книги из ГПНТБ / Бигель Дж. Управление производством. Количественный подход

что можно переписать в виде

J 2<?—2т di = 0,008.

Уо/20

Решение этого уравнения дает

6.8. Вы воды

Существуют две основные системы управления запасами, каж­ дой из которых присущи свои достоинства и недостатки. На их основе можно строить системы, наилучшим образом подходящие к конкретным условиям данной компании.

При установлении уровней запасов необходимо учитывать из­ вестные величины спроса и возможный характер их случайных изменений. Запас, который защищает от дефицита, называется гарантийным запасом. Если запас предназначен лишь для удов­ летворения известного спроса, то его можно предсказать.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

6.1.—6.10. Дашше спроса указаны в приведенной ниже таблице.

а) Определить параметры системы управления запасами с фиксирован­ ным объемом заказа.

б) Определить параметры системы управления запасами с фиксирован­ ным интервалом между заказами.

в) Определить уровни гарантийного запаса для обеих систем, предпо­ лагая, что спрос имеет нормальное распределение.

6.11—6.20. Используя данные задач 6.1—6.10, соответственно постройте график зависимости запасов от времени для 6 циклов, когда спрос соответ­ ствует прогнозу. Введите гарантийный запас (начинайте с точки пополнения запасов).

а) Предположим, что спрос превышает прогнозировавшийся спрос на 5% в течение первых трех месяцев. Нанесите действительные запасы на ваш график. Достаточным ли гарантийным запасом вы располагаете? Какое влияние оказывает такое изменение спроса иа ваши затраты?

б) Предположим, что спрос в течение первых трех месяцев меньше про­ гнозировавшегося на 5%. Начертите кривую изменения действительных запасов. Достаточен ли выбраппый гарантийный запас? Как изменяются затраты?

6.21—6.30. Определите оптимальный буферный запас между станками А и В при условиях, указанных в таблице.

1 Плотности пормальиых (N), ностоянпых (V). вкспоненциальных (Е) и гамма (Г) - распределений со средним значением и среднеквадратнческпм отклонением, установленны­ ми для данной задачи.

'i

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

7.1.В ведение

Многие задачи управления производством и запасами можно решать методами линейного программирования. Некоторые зада­ чи можно решать непосредственно этими методами, тогда как для решения других -задач в их постановку предварительно необхо­ димо ввести определенные приближения. Поэтому получаемые результаты являются лишь аппроксимацией точных аналитиче­ ских решений.

Как следует из самого названия, линейное программирование является методом решения круга задач,, в которых все связи между переменными являются линейными. Развитие методов ма­ тематического программирования позволяет снять ограничение, связанное с линейностью связей, и, таким образом, обеспечивает возможность решения более широкого круга задач. Однако эти методы в данной книге не рассматриваются. Ниже излагается только один метод решения линейных задач. Читателю, желаю­ щему ознакомиться с другими методами, следует обратиться к дополнительной литературе.

7.2. М одель

Модель линейного программирования можно представить в следующем виде:

Максимизировать

Z = CpTj + СгХ 2 —f—... — С пХ п

при ограничениях

максимума внутри пространства решений, определяемого линей­

Двумерные задачи линейного программирования можно ре­ шать графическими методами. Задачи с большим числом пере­ менных требуют аналитического подхода.

7.3.1. Графические решения

Ниже будет продемонстрирован графический метод. При этом предполагается, что математическая модель уже построена.

7.3.1.1. Простая двумерная задача. Эта задача формулируется

хи х2 0. .

7.3.1.2. Графшческое решение простой задачи. Графическое ре­ шение рассматриваемой задачи показано на фиг. 7.1. Из этой фигуры видно, что допустимые решения должны лежать в прямо­ угольнике, определяемом осью хх, осью х2, прямой хх = 6 непря­ мой х2 — 4. Решения, лежащие в этом прямоугольнике, называют допустимыми. Как будет показано ниже, оптимальное решение лежит в вершине пространства решений. Иными словами, для рассматриваемой задачи целевая функция будет достигать макси­ мального значения в одной из четырех точек (0,0), (0,4), (6, 0) или (6, 4). Эти точки называются базисными допустимыми реше­ ниями.

Следующим шагом по решению задачи является проведение прямой, соответствующей постоянному значению Z. Допустим,

большее или меньшее значение Z в зависимости от того, лежит она ближе или дальше от начала координат. Однако в любом слу-

Ф и г . 7.1. П р о стр ан ств о допустим ы х реш ений простой задачи.

Z. Поэтому, если провести ряд прямых, соответствующих постоян­ ным значениям Z, то получим, что максимальное значение Z до­ стигается на прямой, проходящей через точку (6, 4), и Z достига­ ет своего максимального значения, равного 34, в этой точке. Как указывалось выше, значения х г и х 2, соответствующие максимуму Z, лежат в вершине пространства допустимых решений.

7.3.2. Аналитические решения

Для аналитического решения задачи линейного программиро­ вания необходимо сначала преобразовать неравенства (7.1) в ра­ венства. Это можно сделать с помощью введения дополнительной переменной в каждое из неравенств. Так как все неравенства имеют общую форму

а ц х і ^

преобразуются в равенства

Y iC i^ X j + Хь = Ь,.

і

Теперь можно найти решения, которые будут удовлетворять всем ограничениям, и максимизировать целевую функцию. Такая процедура будет продемонстрирована ниже на одном простом при­ мере. Если добавить две неотрицательные переменные к двум неравенствам (7.3), то можно дать следующую формулировку ре­ шаемой задаче:

Максимизировать

і» Я8 z4> 0 .

Вкачестве пробного решения используем (0, 0, 6, 4). Относи­ тельно этой точки можно по результатам анализа’изменения це­ левой, функции сделать вывод о том, что максимальная скорость возрастания получается при росте х 2. Отметим, что максимально

допустимое значение х 2 = 4. Если х 2 — 4, то ж4 должно равнять­ ся нулю, так как х 2 + х4 — 4 вследствие ограничений по неотри­ цательности значений х. При х г = 4 имеем Z = 16. Таким обра­ зом, найдено решение, лучшее, чем первоначальный выбор. Вновь анализируя изменения Z, можно увидеть, что любое увеличение хг приводит к увеличению значения Z. Но известно, что хг можно увеличивать только до 6. Поэтому новое решение определяется значениями переменных хх = 6, х2 = 4, х 3 — 0, хі = 0 . Значение целевой функции 34 остается таким же, какое было найдено ранее графическим методом.

Рассмотренный пример очень элементарен, но он иллюстриру­ ет общий подход, используемый при решении задач линейного программирования. Следует отметить, что выбранное пробное ре­ шение соответствовало вершине пространств допустимых решений, совпадающей с началом системы координат хх, х 2. Обе дополни­ тельные переменные в оптимальном решении равны нулю. (Это условие выполняется не всегда.)

7.3.2.1.Более сложная задача. Вообще говоря, число ограни­

чений в задаче линейного программирования не лимитировано.

Ф и г. 7.3. П р о стр ан ств о допустим ы х реш ений для более слож ной задачи.

(Прямая —Хі + Зх* =912. — Прим, ред.)

Покажем на следующем примере способ решения задач с большим числом ограничений.

Допустим, что линейная модель описывается системой соотно­ шений:

Эта система линейных неравенств и соответствующее простран­ ство допустимых решений показаны на фиг. 7.3.

Поскольку рассматриваемая задача относится к числу двумер­ ных, ее можно решить графически или аналитически. Аналити­ ческий метод решения подробно рассматривается ниже.

Из изложенного вытекает возможность следующим образом формализовать метод решения (после выбора пробного решения), позволяющий 1) определить, как найти следующее пробное реше­ ние; 2) установить, когда получено оптимальное решение. Такой процесс нахождения оптимального решения называется алгорит­ мом симплексного метода.

7.4. А л го р и т м си м п лексн о го мет ода

Для решения задач линейного программирования с помощью алгоритма симплексного метода требуется, чтобы целевая функ­ ция и ограничения были представлены в определенной канониче­ ской форме. Для Задачи (7.1) эта форма имеет вид

Максимизировать

После приведения задачи к каноническому виду можно при­ ступать к ее решению. Алгоритм дает способ отыскания решения

иуказывает, когда достигается оптимальное решение.

7.4.1.Шаги симплексного алгоритма Симплексный алгоритм включает следующие шаги:

1.Выбрать максимальное значение с- в строке целевой функ­ ции. Обозначить его с / (таким образом определяется вводимая базисная переменная).

2.Выбрать минимальное отношение Ъ[7а,-/ для всех а[с' > 0. Обозначить его Ъг'/агс' (таким образом определяется выводимая

базисная переменная). Если все аГС' 0, то решение не ограни­ чено.

3.Разделить г-ю строку на агс' .

4.Вычесть (или сложить) элементы г-й строки, умноженные на соответствующие коэффициенты, из всех других строк так, чтобы в с-м столбце были одни нули. Новая базисная переменная есть хс.

5.Выбрать максимальное значение с{ в преобразованной це­ левой функции. Если все с /^ 0 , остановиться. В противном случае вернуться к шагу 2.

Блок-схема симплексного алгоритма показана на фиг. 7.4.

7.4.2. Применение симплексного алгоритма :

Покажем работу симплексного алгоритма на примере задачи разд. 7.3.1. Каноническая форма записи условий этой задачи

Начало

Ф и г . 7.4. Блок-схема симплексного алгоритма.