книги из ГПНТБ / Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов
.pdfЕсли окажется справедливой статистическая гипотеза о равенстве
дисперсий 5л и |
SQ, то, согласно |
выражению (9.12), аА я=0 и фактор |
А не влияет на |
отклик х. Если |
же гипотеза — ложна, то влияние |
А на х значимо. В соответствии с изложенным в § 4.3 методом про
верки такой гипотезы она ложна, когда величина критерия |
Фишера |
|||||||
|
f |
= -^>xfi |
= -x$,k—l,k(n |
— l)\ |
|
' (9.14) |
||
[см. выражения |
(4.55) |
и |
(4.56) при односторонней критической об |
|||||
ласти Окр: |
> |
хр]. |
Здесь Л'р — критическое |
значение |
критерия |
|||
Фишера для |
уровня |
значимости |
р — определяется |
по табл. П.5 |
||||
при степенях свободы kx |
= k— 1 и k2 = k (п — 1). Таким образом |
|||||||
дисперсионный |
анализ позволяет |
сравнить эффекты |
случайности |
|||||
(о2) и действия фактора (ол)- Если более существенным оказывается второй эффект, то делается вывод о наличии зависимости между откликом и фактором.
Для иллюстрации однофакторного дисперсионного анализа рас смотрим следующие примеры.
Пример 1. Исследуется влияние четырех различных типов дистанционирующих устройств, предотвращающих касание стержне вых твэлов в тепловыделяющей сборке, на величину гидравличес
кого |
сопротивления канала реактора (в виде пучка стержней). |
||
Для |
этого проводятся проливки каналов одного |
и того |
же ти |
па, |
но с различным способом дистанционирования |
твэлов. |
|
Фактором здесь является способ дистанционирования. Так как способов четыре, то этот фактор имеет четыре качественных уровня (k 4). Рісходя из анализа затрат (времени и т. д.) на отдельный опыт и на основе выражения (9.4) было решено провести пять наблю
дений |
на каждом уровне (я = 5). Таким образом, эксперимент |
будет |
состоять из kn — 20 опытов и продлится, по-видимому, не |
сколько дней. В процессе эксперимента может незначительно ме няться, например, напряжение питания насоса или температура теплоносителя (водопроводной воды). Если сначала сделать замеры (я = 5) при одном типе дистанционирования, а затем при других, то упомянутые случайные эффекты могут по-разному сказаться на перепадах давления при проливках разных типов устройств, что будет оценено как влияние уровней фактора. Чтобы исключить это, целесообразно ввести в эксперимент р а н д о м и з а ц и ю * ,
т.е. случайный порядок проведения опытов.
Вчастности, это означает, что все время эксперимента необ ходимо разбить на пять интервалов — по числу параллельных опытов и в пределах каждого интервала испытывать в случайном порядке каждый из четырех типов дистанционирующих устройств (по одному экземпляру). Иными словами, все опыты надо разбить на 20/4 = 5 серий или блоков; в каждую серию (блок) включить по одной проливке каждого дистанционирующего устройства (всего
* О т а н г л и й с к о г о с л о в а rando m — с л у ч а й н ы й .
четыре опыта). Подобные блоки в теории планирования экспери
мента получили название с л у ч а й |
н ы х |
и л и |
р а и д о м и- |
з и р о в а н н ы х б л о к о в [100, |
101 ]. |
Порядок |
упомянутых |
четырех опытов в блоке следует устанавливать путем случайного разыгрывания, например, вытягиванием номера опыта из урны или с помощью таблиц случайных чисел [103], в результате бросания игральной кости, монеты и т. п. [101]. Порядок проведения упомя нутых пяти серий опытов может быть любым. Рандомизация ней трализует влияние побочных факторов, благодаря чему увеличи вается точность эксперимента, а это является основной задачей планирования.
|
В процессе рандомизированного эксперимента были получены |
||||||||||||||||||
результаты, |
приведенные |
в табл. 9.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
9. |
||
|
|
|
|
|
П е р е п а д ы |
д а в л е н и я на |
к а н а л е , |
атм |
|
|
|
|
|
||||||
Номер |
|
|
|
Тип устройства і |
|
Номер |
|
|
|
Тип устройства |
і |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
опыта |
|
|
|
|
|
|
|
|
опыта |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(пролпвки) |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
(пролпвки) |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
•1 |
||||
|
У |
|
|
|
|
У |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
2,1 |
|
2,5 |
|
1,8 |
1,9 |
|
4 |
|
2,0 |
|
|
2,6 |
|
1,7 |
1,4 |
|
|
2 |
|
1,9 |
|
2,3 |
|
2, 0 |
1,5 |
|
5 |
|
2,2 |
|
|
2,7 |
|
1,6 |
1,8 |
|
|
3 |
|
1,8 |
|
2 , 4 |
|
2 , 1 |
1,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражения |
(9.9) |
и (9.13) можно представить |
в |
виде |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
So |
|
Січ |
2ч — 2д |
|
|
|
|
|
(9.15) |
||
|
|
|
|
|
5 „ 2 |
= |
- |
|
|
s% |
|
|
•1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ( n - \ ) |
|
|
ft- |
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
Л |
|
|
|
J |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = 1/=І |
|
|
n |
j= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Xj = У xtj |
— сумма |
результатов |
измерений |
для |
t'-ro |
уровня. По |
|||||||||||||
данным |
табл. |
9.1 |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 Х |
= |
82,5; |
|
2 2 |
=81,96; |
|
Е 3 |
= |
80; |
|
|
|
||||
|
|
SI = |
0,034; |
S% = |
0,65 |
и |
|
f |
= |
|
19,2. |
|
|
||||||
Для |
уровня |
значимости (5 = 0,05 |
при степенях |
свободы |
kt = k — |
||||||||||||||
— |
1 = 3 |
|
и |
k2 |
= |
k |
(п — 1) = |
16 |
по |
таблице |
|
П.5 |
находим |
||||||
[см. |
формулу |
(9.14)] |
_ х 0 | 0 5 |
= |
х (0,05; |
3; |
16) = |
3,2. |
Полученное |
||||||||||
значение |
§ |
> |
3,2, следовательно, влияние |
фактора |
значимо, |
т. е. |
|||||||||||||
способ дистанционирования |
влияет |
на |
перепад |
давления на |
|||||||||||||||
канале. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Для выяснения влияния качества воды на процесс образования трещин на внутренней поверхности барабанов-сепа раторов были проведены испытания образцов сталей при цикличе ских термических напряжениях в воде с различным содержанием примесей. Испытания проводились на бидистилляте (случай А) и специально ухудшенной воде (случай Б), содержащей 150 мг/л NaOH и 15 мг/л NaCl.
Экспериментально полученное количество циклов, которое при водит к появлению трещин на образцах (при прочих идентичных
условиях) для случаев А и Б приведено |
в табл. 9.2. В этом экспе |
||
рименте фактором |
является |
ка |
|
чество воды (два уровня А и |
Б), |
Т а б л и ц а 9.2 |
|
откликом — число |
циклов |
N. |
|
|
По |
формулам |
(9.15) |
нахо |
|||||
дим |
S§ = |
28, |
|
S% = 32 |
и |
f = |
|||
— 1,14. |
При |
|
уровне |
значимо |
|||||
сти |
(3 = |
0,1 |
|
по |
табл. |
П.5 |
|||
х |
(0,1; |
1; |
6) |
= |
3,8. |
Поскольку |
|||
§ |
< |
3,8, влияние качества |
воды |
||||||
можно признать несущественным (на высоком уровне значимости
Номер |
А |
|
опыта / |
|
|
1 |
27 |
35 |
2 |
39 |
30 |
Р = |
0,1). |
3 |
29 |
40 |
Двухфакторный эксперимент. |
4 |
35 |
41 |
|
Дисперсионный анализ позво |
||||
ляет |
оценить влияние несколь |
|
|
|
ких одновременно действующих факторов. При |
традиционном ме |
|||||
тоде исследования |
для выяснения влияния факторов |
изменяют |
||||
(поочередно) один |
фактор, оставляя |
другие |
зафиксированными |
|||
на каком-то уровне. При этом |
выполняется значительная |
(и часто |
||||
лишняя) работа, которая тем |
не менее |
не дает |
ответа |
на |
вопрос |
|
овзаимодействии факторов.
Вфакторном эксперименте все уровни одного фактора комбини руются со всеми уровнями остальных «-факторов. Такой подход
позволяет значительно уменьшить объем испытаний по сравнению с классическим методом и, кроме того, позволяет исследовать взаи модействие факторов. Если на отклик х действуют два фактора А и
В, то результаты эксперимента, в котором фактор А изменяется |
на |
|||
k уровнях, а В — на т уровнях, можно представить табл. |
9.3. |
|||
Усреднив данные по строкам, т. е. найдя средние строк %І— — 2 |
хи> |
|||
|
|
В. |
т і=і |
|
можно нейтрализовать |
влияние фактора |
Тогда дисперсия |
||
этих средних по аналогии с выражением (9.11) |
равна |
|
||
* |
_ |
2 |
|
|
2 ( * і - * с р ) 8 |
+ |
• |
(9-16) |
М а т р и ц а р е з у л ь т а т о в д в у х ф а к т о р н о г о э к с п е р и м е н т а |
|
||
|
в, |
в„ |
|
Лі |
х п |
х-12 |
х1т |
А» |
|
.V'.,., |
Х2Ш |
Л |
|
|
|
х1а |
|
* Й 2 |
|
xl<m |
|
1 |
к - |
1 |
* |
|
'" |
|
|
|
|
где л - с о = — ^ |
Х;=-- |
km |
"V |
|
"У л-;г —общее среднее для табл. 9.3; |
||||
k |
i = |
i |
^ |
і |
^ |
|
|
|
|
|
|
» = |
і=і |
|
|
|
|||
о;4 —дисперсия, получающаяся при варьировании |
фактора А. |
||||||||
Аналогично |
для средних |
|
по столбцам xt |
—• — |
V хп |
||||
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
і = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
(Xl |
|
— ,vc p )2 |
яз а% + |
4 - . |
(9.17) |
|
|
ні — 1 |
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим, как |
в формуле |
(9.12), |
|
|
|
||||
|
|
|
^ |
( * ; — А - с р ) 2 |
Я » Ш С Т 2 ! + 5 о і |
|
|||
|
|
|
і = I |
|
|
|
|
(9.18) |
|
|
|
/л •— 1 |
У (хг—х- f ж ko2B + So . |
|
|||||
|
|
/ = |
і |
|
|
|
|
|
|
Оценку S§ генеральной дисперсии а2 можно найти, например, следующим образом. Вычислим дисперсию наблюдений по і-й строке
Sf = — У |
- х г ) 2 « аь + • |
(9-19), |
171— 1 / = |
і |
|
Эту оценку можно уточнить, усреднив S; по всем строкам:
к |
к |
m |
1 = 1 |
І= і |
;= і |
Подставляя сюда о% из выражения (9.17), находим
|
|
|
|
|
|
к |
|
т |
|
|
|
|
in |
|
|
|
|
|
|
ik |
— \){ІП— |
1) |
^ші |
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
• |
(9.21) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
C P |
/ |
|
||||||
Если |
ввести |
обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
к |
|
in |
|
|
|
к |
|
|
|
|
in |
|
|
|
|
^1,—- У |
У А'<?'; |
2 2 = = — У * ? ; |
к « =--- |
У |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
і = і / = і |
|
|
|
j = i |
|
|
|
/ = і |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
і |
" ! |
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 = — V x z ; |
|
У х ; / ; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
і=і |
|
|
І=І |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то оценки (9.18) и (9.21) легко представить в виде |
|
|
|||||||||||||||
с2 |
^! - j - 2d — ( 2 2 |
+ Е 3 ) |
|
n j |
2 2 — 2 4 |
|
па |
|
2 3 |
S j |
/ п 99> |
||||||
^о = — 7 7 |
— |
7 г , |
г;—• |
^А |
— ~і—;—' |
|
^в |
= |
|
Г~ • |
\Р-11) |
||||||
|
|
(k |
|
|
|
|
ft |
|
— 1 |
|
|
|
m — 1 |
|
|||
|
|
— 1) (m — 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для определения |
значимости |
влияния факторов |
А и 5 |
на отклик |
|||||||||||||
х |
необходимо вычислить отношения |
?FА = S% /SI |
и |
3RB = |
S%/Sl |
||||||||||||
и |
сравнить |
их с критическими |
значениями |
соответственно |
х£ = |
||||||||||||
=-•= JC [Э, /г — 1, (/г— 1)(/л— 1)] |
и |
хр й = х[6, |
m—l, |
(k — l)(m — 1)] |
|||||||||||||
из |
табл. П.5. Если f |
н > ^ р |
или |
§в>х$, |
|
то |
влияние фактора Л |
||||||||||
или 5 |
существенно |
на |
уровне значимости J3. |
|
|
|
|
||||||||||
|
До |
сих пор считали, |
что величина |
So |
(9.21) |
является оценкой |
|||||||||||
генеральной дисперсии а2 , характеризующей случайные погреш ности измерений. Это так и есть при условии, что отсутствует взаимо действие между факторами А и В. Если же оно существует, то
величина |
So (9.21) будет уже определяться не только а2 , но и дис |
|||||
персией, |
связанной как бы с третьим фактором АВ — взаимодей |
|||||
ствием А |
и В. Чтобы |
выделить |
из So дисперсию о-АВ, |
необходимо |
||
для |
всех |
комбинаций |
уровней |
At и |
В, (см. табл. 9.3) |
повторить |
опыт |
по определению |
отклика ХЦ п раз. В результате для каждой |
||||
ячейки табл. 9.3 получим / = |
1, 2, |
п значений отклика (хц)}-. |
||||
Найдем среднее значение отклика (по п параллельным наблю |
||||||
дениям) для каждой |
ячейки таблицы |
|
|
|||
|
|
|
хц=-— |
У |
(хц)}. |
(9.23) |
|
|
|
|
i = i |
|
|
Если |
в выражении |
(9.21) |
под хц подразумевать эти средние, |
то SJ5 будет характеризовать |
их рассеяние в результате изменения |
||
фактора |
А В и за счет |
случайных погрешностей эксперимента а2 , |
|
или, как говорят, эффекта воспроизводимости опытов. Следова тельно, по аналогии с выражением (9.11) можно записать
|
|
|
S* = a2AB |
+ o2/n. |
|
|
|
(9.24) |
||||
Умножая обе части на я и вводя |
обозначение SAB, получаем |
|||||||||||
|
|
|
SAB |
= nS20 |
= no*AB |
+ &, |
|
|
(9.25) |
|||
где |
а2 — оценка генеральной |
дисперсии а 2 [в |
отличие |
от So, ко |
||||||||
торая теперь не является оценкой |
а 2 ] . Величину |
о 2 можно опреде |
||||||||||
лить |
по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
т |
'( |
|
|
п |
|
|
) |
|
|
S*= |
- L V |
- L V |
> |
У |
[(xtl)r-XilY\ |
|
= |
|
|||
|
|
1 = |
1 |
l=l[ |
|
|
|
/ = |
I |
|
J |
|
|
|
|
k |
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
I s |
|
|
|
|
|
|
|
1=1 |
z= 1 ; = |
1 |
|
|
|
|
(9.26) |
||
|
|
|
|
|
(n — 1) |
km |
|
|
|
|
||
где |
ХЦ определяется |
по формуле |
(9.23). |
|
|
|
||||||
Чтобы оценить, существует ли взаимодействие между А и 5, |
||||||||||||
достаточно [в |
полной |
аналогии |
|
с |
выражениями |
(9.12) |
и (9.14)] |
|||||
сравнить две дисперсии SAB И а 2 |
|
по критерию Фишера. Если |
||||||||||
|
S 2 |
1 |
= Х$, |
( f t _ l ) ( m - l ) , |
fem(n-l)], |
(9.27) |
||||||
|
:7АВ=^->Ха- |
|||||||||||
|
АВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то взаимодействие факторов А и В существенно на уровне значи
мости В. Величина хАВ |
находится по табл. П.5 для степеней свободы |
|||||||
kx = \k — 1) (m — 1) |
и |
&2 |
= km |
(п — 1). Из |
выражения (9.26) |
|||
.легко получить |
(раскрывая |
квадрат) |
|
|
|
|||
|
а 2 = ( 2 5 — n Z J I m k i n — |
1), |
[(9.28) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fe |
m |
/: |
|
|
k m |
|
|
2 5 = |
2 |
2 |
2 ( * » ) / ' |
2 i = |
2 |
|
2 |
|
Пример. Для |
( = i |
i=i |
/ = |
і |
|
І = |
І |
г = і |
поиска |
путей форсирования |
мощности реактора |
||||||
ставится эксперимент, в котором требуется определить, существен но ли отличаются критические плотности тепловых потоков qKp для , трех типов каналов с закруткой теплоносителя относительно оси
потока |
(при фиксированных прочих параметрах). |
Таким образом, |
• имеем |
три качественных уровня фактора А : Ах |
—обогреваемая |
труба, на внутренней поверхности которой по винтовой линии рас
положена проволока; А2—обогреваемая |
труба, внутри которой |
||
расположен |
необогреваемый шнек; |
Л 3 — обогреваемая труба эл |
|
липтического |
сечения, закрученная |
вдоль |
оси. |
Влияние типа канала на <7,.р определяется для трех шагов за крутки конструктивных элементов (проволоки, шнека, эллиптиче ской трубки) hlt h2, h3. Шаг закрутки — это второй фактор В — количественный, исследуемый тоже на трех уровнях. Результаты эксперимента приведены в табл. 9.4.
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
9.4 |
|
|
Критическая плотность теплового потока |
qKn |
|
|||
|
|
Ю7 |
ккал1{л?-ч) |
|
|
|
|
|
Л. |
|
|
Аз |
|
|
я |
3,0 |
|
2,1 |
4,4 |
|
|
Ai |
3,2 |
|
2,2 |
4,5 |
|
|
Аг |
5,1 |
|
4,3 |
6,0 |
|
|
5,3 |
|
4,2 |
5,9 |
|
|
|
А3 |
4,5 |
|
3,8 |
5,0 |
|
|
4,7 |
|
3,9 |
5,1 |
|
|
Сначала, |
исходя |
из табл. |
|
9.4, удобно вычислить |
величину |
|
2 6 = 352,14. |
Теперь |
заменяем |
каждые пары (п = 2) |
повторных |
||
наблюдений их средними (9.23). В результате вместо табл. 9.4
получим |
табл. |
9.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
9.5 |
|
|
||
|
|
|
Средняя критическая плотность теплового |
потока |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ft. |
|
ft. |
|
ft. |
|
|
|
|
|
|
|
Ai |
3,1 . |
|
2,15 |
|
4,45 |
|
|
|
|
|
|
|
Аг |
5,2 |
|
-4,25 |
|
5,95 |
|
|
|
|
|
|
|
А3 |
4,6 |
|
3,85 |
|
5,05 |
|
|
|
Используя |
табл. 9.5 |
и формулы |
(9.22), получаем |
2 Х = |
176; |
2 2 = |
||||||
= |
171,2; |
2 3 = |
170; |
2 4 = 165,5 |
и |
S§ = |
0,088; |
S% = |
2,85; |
S% = |
||
= |
2,25; |
0 2 |
=-0,01. |
Отсюда: S%/S20 |
= 32; |
Sb/Sg = |
26. |
Табличное |
||||
значение xf = л:р = х (Р; 2; 4), см. табл. П.5, даже при уровне
.значимости р* = 0,025 оказывается меньшим, чем отношение оценок дисперсий (x0i025 = Ю,6), следовательно, и тип канала, и шаг значимо влияют на критические плотности тепловых потоков.
Кроме того, |
= nSb/a2 = 17,6 > х (0,025; 4; 9) = 4,7, |
значит, пренебрегать взаимодействием факторов нельзя.
Полный и дробный факторные эксперименты. Как уже отмеча лось в факторном эксперименте все уровни одного фактора соче- -таются со всеми возможными уровнями других факторов. Такой
эксперимент |
называется |
п о л и ы м |
ф а к т о р н ы м. |
Коли |
чество опытов |
для этого |
эксперимента |
равно .произведению |
числа |
уровней всех факторов. При большом числе уровней эксперимент получится громоздким. Количество опытов (испытаний) можно сок ратить, если пойти на потерю некоторой части информации (на пример, о взаимодействии факторов). Если в эксперименте какие-то
сочетания |
уровней пропущены, он называется д р о б н ы м |
ф а к- |
т о р н ы |
м. Наибольшее распространение получил дробный |
фак |
торный эксперимент, в котором теряется информация только о взаи модействии исследуемых факторов. Если это взаимодействие слабое и им можно пренебречь (аАв < а'2/п), то дробный факторный экспе римент позволяет гораздо меньшим числом опытов решить те же самые вопросы, что и полный факторный эксперимент. Однако при этом надо особое внимание уделять правильному планированию опытов, иначе результат может оказаться неверным. Рассмотрим два часто встречающихся на практике плана дробного факторного эксперимента.
Латинский квадрат. Предположим, необходимо оценить влия
ние на |
отклик |
трех |
факторов |
А, В, |
С, у которых |
число |
уровней |
|
k одинаково. |
При |
этом требуется, |
чтобы |
полное |
число |
опытов |
||
было |
меньше, |
чем |
/г3, и составляло бы, например, такое же коли |
|||||
чество, |
как при |
полном |
двухфакторном |
эксперименте (/г2) |
||||
(см. табл. 9.3). Для исключения влияния фактора С на оценку эффекта действия факторов А и В нужно эксперимент поставить
так, |
чтобы все уровни |
фактора С встречались в каждой |
строке и |
||||||
в каждом столбце табл. 9.3. |
В табл. 9.6 |
показано, |
как |
в данном . |
|||||
случае |
надо |
комбинировать |
три фактора |
в отдельном опыте. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
9.6 |
||
|
|
|
|
Л а т и н с к и й квад р а т |
|
|
|
|
|
А. і |
^ \ |
|
в, |
В; |
|
4-х |
|
|
|
|
с, |
|
|
|
|
|
|||
|
Ах |
|
С-г |
|
Cft-i |
|
c h |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
А, |
|
С, |
с3 |
c k |
|
Су |
|
|
Ah-, |
|
Ск-1 |
|
|
|
|
Ch-i |
|
|
|
Ah |
|
ск |
Сх |
|
Ch-2 |
Ck-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Такое расположение элементов С,- (/ = |
1, 2, |
k) по |
ячейкам |
||||||
таблицы |
(k'X |
k) называется |
латинским квадратом. |
Очевидно, |
что |
||||
сформулированному выше свойству латинского квадрата могут отвечать несколько различных размещений С,-.
Обозначим величину отклика х, полученную при значениях
факторов А, В, С, |
соответствующих (£/)-й ячейке |
табл. 9.6, хи, |
|||
а величину отклика |
при значениях факторов А, |
В, |
С, отвечающих |
||
ячейке, |
содержащей |
С,-, обозначим xJu, |
где |
и—дополнительный |
|
индекс, |
учитывающий, что существует |
(см. табл. |
9.6) k различных |
||
ячеек (и = 1, 2, |
k), содержащих фактор С; на одном и том же |
||||
уровне /. Они отличаются друг от друга уровнями факторов А и В. По аналогии с двухфакторным анализом несложно разработать процедуру для оценки влияния трех факторов на отклик [99, 101,
102]. Сначала вычисляем суммы квадратов:
к |
к |
|
= 2 |
Ъх*»\ |
и |
; = 1 / = I |
i= 1 \ / = 1 |
|
к І к
R і = |
і v = і |
|
|
/г2 |
|
1 |
Г к |
I |
к |
|
2, |
|
2 |
І |
2 |
х |
|
|
|
||||
и=і \І=І
а затем определяем опытные дисперсии:
2 ( 2 *«
/ 2= 1 \ H2= 1xi"
'= 1 \H = 1
C2 __ |
2 Х |
+ 2 S 4 |
- ( S 2 + 2 3 + s » ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
( k |
- l |
) ( k |
- 2 ) |
|
2.a — id |
. |
C2 |
^3 — ^d . |
|
|
ft — 1 |
|
OR — ft — 1 |
||
5e = ft |
— 1 |
|
|
|
|
(9.29)
(9.30)
Если окажется, что каждое из отношений SVSc,; SB/Sl; |
Sc/Sl боль |
|||||
ше А'р = |
А |
/г — 1; (k — 1) (k — 2)], найденного по табл. П.5 |
||||
при ki = |
k — 1 и k2 = (k — 1) |
— 2), то факторы А, |
В и С зна |
|||
чимо влияют на отклик х. |
|
|
|
|
||
Пример. |
Кроме двух факторов |
А |
(тип канала ) и h (шаг зак |
|||
рутки) на величину qKp может также |
влиять (при прочих |
постоян |
||||
ных параметрах) величина проходного сечения канала |
S. |
Рассмат |
||||
ривая 5 в качестве третьего фактора С, спланируем дробный трехфакторный эксперимент по принципу латинского квадрата с тремя уровнями каждого из факторов A, h, S. Ставя дробный факторный
эксперимент, |
как бы закрываем глаза на взаимодействия |
факторов; |
|||||||
поэтому нет необходимости в повторных |
(параллельных) наблюде |
||||||||
ниях. Результаты измерения приведены |
в табл. 9.7. |
По форму |
|||||||
лам (9.29) |
и |
(9.30) |
получаем |
2 Х = |
321,13; |
2 2 = |
306,2; 2 3 = |
||
= 306; 2 4 = |
301,6; 2 5 |
= 312,1; |
S2, = |
0,0156; |
SA= |
2,3; |
S% = 2,2; |
||
Sc = 5,25. Используя критерий Фишера, сравниваем отношения
SVS8 = |
147,4; |
S%/Sl |
= |
141; |
Sb/S20 = |
336,5 |
с |
табличным |
(см. табл. П-5) значением х (0,025; 2; 2) = |
39. Видно, что влияние |
|||||||
всех трех факторов на |
<7кр существенно |
(даже |
на |
сравнительно |
||||
низком |
уровне |
значимости |
(J = |
0,025). |
|
|
|
|
|
В е л и ч и на <7 к р , 107 |
ккал/(м2-ч) |
|
|
ІН |
|
|
А, |
S i / 3 , 1 |
S 2 / 4 , 7 |
S 3 / 6 , 6 |
А2 |
S,/7, 0 |
S s / 6 , 5 |
S j / 5 , 9 |
л3 |
S 3 / 6 , 9 |
S i / 3 , 8 |
S 3 / 7 , 6 |
Греко-латинский квадрат. Если необходимо исследовать зна чимость влияния четырех факторов А, В, С и D на отклик при таком
же числе опытов, как у полного |
двухфакторного |
эксперимента |
|||||||
(kx |
k), |
то |
эксперимент |
проводится |
по плану, называемому |
греко- |
|||
латинским |
квадратом. Для такого |
плана уровни третьего фактора |
|||||||
Cj и четвертого Dv располагаются |
таким образом, чтобы в каждой |
||||||||
строке |
и столбце |
табл. |
9.3 (при одинаковом |
числе |
уровней |
k по |
|||
всем факторам) встречались все k уровней факторов |
С и D, причем |
||||||||
в ячейках таблицы никакая комбинация C,DV не должна встречаться |
|||||||||
более одного раза. Пример греко-латинского |
квадрата для случая |
||||||||
k = |
4 |
приведен |
в табл. 9.8. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
9.8 |
|
|
|
|
|
Г р е к о - л а т и н с к и й к в а д р а т (fe = |
4) |
|
|
||
|
|
|
В, |
в. |
|
в, |
в. |
|
|
|
Аг |
|
Сг |
D, |
С, |
с3 |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
D3 |
с3 |
|
|
А2 |
|
С, |
|
D, |
С\ |
|||
|
|
|
|
|
D, |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
с3 |
С 4 |
|
|
D2 |
||
|
Аг |
|
Сх |
С2 |
|
||||
|
|
|
|
D2 |
D, |
||||
|
|
|
с3 |
|
|||||
|
АІ |
|
Q |
£>2 |
Со |
Сх |
|
||
|
|
|
|
"£>4 |
D3 |
||||
|
|
|
|
|
|||||
Анализ в этом случае ведется также, как и при латинском квад рате [см. выражения (9.29) и (9.30)], необходимо лишь дополнитель-
но вычислить 2 6 = —г- S (S xvu)2, где xvu — результат измере-
АV = I 11=і
ния для комбинации факторов А, В, С и D, соответствующей' ячей
ке таблицы с D v (и = |
1, 2, |
к, как и |
раньше, |
номера ячеек, |
|
содержащих фактор D на одном и том же уровне v). Тогда |
|||||
D |
k — 1 |
° _ |
(k — |
— 3) |
' |