книги из ГПНТБ / Бигель Дж. Управление производством. Количественный подход

материалов. При этом важно учитывать оптовую скидку, которая может изменяться в зависимости от объема поставок. Если разрыв цены (переход от одной цены за единицу товара к другой, более низкой вследствие оптовой скидки) происходит в окрестности опти­ мального размера партии, соответствующего более высокой цене, то следует определить общие затраты при оптимальном размере партии при последней цене и, сравнив их с затратами при размере партии в точке разрыва, выбрать размер партии, минимизирующий суммарные затраты за некоторый конечный период времени (обычно за год).

Затраты на содержание запаса определяются количествам запа­ сенного материала или даже самим фактом наличия запасов. В эту группу входят такие статьи затрат, как налог; страховые взносы, расходы на складские операции; плата за использование или арен­ ду склада; средства, вложенные в хранящийся запас; издержки, связанные с риском порчи и морального старения, и т. д. Если за­ пасы отсутствуют на складе, то, разумеется, не нужно выплачивать налоги или страховые взносы, отпадают погрузочно-разгрузочные складские операции, не требуется площадь под склад или, если таковая уже имеется, она может быть использована для производ­ ственных целей. Средства, не вложенные в запасы, могут быть ис­ пользованы для увеличения капитала другими способами. К тому же при отсутствии запасов исчезает риск физического и морального износа продукции или ухудшения ее качества.

Таким образом, определение оптимального размера партии включает рассмотрение взаимосвязи двух главных факторов: затрат и количества продукции. В наиболее общей форме задача определе­ ния оптимального размера партии или размера партии, минимизи­ рующего суммарные затраты, сводится к минимизации годовых из­

В уравнении (5.1) три элемента затрат отражены тремя соответ­ ствующими членами выражения. Годовые затраты на поставку со­ ставляют As/q0. Это легко увидеть, если учесть, что s/q0 (годовое потребление, деленное на количество единиц продукции на один заказ) составляет число заказов за год. Поэтому когда оно умножа­ ется на А (затраты на поставку на один заказ), то в результате бу­ дут получены суммарные годовые затраты на поставку. Годовые прямые затраты, определяемые закупочными ценами, равны sc, где

9 2 Глава 5

s — количество единиц продукции, закупаемых за год, с — цепа единицы продукции. Годовые затраты на содержание запаса опре­ деляются средним объемом запасов q j 2, умноженным на затраты на содержание единицы хранимой продукции і.

Сказанное можно выразить следующими словами: «Суммарные годовые затраты по закупке продукции равны затратам, связанным с ее заказом, прямым затратам, определяемым ее закупочной ценой и содержанием среднего объема запасов этой продукции в течение года».

Если мы продифференцируем уравнение (5.1) по д0, приравняем производную нулю и разрешим полученное уравнение относительно q0, то получим оптимальный размер закупаемой партии, отвечаю­ щий минимальным суммарным издержкам:

(5.2)

Отметим, что цена каждой единицы с, входящая в уравнение (5.1), не входит в выражение д0, определяемое (5.2). Поэтому мы можем прийти к выводу, который в общем остается в силе для всех задач управления производством, что любой элемент суммарных затрат, который определяется исключительно внешними фактора­ ми, не оказывает влияния на искомое решение.

Например, если мы предположим, что будем покупать деталь х, то существуют определенные затраты, связанные с ее приобрете­ нием. Для иллюстративных целей примем следующие значения зат­ рат: А (затраты па поставку единицы продукции) = 8,33 долл ./ед.; s (годовое потребление) = 1500 ед.; і (годовые затраты на содержа­ ние единицы продукции) = ОД долл./ед.

Тогда

Поэтому минимальные суммарные годовые затраты будут полу­ чаться, если размер заказываемой партии составляет 500 ед. Это означает, что должны заказываться 3 (1500/500) партии ежегодно. Поскольку спроЬ предполагается постоянным в течение года, заказ должен размещаться каждые 80 (240/3) рабочих дней (предполага­ ется, что в году 240 работах дней). В действительности объем зака­ зываемой партии и промежутки времени между заказами могут изменяться, что определяется используемой системой управления запасами. Этот вопрос будет рассмотрен ниже. Читателю не следует беспокоиться по поводу дробных частей заказываемых партий, по­ тому что на интервалы между точками заказов, кроме системы управления запасами, могут влиять отклонения спроса от прогноза и вероятное использование той части продукции, закупленной в предыдущем году, которая не была тогда потреблена.

Приведенная выше задана оптимизации может быть также реше­ на графически, как это показано на фиг. 5.1. Кривые затрат на поставку и затраты на содержание запасов нанесены на график как функции размера заказываемой партии. Суммарные годовые затра­ ты получаются суммированием этих двух кривых. Оптимальный размер заказываемой партии соответствует минимуму кривой сум­ марных затрат.

Из фиг. 5.1 видно, что оптимальный размер партии находится в той области кривой суммарных затрат, которая имеет отноейтель-

Размер партии q

Ф и г . 5.1. Графическое определение оптимального размера закупаемой партии детали х.

но пологий характер. Фактически переменная составляющая сум­ марных затрат изменяется следующим образом: при размере зака­ зываемой партии 400 ед. она составляет 51,25 долл., при 500 ед. — 50,00 долл., при 600 ед. — 50,83 долл, и при 700 ед. — 52,86 долл, (в этих данных не учитывается изменение цены единицы продукции в зависимости от размера партии). Из приведенных данных видно, что при возрастании размера партии на 40 % по сравнению с разме­ ром, соответствующим минимальным суммарным годовым затратам, происходит очень слабый рост суммарных затрат (всего на 5,72%).

ин т е р в а л

Впредыдущем разделе задача управления запасами решалась для идеализированных условий, т. е. предполагались постоянный

темп потребления, нулевой запас в точке пополнения запасов и мгновенный характер самого процесса пополнения запаса. В ре­ зультате таких предположений появилась модель системы управле­ ния запасами, подобная показанной на фиг. 5.2. Если мы сохраним

Ф и г. 5.2. Цикл изменения запасов при постоянном темпе потребления

и мгновенном пополнении.

эти предположения, заменив только условие мгновенного пополне­ ния запаса условием пополнения за конечный интервал, то модель запасов будет соответствовать фиг. 5.3. В этом случае пополнение запаса происходит в каждом цикле за время tv а потребление в те­ чение времени ty + t2 или в течение полного цикла. Для такой модели увеличивается оптимальный размер партии, так как средняя величина запаса теперь уже не равна q j 2, а меньше.

Ф п г. 5.3. Цпкл изменения зашісов при постоянном темпе потребления и пополнении за конечные промежутки времени.

Если ввести дополнительно следующие параметры: р — годовое производство, qm — оптимальный размер производимой партии, то можно получить выражение для оптимального размера партии при пополнении запаса за конечный интервал. В соответствии с фиг. 5.3

а средний запас составит (ty/2)(р—s)l240. Но ty равно оптимальному размеру партии qm, деленному на годовое производство р. Таким

Применяя далее рассуждения, аналогичные тем, которые использо­ вались при получении уравнения (5.1), получим выражение

Вычисляя qm из условия минимума С, получим выражение для оптимального размера производимой партии в виде

Используя пример расчета для детали х и предполагая, что де­ таль X произведена на нашем собственномпредприятии при затра­ тах на подготовку производства 8,33 долл., годовом потреблении 1500 ед., годовыми затратами на содержание запаса 0,10 долл, за единицу и годовым производством 12 000 ед., можем получить оп­ тимальный размер партии. Обратим внимание, что все величины равны использованным ранее, за исключением добавленной вели­ чины годового производства.' Оптимальный размер производимой иартин составит

Тот факт, что вапасы пополняются не мгновенно, а за конечный промежуток времени, привел к увеличению оптимального размера партии.

В данном разделе будет рассматриваться задача определения опти­ мального размера партии при условии, что допустим дефицит.' Бу­ дет также предполагаться, что не происходит потери спроса вслед­ ствие дефицита. Мы получим выражение для оптимального размера партии при возможности дефицита и мгновенном пополнении запа­ сов.

Рассматриваемая модель системы управления запасами показа­ на на фиг. 5.4. Общее выражение затрат за цикл имеет вид

С Т = А -\- і j t ' -t- h j t 'r, (5.5)

где S — максимальный положительный запас; h — издержки или штрафные потери, обусловленные дефицитом и отнесенные к едини­ це продукции за единицу времени; t ' — время, в течение которого запас выражается положительной величиной; t " — время, в тече­

ние которого запас выражается отрицательной величиной; Т — об­ щее время цикла. Известно также, что

илы

и

(5.6)

Тогда

(5.7)

и

(5.8)

Таким образом, оптимальный размер партии при наличии дефи­

цита возрос в У (і + h)lh раз по сравнению со случаем отсутствия дефицита. Если h возрастает, то отношение h/(i + h) приближается к і и оптимальный размер партий стремится к тому значению, кото­ рое было при отсутствии дефицита запасов. Если h становится очень малым, то отношение h/(i + h) стремится к 0 и оптимальный размер партии стремится к бесконечности. Оба результата вполне логичны, так как в случае высоких штрафных потерь из-за дефицита запасов мы с экономических позиций не можем допустить дефицита. Если штрафные потери из-за дефицита очень малы, то можно допустить очень большой дефицит запасов. Заметим, что понятие «малые» или «больпше» издержки имеет относительный характер: имеются в виду малые или большие потери из-за дефицита по сравнению с издерж­ ками на содержание запасов і.

Делая те же предположения, что и ранее при определении опти­ мальных размеров партии • детали х, й принимая h = 8,20 долл,

613

ТS 0,41.

1500

Приведенные расчеты свидетельствуют, что в том случае, когда допускается дефицит, имеет место большая величщга оптимального размера партии (613 вместо 500 ед.) и большая длительность про­ межутка времени между точками заказов (0,41 года вместо 0,33 года).

Продолжим рассмотрение изложенных выше примеров. При ус­ ловии мгновенного пополнения запаса мы должны были бы давать три заказа в год. Столько же заказов потребовалось направлять, если бы пополнение запаса происходило из источника с производи­ тельностью 12 000 ед. в год, так как в этом случае число заказов равнялось бы 1500/535 = 2,8 заказа в год. Условие мгновенного пополненпя запаса выполняется, если продукция закупается пар тиямп пли если темп производства существенно выше темпа прода жи, т. е. отношение s/p стремится к нулю. Темп производства на поставляющем предприятии не имеет значения при определении оптимального размера партии, за исключением случаев, когда про­ дукция поставляется партиями, меньшими оптимального размера. При мгновенном пополнении максимальный запас составляет 500 ед., а средний запас — 250 ед. При пополнении запасов из ис­ точника, производящего 12 000'ед. продукции в год, максимальный запас составляет 535 [1—(1500/12 000)] = 468 ед., а средний запас равен 234 ед. Поэтому, несмотря на больший размер поставляемой партии, средний запас меньше, чем при пополнении за конечный промежуток времени.

Максимальный запас при мгновенном пополнении составляет q0,

полнении запаса и ]/ &•/[! —(s/p)]/2А, если пополнение запаса проис­ ходит за конечный промежуток времени.

Из рассмотрения уравнения (5.4) видно, что при стремлении s к р оптимальный размер партии становится очень большим. Это вполне естественно, так как если производимое число единиц про­ дукции лишь немного превышает количество используемых единиц продукции, то запас будет расти очень медленно. С другой стороны, если р становится очень большим по сравнению с s, то уравнение (5.4) переходит в уравнение (5.2). Следовательно, можно сказать, что если темп производства очень велик по сравнению с темпом, продажи или спроса, то оптимальный размер поставляемой партии становится таким же, как при мгновенном пополнении запасов. Если темп производства соответствует темпу продажй, то наиболее экономичным является производство с постоянным темпом.

В ранее приведенных примерах рассматривался промежуток времени в 1 год. Такое ограничение не является необходимым, если значения s и і относятся к одному и тому же промежутку времени, гак как в этом случае можно пользоваться уравнением (5.2). Те.же условия применимы для уравнения (5.4), но при использовании уравнения (5.4) необходимо также, чтобы величины s и р, исполь­ зуемые в отношении sip, были взяты для одного и того же периода времени, однако совсем не обязательно, чтобы они были взяты для того же периода времени, что и указанные выше - величины s и і. Эти возможности изменения интервалов времени можно проиллюст­ рировать предыдущими примерами. В случае уравнения (5.2) мы могли использовать значения s и і для месяца, а не для года. Тогда s было бы равно 1500/12 = 125, а і = 0,10/12 = 0,0083 долл./ме­ сяц. Если бы использовались эти значения, то

Если же мы используем величины s i і, относящиеся к месяцу, а в отношении sip величины S H р, относящиеся к дню, то получим

5.7. О ц е н к а эф ф ект а и з м е н е н и я элем ен т о в с у м м а р н ы х за т р а т

Из уравнения (5.2) следует, что А изменяет оптимальный размер заказа, соответствующий минимальным суммарным годовым затра­

там, в число раз, равное У A J A 0, где А г — новые затраты на по­ ставку А0 — первоначальные затраты на поставку. Зависимость аналогичного типа проявляется и при изменении s. Если имеет мес­ то изменение і, то изменение размера заказываемой партии q0 об­

ратно изменению і, возрастая (или убывая) в У і0/гх раз. Исходя из изложенного, можно прийти к общим выводам, приведенным в табл. 5.1.

5.8. О п т о ва я ски д ка

Если предоставляется оптовая скидка, то для определения дей­ ствительного оптимального размера партии приходится делать не­ сколько расчетов. Однократным прямым расчетом установить опти­ мальный размер партии не удается, потому что функция суммарных