книги из ГПНТБ / Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов

Функция f(x) численно равна вероятности попадания случайной

результаты наблюдений нанести на числовую ось и пронумеровать по порядку xlt Хо, х„, а интервал [ху, х„] разбить на N= 5ч-12 не обязательно одинаковых подынтервалов шириной Ах, то по оп­

Для дискретной случайной величины X дифференциальный за­ кон распределения вырождается в ряд распределения: ряд чисел, равных вероятностям, что X примет конкретное значение xt:

где п — полное число возможных значений дискретной случайной величины (в случае счетного множества значений п = со ). Свой-

математического ожидания. Численно она равна математическому

На практике для характеристики разброса значений случайной величины около ее математического ожидания используют также корень из дисперсии

оценки отличия кривой распределения /(х) от так называемого нормального закона (подробно о нем см. § 3.1). Как асимметрия, так и эксцесс являются безразмерными величинами, определяе­

Е = — М [Х—М (X)]"— 3 = -Ні- —3.

(положительная асимметрия), то длинная ветвь плотности рас­

казывает, что кривая распределения имеет более острую и высо­ кую вершину, чем нормальный закон. Отрицательный эксцесс ука­ зывает на более плосковершинную кривую.

§ 2.3. Определение числовых характеристик корреляции и регрессии

Стохастическая связь. Между величинами Хн Y возможна связь двоякого рода: 1) функциональная, когда конкретному значению X = х соответствует одно единственное значение Y = у (много­ значные функции не будем рассматривать); 2) стохастическая или вероятностная, когда одному значению X = х соответствует мно­ жество возможных значений Y, распределенных по определенному

связь проявляется в том, что при изменении х меняется закон рас­

деленная в интервале [а, Ь] по закону f(x). В случае монотонно воз­

где x — ф 1(y) — функция, обратная у = ф(х).

Закон распределения функции двух случайных аргументов.

Если функция Z = Ф(Х, Y), где ( X , Y) — система двух случайных величин, распределенная по закону f(x, у), то интегральный закон, согласно формуле (2.1),

G (г) = Р {Z < z) = Р {Ф (XY) < z) = Р {(XY) Є S).

Здесь область S представляет собой ту часть плоскости х, у, на которой Ф(ХУ) •< г. Отсюда

Величина г в выражение для G(z) входит неявно, через пределы ин­

в формулу (2.31), получаем выражение для композиции двух зако­ нов, или плотность распределения вероятностей случайной вели­

и часто обозначаются символом Д * Д.

Г л а в а 3.

О С Н О В Н Ы Е З А К О Н Ы Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я С Л У Ч А Й Н Ы Х В Е Л И Ч И Н

§ 3.1. Законы распределения непрерывных случайных величин

Равновероятный закон. По этому закону распределяются по­ грешности измерений, связанные с округлением до ближайших целых значений (при считывании со шкал, при взвешивании в ус­ ловиях ограниченного количества мелких разновесок и т. п.). Он справедлив для отклонений параметров от номинальных значений в пределах полей допусков, связанных с погрешностями изготов­ ления, когда упомянутые отклонения вызываются следующими ус­ ловиями производства: а) наличием фактора, равномерно изменя­ ющегося во времени и доминирующего над совокупностью всех остальных (равномерная разлаДка оборудования, инструмента, равномерное ухудшение точности контрольных приборов и т. д.); б) использованием при изготовлении изделий большого числа раз­ личающихся по точности инструментов и оборудования или в слу­ чае смещения изделий многих партий, когда средние значения рас­ сматриваемого параметра для каждой партии равномерно распре­ деляются по заданному полю допуска [6].

Равновероятные дифференциальный и интегральный законы рас­ пределения имеют следующий вид:

Математическое ожидание (2.10), дисперсия (2.16) и среднеквадра­ тичное отклонение (2.17) соответственно принимают вид

М (X) = (a+b)/2- D (X) = (6 - а)2 /12; о = (Ь — а)12 V3.

Экспоненциальный закон. По экспоненциальному закону рас­ пределяется неотрицательная случайная величина — время работы изделия до отказа при условии, что отказы не связаны со старе­ нием, износом (а вызываются, допустим, случайными внешними факторами, такими, как внезапные чрезмерные увеличения меха­ нической, электрической, тепловой и |Щгочих ^нагрузок). Сущест-

венным здесь является то, что вероятность возникновения отказов, за период ДЛдолжна определяться только длиной этого промежут­ ка и не зависеть от предшествующего периода времени (от преды­ стории). Это часто выполняется для сложных технических систем, содержащих большое количество элементов [7, 8]. Вообще экспо­ ненциальное распределение реализуется во всех случаях, когда рассматриваемая случайная величина допускает следующую ма­ тематическую интерпретацию. На положительную ось (или пло­ скость, объем) случайным образом бросаются точки так, что сред­

Р и с . 2. Э к с п о н е н ц и а л ь н ы й з а к о н р а с п р е д е л е н и я , XY — Зк2.

нее число точек, попадающих на единицу длины, постоянно и рав­ но Я. Тогда случайная величина отрезка, на который не попало ни одной точки, будет распределена по экспоненциальному закону. Примером такой случайной величины может быть время между испусканием двух следующих друг за другом ос-частиц при радио­ активном распаде радия.

Дифференциальный закон для экспоненциально распределенной случайной величины X имеет вид (рис. 2)

(3.4).

(3.5)

Экспоненциальный закон обладает интересным свойством: для него математическое ожидание и среднее квадратическое откло­ нение совпадают:

Это обстоятельство часто помогает установить справедливость данного закона в конкретных практических случаях.

Нормальный закон (Гаусса). Большая распространенность нор­ мального закона на практике имеет под собой глубокую теорети­ ческую основу, которая выражена в центральной предельной тео­ реме А. М. Ляпунова. Сущность теоремы заключается в следующем. Если случайная величина Z может быть представлена в виде суммы достаточно большого числа п независимых (или слабо зависимых) случайных величин X,

каждая из которых сравнительно мало влияет на сумму (т. е. сре­ ди слагаемых нет доминирующих), то для большого класса случай­

здесь является то, что результат оказывается не зависящим от за­ конов распределения величин Xt. Если же известно, что Xt рас­ пределены по нормальным законам с М(Хг) = УИг и D(Xt) — oi, то даже в случае зависимости Xt между собой закон распределения величины Z будет нормальным при любом п и любых Mi, ait при­ чем

зиции нормальных законов (т. е. при сложении независимых слу­ чайных величин, распределенных нормально) получится снова нор­ мальный закон. Законы, обладающие этим свойством; называются у с т о й ч и в ы м и .

ная наработка ряда восстанавливаемых изделий до капитального ремонта, погрешности изготовления (отклонения. параметров от