книги из ГПНТБ / Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования

d V

]• V i (t 4 ~ М , Ую. У20. • • Упо. <„)— Уд (^. У ю ...........

Упо, t o )

V [У1

Ую- ■• Уя&> <о), ■■

Уп (t, Ую- • •

■>Упо’ ^о)> ^1

)■

At

Из системы (1.4)

находим

У»

“ Ь

9 l0 > • • • > 9 л 0 > / о ) ~

У, ( ^ i 9 l 0 ) • • •> 9 п 0 > ^ о ) “ Ь

/+д<

+ }

g s

(9 i,

. . ., Уп, t)d x =

& tgs

y s (t, t/i0, . . .,

Уф ,U).

t

имеем

Таким образом,

dV

= ] [ т ( V ( y i + M g [ . . . . , y n +

Mg ’n, t + А О

m ,

. . ..Уп, t)

dt

д;->о

At

At

d

TST. ••■>«/„ +

4n, t +

t) =

w при T =

0,

= - ^ v (У1 +

если считать,

что1

Hm W

+ A*. Vs + Mg's) -

V (t + A*. ys + Mg,) =

o.

(*)

где

At->0

At

t+At

J

g t dx

t

9S= ■

At

Функция W,

как и выше, называется полной производной по t

в силу системы (1.4).

можно

представить в

форме

JS ~ = W + W1,

где

W,

— полные

производные функции V в силу систем

(1.4)

и (2.16) соответственно.

1 Условие (*) заведомо выполнено, если функция удовлетворяет условию

Липшица

по переменным у г...........уп с показателем единица и функции gs (t,

Уъ ■•

Уп) непрерывны.

£ y U

r \ t ^ о,

1 = 0

где г — положительная

постоянная;

Ух = Уъ — - - -

2)

тождественно

обращалась

в

нуль

при

■• • — Уп — О и ПРИ фиксированном значении

t была

непрерывна

по переменным у г,

в точке у у = у 2 =

. . . =

уп = 0;

3)

была положительно-определенна;

4) была определена на любой интегральной кривой системы

(1.4)

до тех пор, пока интегральная кривая находится в области

задания функции V и является на любой интегральной кривой

невозрастающей функцией при t

t0, т.

е.

Vi (t, yl0,

. . ., уп0,

П

tо) не

возрастает при

t ^ t0 и

при Yi У*о <

г2-

Достаточность.

Предположим,

что

существует

функция

V (ух,

. . ., уп, t), удовлетворяющая

условиям,

сформулирован­

ным в

теореме 1. Требуется показать, что в этом случае нулевое

решение

системы (1.4)

устойчиво по

Ляпунову.

Возьмем 0 <<

< е <

г.

По этому е можно указать такое число Я >■ 0,

что будет

V {Уг........Уп, t)> K

П

у] =

при

£

е2.

*=i

• • •

= Уп = 0; V2 > 0 при 2 у\ + 0 и V2<

V (Уь . . .,

Уп, 0-

г=1

Обозначим через т наименьшее значение функции У2

на сфере

П

у) =

е2. Тогда из непрерывности V2следует,

что т > 0. В силу

г=1

неравенства

V

V2 будет

V (уи . .., Уп,

П

t)

при

2 У21— *?•

i=i

Легко видеть, что в качестве

X можно выбрать число X ^

т.

Вследствие

непрерывности функции

V (у ъ . . .,

уп, i) (условие2)

существует число б (tQ, е)

>> 0 такое,

что будет

П

б).

V (уи . . .,Уп, to) < Xпри 2 у}< 62(t0,

*=i

Покажем, что найденное число б (t0, е) отвечает взятому числу е,

согласно определению 3 (об устойчивости).

Действительно, пусть

2 У2о < б 2(^о,е).

i=i

Тогда

V (Ую, •

• •> УяО> *о) ^

(3-1)

Далее, по условию 4 теоремы

1

функция V± (t , y 10, . . .,уп0, to)

является

невозрастающей

при

t

^

t0.

Поэтому

Vi (t,

Ую, ■■■, Упо, t0) < V (у10, . . .

Упо,

to)

при t ^

t0.

Из неравенства (3.1) получим, что V х (t,

у 10, . . .,

уп0, t0)<_X

при t ^ tо,

откуда следует, что интегральная

кривая

при t ^

t0

П

удовлетворяет

условиям

2 у!<1 е2>так

как

в

противном случае

1=1

должен существовать момент Т > Д 0 такой,

что

П

2 У\(Т, Ую,.. ., Упо, U) — г .

i=i

Тогда для

выбранного числа X должно

быть

Vx (Т, у 10, . . .

, • •. Упо,

tо)

что невозможно, ибо при

t 5s t0

на основа­

нии (3.1) выполняется противоположное неравенство.

Таким образом, если

2

У2о<

б2 (to, г),

i~1

устойчиво. Тогда по е >-0

можно указать число б (t0, г) > 0 та­

кое, что при

£

У)о < б2 (t0, е)

Уз Уз (^> У101 • • •>УпО>g

^ I • • м ^)>

(3.2)

п

У]о > б2 (to, е).

Функцию V в точке (у10, . . ., уп0, t0)

определим

следующим

образом:

У(Ую, ..., Упо, to) = sup 1 /

£ у \ ,

(3.3)

t>to V

f t 1

П

однозначную функцию V (уи . . .,

уп,

t), заданную в области

£ ^ г 2;

^

0,

г=1

где г — некоторая положительная

постоянная. Таким образом,

условие теоремы выполнено.

Действительно, функция V (уг, . . ., уп,

t)

тождественно

равна

нулю при

г/i

= . . . =

уп = 0 ,

что следует

из (3.3).

Покажем,

что функция

V

непрерывна при фиксированном t

в точке у г =

. . . =

уп =

0,

для чего

возьмем число ех > 0.

Поэтому

вследствие

устойчивости существует такое

число

б (t0, е) >

0,

что

П

П

S

У\ (*. Ую>

Упо, to) <

81 при S

у]0 < б' (to, 81).

i=l

t=l

Тогда из (3.3)

следует

V (ylt . . ., уп, t) <

е2.

Таким

образом,

непрерывность

функции V (ylf . . ., уп,

t)

при фиксированном значении t можно

считать

доказанной.

Из

соотношения (3.3)

вытекает,

что

V (Ую, • • ,

УпО) to) ;

У\

Полагая

У2(У и ...,

Уп) =

у

S У*’

*

i=i

получим,

что

v t. Таким образом,

функция

положительно­

вию 4, достаточно установить,

что

значение

функции Vx (tlt

Ую, ■■■, Упо.

t о)

не

меньше, чем

на

(t2, у 10, .

. .,

уп0, t0),

если

только

t \ ^

10.

Для этого

интегральной

кривой

(3.2)

/ т г — ^

няя граница

величины 1/

^ У]

вычисляется при t 53 tx, во вто­

ром — при t

12. Так как

t2

tlt

то

sup

У\

sup

У\

t>t 1

t>t2

любой интегральной кривой при t ^

t0 и потому дифференцируе­

мой почти для всех значений t при

t ^ t0 (согласно теореме Ле­

бега [40]

о существовании почти везде производной у монотонной

функции).

При этом почти везде будет иметь место соотношение

сЛ/

dt

нахождения полной производной функции

V в силу системы (1.4).

Следствие 2. Если в области 2j У2 ( ^ г 2

при

i 53 t0 существует

непрерывная положительно-определенная

и

дифференцируемая

W = dVdt_ + s dyiдУ

81 (Уъ •,Уп)

f=1

установлено А. М. Ляпуновым [26]

и носит название первой тео­

ремы Ляпунова об устойчивости.

Следствие 3. Если функция V, о которой идет речь в теореме 1,

допускает бесконечно малый высший предел,

то нулевое

решение

системы (1.4) устойчиво

равномерно

относительно t0 ^

0.

Действительно [35],

при доказательстве

достаточности число

б (t0, е) выбиралось из

условия

П

V (уи . . ., Уп,

to) < к при

2 у\ <

б2 (*о, е).

(=1

П

V (Уи ...,

Уп, to) < К при £ у) < б2 (е)

г=о

для

^ 0.

Ясно, что число б (е) соответствует выбранному нами

числу е >> 0.

Условие наличия бесконечно малого высшего предела у функ­

ции

V (у 1, .

. ., уп, t),

которое обеспечивает равномерную устой­

V (уU . • .»

Угп to) <

h (to, е) при Е у] <

б.

Положим

г= 1

б (е) =

inf у (/0, в).

Определение 10

Будем

говорить,

что положительно-определенная

функция

П

V (Уъ ■■

Уп, t), заданная в области Е

«S /"2; t

0,

принадле-

жит к классу I , если inf у (t0,

t= l

=f=0 при любом e > 0.

e) = 6 (e)

to>0

Теорема 2

существовала функция V {уъ . .

уп, t) класса L, удовлетворяю­

щая всем условиям теоремы 1.

уп, t)

Достаточность. Пусть существует функция V (ух,

класса L, удовлетворяющая

условиям теоремы 1.

Покажем

относительно

t 0 53 0. Действительно, по любому е > 0

согласно

определению класса L можно указать число б (е) > 0. Устано­

вим,

что

это

число является искомым.

П

Усо < б (е). Тогда в силу условия 4 теоремы 1 будет

Пусть Е

иметь место

неравенство

^i(^> У10, ■• •>Ут, t0) ^ V {Ую, ■■■, Упо, to),

(3.4)

где,

как

и прежде, Vx является значением функции

V {ух, . . .

. . . ,

уп,

t) на выбранной интегральной кривой.

Однако

из

(3.4) имеем

Уг {Т, у 10,

. .

., уп0, t0) < X { t 0, г).

Полученное противоречие

показывает,

что

сделанное нами пред­

положение

о нарушении неравенства

П

£

У] (*, У10, • • •, Упо, t0) < е2 при

П

г' можно указать такое число б', что при £ У1о < 8 2 будет

П

1=1

Е y\{t,

ylo, . . . , y n0,t o ) < B 2

i—1

при t Ss t0, а тогда из (3.3)

V (t, y 10, . . ., yn0, t0) sg e'. Так как s'

Vi (t, у ю, • ■., t/no, to)

0 при t -> оо

и

Е Ум

(*о) •

1=1

Достаточность.

Предположим, что существует функция

V (yv . . ., уп, t),

обладающая

свойствами, указанными в тео-

чиво по Ляпунову.

можно

указать такое число

б (t0,

е), что при

Тогда по е > 0

2

t/?o< 62(*0, е)

будет

( - 1

П

Е у] (t, у ю,, . Упо, to) < е2.

i=i

Можно считать

б (^0,

е)

«с у (tQ). Покажем

тогда,

что

Е У1о <

б2 (to, в)

i=1

и последовательность

моментов

tx <3

<3

• • • <3 4 '>

h ->

+ 00

при

&

+оо

таких,

что

П

Е yHtk,yio,...,yno,t0)> < x> o .

i=i

I

А

тогда в

силу

положительной

определенности

функции

^ (*/х, • • •» Уп,

t) будет Уг {tk, у ............ упо,

U) > Р > 0, что

не­

возможно,

ибо

Fi (t,

у 10, • •

Упо, to) -> 0

при £->- +оо.

Этим

достаточность условий теоремы доказана полностью.

Необходимость. Предположим, что нулевое решение системы

(1.4)

асимптотически устойчиво. Покажем,

что существует функ­

ция V (ylt

. . .,

уп, t),

удовлетворяющая всем условиям теоремы 3.

вых стремится к нулю при

t ->■ + °о . Действительно, возьмем

любую интегральную кривую,

вдоль которой

П

шое число

V

такое,

что

П

y2i (t>

Ую, ■• ,Упо,

to) <

(е')2 при т' <

t.

Из соотношения

(3.3)

следует,

что функция

V,

вычисляемая

в точке у и

. . ., уп, t^> Т ', лежащей на рассматриваемой кривой,

будет удовлетворять

неравенству

Vi (t,

у ю, • •

уп0,

t0)

ss

е' при t ^

Т ',

что и означает стремление функции V, определяемой (3.3), к нулю

вдоль интегральных кривых системы (1.4).

Следствие. Если функция V,

о которой идет речь в теореме 3,

допускает,

кроме того, бесконечно малый высший предел или при­

надлежит к классу L, то нулевое решение системы (1.4) асимпто­

тически устойчиво равномерно

относительно t0 ^

0.

Условия

теоремы 3,

связанные

с убыванием

функции до

нуля вдоль

интегральных кривых

системы (1.4) при t -*• + °°,

непосредственно

проверить

не

представляется

возможным,

системы

(1.4). В связи с этим большое значение имеют различные

достаточные условия, которые

легче проверить, чем вышеуказан­

ные.

Теорема 4

Нулевое решение асимптотически устойчиво, если правые

части

системы (1.4) ограничены

в области

П

t ^ t 0 ; £

У\<г\,

i=\

где гг — положительная

постоянная, и

выполнены

следующие

условия:

1)

существует функция V (уи . . . . уп, t), удовлетворяющая

условиям 1—3

теоремы

1;

2)

существует

такая

неположительная функция W (уъ . . .

. . .,

уп,

t), являющаяся

полной

производной по

t

функции V

в силу

системы

(1.4), что

П

w ( y u .. ., Уп, 0 ^ ф а ( 0 < 0 при S f e a

;

(=1

3)

j фа (t) dt = — оо,

где

s — любая

бесконечная система