книги из ГПНТБ / Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов

определить семейство, к которому принадлежит закон надежности изделия, и впредь для подобных изделий уже не проводить дли­ тельных испытаний.

В заключение параграфа заметим, что если характер закона на­ дежности R (t) известен, то для вычисления параметров закона дос­

мянутые испытания, т. е. как рациональнее выбрать их объем: чис­ ло испытываемых образцов N и продолжительность испытания Т. Следующие параграфы посвящены именно этой задаче. Предполага­ ется, что характер закона надежности R (t) до проведения испытания известен.

§7.2. Определение объема испытаний

вслучае экспоненциального закона надежности

План [N, Б, Т ] . Необходимо подтвердить, что надежность из­ делия или вероятность его безотказной работы в течение требуемого

случае длительность испытания может быть как больше, так и

так как практически для всех более или менее ответственных изде­ лий реакторостроения Xta 0,1, иначе их надежность будет недопус­ тимо мала, или время испытания tn недопустимо велико. Отсюда, поскольку отказы изделий — независимые события, случайная ве­ личина m — полное число отказов после испытания по плану [/V, Б, Т] — в самом общем случае при любом р распределена по биноми­ альному закону [см. формулу (3.60)]. Обычно вероятность р =

— Ма <0,1 мала, поэтому, согласно выражению (3.65), биномиаль-

ный закон для абсолютного большинства практически интересных случаев совпадает с законом Пуассона (3.66) с параметром

Двусторонний доверительный интервал для вероятности р опре­ делен в § 4.2. По аналогии нетрудно найти и односторонний довери­ тельный интервал для р (0; р в е р х и ) . В соответствии с формулой (4.42) верхняя доверительная граница такого интервала с доверительной вероятностью а

Функция Q (т, а) [см. формулу (3.69)] приведена в табл. П.6. В дан­ ном случае иг — число изделий, фактически отказавших в процессе испытания. Величина а В Р р х н находится по табл. П.6 в строке с Q = = а и заданным т. Наиболее употребительные значения <з в е р х н при­ ведены в табл. 7.1.

Используя равенство (7.3), находим верхнюю границу аналогич­ ного одностороннего доверительного интервала для интенсивности отказов изделия

Следовательно, чтобы выполнялось условие (7.2), достаточно, чтобы изделия имели Я,в „р х п , удовлетворяющее уравнению

Итак, если нужно в процессе испытания подтвердить условие (7.2), т. е. обоснованно сделать вывод о достаточной надежности из­ делия, необходимо выбрать число испытываемых изделий п и время испытания ^п в строгом соответствии с выражением (7.10).

Очень важен частный случай, когда в процессе испытания не

твэлов, если известно, что закон надежности экспоненциальный. От­ вет на этот вопрос дается в следующей форме.

Если отказов твэлов за время испытания ta не наступит, то в со­ ответствии с условиями (7.11) и (7.12) надо запланировать испыта­ ние на время

Задаемся доверительной вероятностью а — 0,8. По табл. П.8 на­ ходим р0 = 0,28. Из предыдущего уравнения получаем

'л Ядоп = -Ро^тр/Л. = -0,28/0,23 = -1,22,

или Rsoa = exp (—; 1,22) = 0,3. Таким образом, из результатов ис­ пытания следует, что с 80%-ной достоверностью можно гарантиро­ вать надежность R (^т р ) клапана к концу 5 лет работы, не меньшую- Rnon = 0,3. Понятно, что такой вывод мало кого может устроить. Вот наглядный пример того, что испытание было спланировано не лучшим образом. Действительно, если хотим подтвердить' предпола­

при условии, что в этих испытаниях отказов не произойдет (т = 0). В заключение параграфа заметим, что иногда целью испытания- на надежность может быть не подтверждение условия (7.2), а прос­

то измерение фактического уровня надежности изделия. В-этом слу­ чае можно пользоваться формулами (7.7), (4.45) и неравенством (7.8). Например, получив в результате испытания тридцати изделий в те­

Если же инженера интересует не верхняя доверительная грани­ ца для интенсивности отказов изделия, а ее среднее значение, то> надо использовать формулы (6.44), (6.47), (6.49) и положить К = = 1/7V

\n J

т.е. время до принятия упомянутого выше решения в обоих планах одинаково. Однако при т;п > 0,1 из формулы (7.17) следует, что

тивный, но зато у разработчика будет больше времени для совершен­ ствования изделия.

§ 7.3. Определение объема испытаний по плану [/V, Б, Т] в случае других законов

надежности

Закон Вейбулла. Непосредственно из формы закона (см. табл. 6.1) видно, что при известном параметре у путем простой замены переменной т = /V можно свести данную задачу к уже рассмотрен­ ному в § 7.2 случаю экспоненциального закона. Поэтому для опреде­ ления объема испытания достаточно задаться у, хотя бы в нулевом приближении. После проведения испытания величину у можно уточ­ нить, используя формулу (6.45), где под ( э следует понимать /„. Если полученная по этой формуле оценка у « у, то испытание было спланировано правильно. В противном случае необходимо уточнить объем испытания при полученном у по формулам (7.18) или (7.19). Эти формулы легко получить, если в выражении для закона R (t) = = exp (—КП) произвести замену ty = т. Тогда, используя рассужде­ ния, предшествующие выводу формул (7.5)—(7.10), получаем

Таким образом, процедура определения объема испытаний в слу­ чае закона Вейбулла (в том числе все обозначения и таблицы) ана­ логична описанной в § 7.2.

Пример. Решим задачу, изложенную в примере после формулы (7.12), полностью сохранив все ее исходные данные. Однако пред­ положим, что для изделия справедлив вейбулловский закон надеж-

Сравнивая эти результаты, с аналогичными для экспоненциального закона [см. выражения (7.14), (7.15)], видим, что в случае закона Вейбулла с у > 1 требуются более длительные испытания для под­ тверждения одного и того же уровня надежности изделия при / ц <

изложенной выше методологией. Сущность ее заключается, во-пер­ вых, в сведении многопараметрического закона надежности к зако­ ну с одним неизвестным параметром и, во-вторых, в использовании

Задаем величину а [после испытания ее можно уточнить по формуле

где щ] — значение аргумента функции Лапласа Ф(и), при котором Ф ("vJ = Y2= -^доп — 0,5, находим по табл. П.1; иУл находим ана­ логично из равенства

(D(HVl) = Y l = 0,5— в "»рхв(«.а) .

п

Заметим, что для логарифмически нормального закона надеж­ ности решение подобной задачи сводится к случаю нормального за­ кона путем замены переменной т = In t; в итоге окончательное урав­ нение получается по форме совпадающим с выражением (7.23), где все / надо заменить на \nt. В случае гамма-распределения можно порекомендовать использовать подход, изложенный на стр. 258 — 263 работы [30].

§ 7.4. Приемо-сдаточные испытания на надежность (риски заказчика и поставщика)

Планы испытаний элементов реакторной установки, изложен­ ные в §§ 7.2, 7.3, могут быть использованы при приемке массовых комплектующих изделий заказчиком от поставщика, т. е. могут служить основой для планирования приемо-сдаточных испы­ таний на надежность. В этом случае допустимое количество отказов в испытании т |см., например, выражения (7.10) и (7.16)J, при кото­ ром считается, что изделия удовлетворяют заданным требованиям

Поскольку рассматриваемые планы .испытаний являются выбо­ рочными** (пспытываются не все изделия партии, а определенная

партии, имеющие меньшее среднее время безотказной работы То, чем оставшиеся изделия. Причем среднее по партии время безотказной работы Т 0 может быть вполне приемлемым Т 0 > Т о , п партия в целом удовлетворяет требованиям надежности, т. е. если бы всю партию поставили на испытание, то по его результатам она была бы приня­

п) случайно попадут изделия, обладающие более высоким (чем по партии в целом) средним временем безотказной работы Т0 '. В таких

** В д а н н о й г л а в е р а с с м а т р и в а е м о д и н из в и д о в т а к и х п л а н о в — п л а н ы т и п а о д н о к р а т н о й в ы б о р к и , н а и б о л е е п р о с т ы е м е т о д и ч е с к и и о р г а н и з а ц и о н ­ н о .