книги из ГПНТБ / Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования

чего можно всегда добиться при помощи замены искомых функций

Предположим, что переходные процессы рассматриваемой си­ стемы можно описать при помощи системы дифференциальных уравнений

щественны и вещественные части корней характеристического уравнения | Р — КЕ J отрицательны. Построим для этой системы уравнений функции, о которых идет речь в теореме 13, для того чтобы с их помощью построить область асимптотической устойчи­ вости нулевого решения (5.5) или же аппроксимировать эту об­ ласть изнутри некоторыми вложенными областями. Для этого рас­ смотрим уравнение в частных производных 1

. . ., уп) можно также брать любую голоморфную положительную функцию, наименьшие члены в разложении которой по целым поло­

может быть получена единственным образом в виде степенного

60

где Rm является известной формой m-й степени, если найдены уже

Из системы (5.8) последовательно найдем формы V2, V3, . . .

Отыскание этих форм осуществляется следующим образом. Берем произвольную квадратичную форму V2 с коэффициентами, под­ лежащими определению. Подставляем ее в систему (5.8) и прирав­ ниваем слева и справа коэффициенты при одинаковых произведе­ ниях yyyj (i,j = 1, . . . , « ) . После этого получаем линейную си­ стему алгебраических уравнений, определитель которой отличен от нуля, поэтому коэффициенты формы V2 определяются однознач­ но через коэффициенты формы ср и параметры системы. После этого находим функцию R a, а затем функцию V3 в виде формы третьей степени с коэффициентами, подлежащими определению.

Подставляя V3в (5.8) при т = 3 и приравнивая справа и слева члены при одинаковых степенях у ъ . . ., уп, получаем систему линейных уравнений с отличным от нуля определителем. Продол­ жая этот процесс дальше, можно найти все члены ряда, определяю­ щего функцию V.

Известно, что этот ряд будет сходящимся во всяком случае в достаточно малой окрестности начала координат и квадратичная форма V2 будет определенно-отрицательной. Отметим, что выбор функции ф (уу, . . ., уп) в уравнении (5.6) влияет на область сходи-

п

мости ряда (5.7); например, при ф = 2 2j У1 уравнение

7 = ф(^ ’ •••’ ^ )(1+1/)

61

имеет решение

п

V (Ух, • • ■, Уп) = е

П

( = 1

а при <р (ух, • • •, Уп)

/ [

Если искать в этом примере V (уг, ■■•, Уп) в виДе ряда, то областью сходимости его в первом случае будет все пространство, тогда как во втором —■лишь его ограниченная часть.

Рассмотрим уравнение первого порядка

гДе f (У) — целая функция, не имеющая вещественных корней, отличных от у = 0. Уравнение для функции будет иметь вид

/( г /) |: = ф Ы (1 + / 2)(1 + ^ ) .

Нетрудно показать, что при ф — f2 V также получается целой функцией; больше того, если f (у) не имеет линейного члена в своем разложении по целым степеням у, выбором функции ф можно до­ биться того, чтобы и в этом случае V получилось в виде ряда.

То же самое следует выяснить для случая системы уравнений. Дадим теперь метод построения области, целиком погруженный

рой точке поверхности s. Действительно, так как семейство поверх­ ностей V2 = —р заполняет все пространство, то найдется такое значение р, при котором У2 = —Р будет пересекать поверхность s.

Обозначим через —р наибольшее значение V2 (у2, ■■■, уп) на куске поверхности s, заключенном внутри поверхности V2 = —р.

Тогда V2 (у1, ■■•, уп) = —р будет касаться s.

62

положительно-определенная функция.

Имеет место следующее предложение: поверхность V2 (X) = = —Ро целиком содержится в области А.

Предположим противное, т. е. что эта поверхность частично содержится в области А. Это семейство поверхностей представляет

ибо —р 0 есть наибольшее значение V2 (X) на множестве W„. Сле­ довательно, значение —р 0 не может быть наибольшим для функции V2 на множестве W 0, откуда и следует наше утверждение.

Отметим, что в наших рассуждениях функция <р является произ­ вольной положительно-определенной квадратичной формой: таким образом,

63

Г л а в а И

ПОСТРОЕНИЕ И СТАБИЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ

6. Построение программных движений в управляемых системах

Рассмотрим сначала построение программных движений в ли­ нейных управляемых системах в простейшем случае. Пусть дана система п дифференциальных уравнений в векторной форме

и конечное положение системы (6.1). Требуется найти такую век­

ний и их построения. Обозначим через Y (t) фундаментальную си­ стему решений уравнений

Сделаем в системе (6.1) замену искомой функции по формуле

где вектор г представляет собой новую искомую вектор-функцию. Эта функция удовлетворяет уравнению

В результате этих преобразований над исходной системой краевые (начальное х0 и конечное хх) условия переходят в

I (0) = 10 = х0;

т

и (t) мы получили систему (6.8) линейных интегральных урав­ нений.

где с — постоянный вектор, подлежащий определению, a v (t) — некоторая функция, такая, что

Здесь bs (t) (s = 1, . . ., п) означают компоненты вектора В, и равенство (6.10) выражает собой условие ортогональности функ­ ции v (t) ко всем компонентам вектора В.

66

была неособой. При этом все множество программных управлений дается формулой

и — В*с + v,

где v (/) — суммируемая с квадратом на [О, Т ] функция и

Теорема 16

Для того чтобы функции Ьг (t), . . ., bn (t) были линейно-неза­ висимыми при t 0, необходимо и достаточно, чтобы существо­ вало такое число Т >> 0, чтобы

т

А (Т) = | ВВ* dt

о

была положительно-определенной матрицей,

равны нулю, будет существовать по крайней мере одна точка в про­

Неравенство (6.13) можно записать в виде

г

с* j ВВ* dt-с = с*А (Т) с > 0

о

при любом с; это неравенство и означает положительную опреде­ ленность матрицы А (Т).

Заметим, что матрица А (Т) будет также положительно-опреде­ ленной при всех t ^ Т.

Достаточность. Пусть матрица А (Т) положительно-опреде­ ленная; тогда для любого вектора с = (сх, . . ., ck\ и такого, что II с II ф О, будет

гт

с* А (Т) с = Jc*BB*c d t — J [с*В]2 dt >>0.

оо

Элементы матрицы [G = m X п) будем считать вещественными функциями ограниченной вариации. Требуется найти условия, при выполнении которых существует непрерывное решение х — = х (t) системы (6.11), удовлетворяющее (6.14), а также найти представление любого управления и = и (t), при котором такое решение существует.

68

Положим

т

Здесь У (t) означает фундаментальную систему решений для урав­ нений (6.2).

Обозначим через Z постоянную матрицу, столбцы которой представляют собой набор всех линейно-независимых решений уравнения

неособая, то при любом выборе векторной функции Fh вектора Н существует решение системы (6.1), удовлетворяющее условию (6.14). При этом каждое программное управление и = и \t) пред­ ставляется в форме

где с есть вектор, определяемый единственным образом. Вектор­ ная функция v суммируема с квадратом и удовлетворяет условию ортогональности

т

о

Теорема 17*

Если матрица (6.17) неособая и матрица А (0) имеет ранг п, то каждому управлению (6.18) отвечает единственное решение х =

=х (t), удовлетворяющее условию (6.14). Если же ранг матрицы

А(0) есть к < п, то каждому управлению (6.18) отвечает семейство решений системы (6.1), удовлетворяющее условию (6.14) и завися­ щее от п — k произвольных постоянных.

Теорема 18

Если матрица (6.17) особая и имеет ранг /, то решение системы (6.1) удовлетворяющее (6.14), существует тогда и только тогда, когда ранг матрицы В ' также будет равен /. В этом случае каждое допустимое управление представляется в форме (6.18), однако вектор 1 зависит от п — k — / произвольных постоянных. Каждому такому управлению при k = п отвечает единственное решение х =

69