книги из ГПНТБ / Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования

Выберем строго монотонную функцию L (т), заданную и непре­

L (t — t0) 5s X (t — t0). Легко видеть, что построенная таким обра­ зом функция удовлетворяет всем требованиям пункта 1 нашего плана.

Функция W является определенно-отрицательной и допускает

Из этого неравенства следует, что, во-первых, интеграл от правой части (3.15) сходится и в действительности определяет функцию V и, во-вторых, что эта функция допускает бесконечно малый высший предел, так как число е' можно считать произ­ вольно малым.

Покажем теперь, что функция V является положительно-опре­ деленной. Из (3.16а) следует

что получается из (3.16a) путем отбрасывания положительного

40

А тогда подынтегральное выражение в неравенстве (3.18) остается не менее положительного числа у (а), так как функция W опреде­ ленно-отрицательна. Поэтому имеем

П

V (Ухо, ■■■, Упо, t0) ^ y T при £ y lo > h 2,

1=1

что и означает положительную определенность функции V.

Остается показать, что ~ ~ = W. Для этого возьмем точку

У\, . ■■, уп на какой-либо интегральной кривой, соответствующую моменту t0 + At. Тогда, согласно (3.15),

гральной кривой. Этим теорема 8 доказана полностью. Следствие. Пусть нулевое решение системы (1.4) асимптоти­

чески устойчиво. В этой системе всегда можно сделать преобразова­ ние независимого переменного t таким образом, чтобы нулевое решение вновь полученной системы было равномерно притяги­ вающим.

Действительно, в качестве новой переменной времени в си­ стему (1.4) введем длину интегральной кривой в п + 1-мерном пространстве у г. . . ., Уп, t:

41

Если нулевое решение системы (1.4) асимптотически устой­ чиво, то нулевое решение системы (3.22) является равномерно притягивающим, что можно установить тем же способом, как это было сделано в лемме.

Теорема 8 будет давать необходимые и достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости для системы (3.22) без дополнительного требования равномерной притягиваемости.

Обратимся к признакам неустойчивости нулевого решения системы (1.4).

Теорема 9

Нулевое решение системы (1.4) неустойчиво, если существуют две функции V (уъ . . ., уп, t) и W (уъ .... ., уп, t), обладающие следующими свойствами:

1) функция V допускает бесконечно малый высший предел и принимает отрицательные значения в сколь угодно малой окрест­ ности полуоси (для любого фиксированного t > Т) у г = у 2 = . . .

и W, удовлетворяющие условиям теоремы 9. Покажем тогда, что нулевое решение системы (1.4) неустойчиво.

Доказательство будем вести от противного. Предположим, что нулевое решение системы (1.4) устойчиво. Тогда для любого е > 0

42

Возьмем положительное число е' <С е. Тогда можно указать

Положим е' = — V (у10, . . ., уп0, t0). Тогда из соотношения

(3.23) вытекает, что Vx {t, у 10, . . ., уп0, t0) —е' при t t0

и, следовательно, при этих же значениях независимой переменной будет иметь место неравенство

Полученное противоречие показывает, что теорема 9 верна, что и требовалось доказать.

Следствие. Если функция V (уи . . ., уп, t) удовлетворяет пер­ вому и второму условиям теоремы 9, а функция W будет опреде­ ленно-отрицательной, то нулевое решение системы (1.4) будет неустойчиво, так как вместо функции фа (t) можно брать отрица­ тельную постоянную. Утверждение, сформулированное в этом следствии, носит название первой теоремы Ляпунова о неустой­ чивости.

43

Теорема 10

Для того чтобы нулевое решение системы (1.4) было неустой­ чивым, необходимо и достаточно, чтобы существовали две функ­ ции V (у 1, . . уп, t) и W (уъ . . ., уп, t), обладающие следующими свойствами:

1) функция V имеет полную производную по t в силу системы (1.4), непрерывную на каждой интегральной кривой, удовлетво­ ряющую соотношению

влетворяющие условиям теоремы 10. Покажем, что нулевое реше­ ние системы (1.4) неустойчиво.

44

где \ГХозначает функцию W, вычисленную на той же интеграль­ ной кривой, что и V. Отбросив в (3.29) неотрицательный член W х

что противоречит соотношению (3.27), так как в качестве функций yL(t) здесь можно рассматривать интегральную кривую, удовлет­ воряющую условию (3.28).

Таким образом, нулевое решение системы (1.4) неустойчиво. Необходимость. Пусть нулевое решение системы (1.4) неустой­ чиво. Покажем тогда, что существуют две функции V и W, удо­

влетворяющие условиям теоремы 10.

Если нулевое решение системы (1.4) неустойчиво, то существует

остающиеся при неограниченном возрастании времени в этом

которых выходят интегральные кривые, пересекающие поверх­

45

Следовательно, условие 3 теоремы 10 выполнено, что и требо­ валось доказать.

Следствие 1. Нулевое решение системы (1.4) неустойчиво, если:

интеграл вычисляется вдоль ограниченных решений. Действительно, все условия теоремы 10, за исключением усло­

вия 3, выполнены автоматически; но условие 3 также выполняется благодаря тому, что его левая часть ограничена при ограничен­ ности функции V, а правая часть не ограничена. Впрочем, можно потребовать лишь, чтобы

t

1im J X (т) dx = + оо при t —+оо. to

Следствие 2. Если выполнены условия 1 и 2 теоремы 10, функ­ ция V ограничена и функция к является положительной постоян­ ной, то нулевое решение системы (1.4) будет неустойчиво.

Доказательство этого утверждения вытекает из следствия 1. Утверждение, сформулированное в следствии 2, носит название второй теоремы Ляпунова о неустойчивости.

Следствие 3. Нулевое решение системы (1.4) неустойчиво, если существуют две функции V и W, удовлетворяющие следующим условиям:

1)обе функции удовлетворяют условию 3 теоремы 10;

2)функция V непрерывно дифференцируема вдоль интеграль-

ных кривых системы и dV = W;

Действительно, положим к = - у \ тогда

— = kV dt '

При Е0 > 0 будет ] / > V0, а следовательно,

[к (т) dx —>оо при t -j- °о.

Отсюда из следствия 1 вытекает справедливость утверждения, которое носит название теоремы Четаева о неустойчивости.

46

З а м е ч а н и е 1. В п. 1 рассматривались системы дифференциальных уравнений, но не формулировались те условия для правых частей системы, при которых справедливы сформулированные теоремы. Все теоремы настоящего пара­ графа можно применять к исследованию устойчивости и неустойчивости невоз­ мущенного движения только тех систем, у которых существуют непрерывные решения, т. е. условие единственности этих решений не является обязательным требованием. Отметим, что для существования непрерывных решений достаточно, чтобы правые части системы дифференциальных уравнений были непрерывны в рассматриваемой области или допускали разрывы непрерывности первого рода по t в конечном числе на каждом конечном интервале времени. В точках разрыва

правые части системы предполагаются непрерывными справа.

З а м е ч а н и е 2. В этом параграфе все теоремы относились к тому слу­

1=1

щие им системы дифференциальных уравнений задаются лишь при t^-T. Тогда путем введения новой переменной времени т = t — Т можно привести рассмо­

трение к системе вида (1.4).

З а м е ч а н и е 3. Рассмотренную здесь теорию можно также применять к исследованию устойчивости движения в том случае, когда правые части си­ стемы дифференциальных уравнений заданы лишь на конечном интервале вре­ мени длительности Т.

Это исследование можно проводить путем замены конечного интервала бес­ конечным в другом отсчете времени.

Действительно, пусть правые части системы (1.4) заданы лишь при 0

Отметим, что для подробного ознакомления с теорией второго метода Ляпу­ нова необходимо использовать работы [42, 46].

4. Исследование вопроса об устойчивости нулевого решения по отношению к отдельным заданным координатам

При решении технических вопросов весьма часто ставится за­ дача исследования переходных процессов (неустановившихся движений) по некоторым заданным координатам.

Пример, приведенный в [43], показывает, что весьма важно знать общие методы исследования переходных процессов по от­ дельным заданным координатам. Для более определенной поста­ новки задачи введем ряд определений.

47

будет

Определение 12

Нулевое решение системы (1.4) называется асимптотически устойчивым по координатам г/1; . . ук, если по любому е > 0 можно указать такие числа 6Х> 0 и 62 > 0, что при выполнении (4.1) имеет место (4.2) и, кроме того,

Если система (1.4) имеет свойство, противоположное свойству устойчивости по координатам у ъ . . ., yk, то она называется не­ устойчивой по этим координатам.

Для пояснения этих определений рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений:

где g (t), f (t) и h (t) — функции, заданные при 1 ^ 0 и кусочно­

непрерывные. t

Если J g (т) dx ограничен сверху при t ^ t0, то нулевое ре-

шение системы (4.4) будет устойчивым по координате х. Дей­ ствительно, система (4.4) имеет решение:

Из вида этого решения следует наше утверждение, ибо \х \ <С < k |х„|, где

t

J g (Т)dx

48