Поскольку оценить такие по­ грешности невозможно, необходимо пытаться их исключить.

Например, коэффициент местного сопротивления входного устрой­ ства канала реактора зависит от k — 4 параметров по формуле

Найденный перепад подставляется в формулу (10.7), в результате вычисляется искомый коэффициент £ в х . Спрашивается: как вычис­ лить погрешность опыта, т. е. экспериментально определенного £ в х (10.7), или в общем случае погрешность у (10.5)? Для этого опыт необходимо повторить несколько раз. Его можно повторить на но­ вом идентичном по конструкции входном устройстве канала. Этим учтем погрешность, связанную с производственными погрешностя­

ределяются в основном систематическими погрешностями соответ­ ствующих приборов. Тогда средние квадратические погрешности

Из формулы (10.16) хорошо видно, что если с с л у ч < 0,Зо"П 1 ) п б , то не нужно повторять опыт п раз (это не повысит точности экспери­ мента) и наоборот, если о п р 1 1 ( ; < 0,3 ос.1уч, то можно пренебречь погрешностями приборов, поскольку не они определяют погреш­ ность опыта. В последнем, а также во всех промежуточных случа­ ях опыт требуется повторить для одних и тех же условий как ми­ нимум п ^ 3 раз. Если отсутствует возможность такого повторе­

лу (10.16), будет какой-то конечной величиной, нам, однако, неиз­

После того как средняя квадратическая погрешность опыта най­ дена, можно в соответствии с теорией доверительных интервалов [см. выражение (4.30)] записать, что с вероятностью а погрешность у не превысит величины

но вычислить односторонние доверительные интервалы для у. С ве­

(i/a _o,5 — значение и, при котором Ф = а — 0,5). Из формулы (10.18) например, следует, что при a = 0,8 Аа(у) ^ 1 , 2 8 а(у); при а = 0,9 Аа(у) < 1,64 а(у); при а = 0,99 Аа(у) < 2,58 а(у).

§ 10.3. Исключение резко выделяющихся наблюдений

Очень часто одна или несколько экспериментальных точек рез­

к статистическим методам анализа. Эти методы позволяют доста­ точно объективно установить, являются ли выскакивающие точ­ ки следствием грубой ошибки и их следует исключить из рассмо­ трения, или же они не ошибочны и их следует оставить.

Решение задачи подобного анализа наблюдений является типич­ ным примером проверки статистической гипотезы; в частности ги­ потезы о том, принадлежит ли выскакивающая точка к заданной

совокупности экспериментальных точек, подчиненных какому-то конкретному закону распределения, или же она относится к иной совокупности.

Для проверки такой гипотезы необходимо вычислить среднюю квадратическуго погрешность а, характеризующую разброс опыт­ ных точек Уі около среднего значения у измеряемой величины, ес­ ли эксперимент заключался в определении только одного этого зна­ чения у — одной точки, или около средней линии у(х), проходящей через облако точек на плоскости (х, у), если эксперимент заключал­ ся в определении зависимости у (х). В каждом из этих случаев после опыта имеется п экспериментально замеренных значений у:

Отсюда в соответствии с формулой (4.9) для первого случая полу­ чаем

' П— 1< = 1

—1 п

где у = — 2 уі. Для второго случая по аналогии имеем

рому известному закону, для которого существуют таблицы, поз­

ж е н е р у п р и х о д и т с я и м е т ь д е л о с с о в о к у п н о с т я м и в е л и ч и н , р а с п р е д е л е н н ы х п о и н ы м з а к о н а м , он д о л ж е н и с п о л ь з о в а т ь д р у г и е к р и т е р и и и с к л ю ч е н и я р е з к о в ы д е л я ю щ и х с я н а б л ю д е н и й .