книги из ГПНТБ / Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов

3. Активная зона выходит из строя, когда т ^ 3. По аналогии с выражением (6.88) находим

4. Отказом активной зоны считается выход из строя т и более каналов. Вероятность безотказной работы зоны, состоящей из равнонадежных каналов (при /г* = 1 и nh ~ N), в течение времени t принимает вид

Яа.э(0 = Рк (if + CNPU (tf~' rh (і) + Cl ph (tf~2 гЛ (О2 + . . .

активной зоны за данное время эксплуатации. Стоящая перед нами задача сводится к следующей математической модели. В опыте участвуют /гь каналов (работают в реакторе в течение времени t). В результате опыта каждый канал может либо отказать (событие А), либо остаться работоспособным (событие А). Вероятность события А

приводит к биномиальному закону распределения zh. Следователь­ но, искомое математическое ожидание, согласно формуле (3.61), составит

Отсюда для активной зоны в целом, состоящей из /г* групп рав - ненадежных каналов по пк штук в каждой, получим

Следует подчеркнуть, что это среднее число отказов. Фактичес­ кое число отказов за время t, естественно, имеет какой-то разброс около этого среднего. Величину разброса можно оценить с помощью дисперсии (3.61) случайной величины zk:

Тогда для активной зоны в целом дисперсия случайной величины

При т ( / ) / 0 m > 3 т (/) распределена практически нормально. Тогда в соответствии с выражением (3.64) вероятность, что число отказав­ ших каналов за время / работы активной зоны окажется и интерва­ ле mx <1 т (t) ^ т.2,

Вероятности, что т (t) будет больше или меньше некоторого фик­ сированного т, соответственно равны:

Когда т (t) ат2, биномиальный закон для т (/) приближается к- закону Пуассона (3.68). Этот случай наиболее часто встречается при оценке надежности активной зоны, так как обычно надежность

для закона Пуассона можно записать соотношения, аналогичные (6.94) и (6.94а),

ших каналов активной зоны на период времени t. Для определения т3(а, t) прежде всего необходимо вычислить по формулам (6.92)— (6.93а) величины tn (t) и ат.

В действительности р и q не являются детерминированными вели­ чинами, равными р яд, а распределены около этих средних значений по вероятностному закону. Как показывают непосредственные ис­ следования, закон распределения р (характеристик прочности ма­ териалов) в абсолютном большинстве практических случаев можно описать одним из следующих четырех законов: нормальным (3.9), логарифмически нормальным (3.14), Вейбулла (3.52) и гамма-рас­ пределением (3.17). Что касается нагрузок, а стало быть, и напря­ жений q, то в литературе пока очень мало данных о их вероятност­ ных законах распределения. Интуиция инженера и теоретические предпосылки говорят о том, то здесь следует ожидать закон, близ­ кий к нормальному. В некоторых случаях, по-видимому, возможны и исключения. Например, в работе [15] принят (правда, бездоказа­ тельно) логарифмически нормальный закон для нагрузки.

В упомянутой работе рассматриваемая задача решена в пред­ положении, что и напряжение q, и характеристики прочности мате­ риала р распределены одинаково логарифмически нормально. Бо­ лее реальным является случай, когда q подчиняется нормальному закону, а р одному из вышеперечисленных, допустим, распределе­ нию Вейбулла. Именно для этого случая и попытаемся вычислить искомую вероятность Fa (t). Согласно формулам (3.9) и (3.52), плот­ ности распределения q и р имеют вид:

где ад — среднее квадратическое отклонение напряжения от сред­ него значения q. Для большей наглядности результатов предполо­ жим, что у = 2 (закон Релея). Тогда / 2 (р) = 2Хр ехр (—Хрй) и, согласно формуле (3.53),

Условием отказа рассматриваемого элемента конструкции является неравенство

Поскольку q и р — случайные величины, х — тоже случайная ве­ личина; найдем ее закон распределения. Для этого воспользуемся

формулой (2.31). Предполагая, что q и р — независимые величины т. е. / (<7, р) = h (<?)7а (р), получаем

(6.106)

Искомая вероятность отказа конструктивного элемента за время

Время t в правую часть выражения (6.107) входит неявно через % [см. формулу .(6.104)], так как р — р {t). Выражение (6.107) су­ щественно упрощается, если учесть, что обычно aq ^ Q,lq.

Отсюда

несложно рассчитать основные характеристики надежности эле­ мента конструкции. Некоторые фактические данные по прочности реакторных сталей, необходимые для оценки R (t), можно найти в работе [15].

Расчет надежности трубопроводов и арматуры. Наиболее прос­ той и рациональный подход к расчету надежности трубопроводов и арматуры реакторных установок базируется на статистике отказов соответствующих элементов в эксплуатации. Для арматуры метод расчета полностью идентичен изложенному в § 6.2 и 6.5. Достаточно знать интенсивность отказов Хг для каждого устройства (вентиля, клапана, задвижки и т. д.), тогда вероятность безотказной работы отдельного устройства в течение времени t можно вычислить по формуле (6.16). Величины Хг можно получить путем постановки специальных испытаний элементов арматуры на надежность либо в результате сбора данных об их отказах в эксплуатации (см. § 6.4), а также из литературных источников (см. табл. П. 10 в приложении).

Расчет надежности трубопроводов тоже можно вести по формуле (6.16). Интенсивность отказов в этом случае

дических колебаний параметров и т. д. и т. п. Естественно, что лю­ бой иной, нестатистический подход к оценке (прогнозированию) надежности, например, путем определения запасов прочности в кон­ струкциях, учитывает лишь одну группу факторов, определяющих надежность, характеризует лишь одну сторону проблемы.

и базирующийся на статистике отказов, невозможен. Единственным выходом остается следующий путь оценки надежности: выявление главных, определяющих факторов, связанных с конкретными кон­ структивными, режимными, физическими и прочими параметрами установки, пренебрежение относительно второстепенными факто­ рами, проведение расчетов, показывающих, что существует доста­ точный запас покаждому из упомянутых параметров, обеспечи­ вающий надлежащий уровень надежности. Такие расчеты не тре­ буют знания статистики отказов. Но это преимущество покупается ценой неполной оценки надежности.

Расчет теплотехнической надежности активной зоны реактора является классическим примером оценки одной стороны (в данном случае теплотехнический) общей надежности реактора. Поскольку этот расчет не использует в качестве исходных данных статистику отказов элементов активной зоны, он может проводиться для любых,

позволяет, во-первых, оценить уровень общей надежности реактора і ? о б щ , в частности, найти для него верхнюю границу, так как всегда •^общ ^ Я; во-вторых, оптимизировать параметры активной зоны по критерию теплотехнической надежности (пример такой оптими-' зации приводится в работе [61]).

Формула для расчета показателя R теплотехнической надежно­ сти. Показатель R представляет собой вероятность, что за время t работы реакторной установки в стационарном режиме не произойдет ни одного отказа активной зоны реактора по теплотехническим при­ чинам,.т. ё. пережога, прогорания, расплавления, связанного с на­ рушением нормального теплоотвода от твэлов. Такую вероятность R можно найти, используя подход, изложенный в § 5.3 [см. формулу 5.49)] и работах [6, 61—64]:

Поскольку обычно величины R и тем более Rh (теплотехническая надежность отдельного канала) близки к единице (иначе реактор будет ненадежен в теплотехническом отношении), формулу (6.114)

можно упростить, пренебрегая членами второго порядка малости относительно (1 — Rh):

даже при наличии зависимости между Ru формула (6.115) оказы­ вается справедливой.

Учет фактора времени. В общем случае показатель теплотехни­ ческой надежности R (6.114) является функцией времени.

Рассмотрим последовательно основные частные случаи.

1. Номинальные значения параметров каналов — аргументов функции г\1 — на рассматриваемом интервале времени остаются по­ стоянными (а стало быть, и сама функция ць = const) и величина случайного разброса каждого параметра около номинала также по­ стоянна (ah = const) и обусловлена в основном факторами, имеющи­ ми характер случайных величин Дх; = const, а не стационарных случайных функций времени A.xt (/) (шумов). Например, для неко­ торых реакторов величина oh определяется: практически не изме­ няющимися во времени, заложенными еще при изготовлении, слу­ чайными отклонениями от номинала загрузки 2 3 5 U в канал (кассету) и расхода теплоносителя через канал (из-за погрешности проливки), постоянной погрешностью замера общей мощности реактора, дав­ ления и входной температуры теплоносителя, погрешностью эмпи­ рической формулы для г/кР и т. д. Эти отклонения могут достигать 10% и более от номинала, а амплитуда эксплуатационного шума мощности канала, расхода через него часто не больше 1 %.

В таких условиях показатель R не зависит от времени. По свое­ му физическому смыслу, например, R = 0,9, представляет собой вероятность, что из 10 одинаковых реакторов в среднем у девяти будут заложены на этапе изготовления такие случайные отклонения