книги из ГПНТБ / Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования

Доказательство. Вычислим полную производную квадратичной формы (16.12) в силу системы (16.2). Тогда получим

Здесь W — полная производная V в силу системы (16.1), a W х мо­ жет быть представлена в виде трех слагаемых

Оценим эти функции. Из неравенства Буняковского будем иметь

2

Функция V является квадратичной формой. Поэтому

П

п

Лтаё \ i

t=l

этого учетверенную квадратичную форму, матрица коэффициен­ тов которой совпадает с квадратом матрицы коэффициентов формы (16.12). Известно, что собственные значения такой формы будут равны квадратам соответствующих собственных значений квадратичной формы (16.12). Из этого следуют неравенства:

(16.18)

Оценим теперь функцию сг2. Применив неравенство Буняков­ ского, получим

2

180

рица коэффициентов которой получается путем умножения мат­ рицы Q на матрицу Q*, транспонированную по отношению к ней; Q есть матрица, элементами которой являются функции qsi (t).

Обозначим через А2 (/) наибольшее собственное значение этой квадратичной формы; тогда

Положим р = l/V . Поделив обе части (16.16) на 2р, получим

Неравенства (16.21) позволяют оценить сверху и снизу произ­ водную от искомой функции р.

W

Отметим сначала, что функцию - у можно оценить так, как

181

ные выше нелинейные дифференциальные неравенства можно за­ менить линейными дифференциальными неравенствами путем

(16.24)

Объединив два последних неравенства, получим требуемое. Следствие 1. Существование функции V в виде квадратичной формы, удовлетворяющей всем условиям теоремы, можно гаран­ тировать для систем уравнений (16.1), поведение решения которых

определяется их линейным приближением

т. е. такая функция существует тогда, когда коэффициенты в си­ стеме (16.25) постоянны, а корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части и нелинейные функ­ ции ограничены относительно t. В этом случае функцию V можно выбрать в виде квадратичной формы с постоянными коэффициен­ тами и, следовательно, в качестве функций ф(- (/) и фг- (t) можно взять положительные постоянные.

Если коэффициенты системы уравнений (16.25) зависят от вре­ мени и ее любое решение

182

где ср (/)> Ф (0 — положительные функции <р (t) > 0, ф (/) > 0 , заданные при t ^ t 0 и непрерывные; рп qt (i = 1, 2) — положи­ тельные постоянные.

И если нелинейные члены в системе (16.1) удовлетворяют не­ равенству

сф (t) rl+“ (с > 0, а > 0),

то выполнены все условия теоремы и поэтому все решения си­ стемы (16.2) удовлетворяют неравенствам, указанным в утвержде­ нии теоремы, в которых надлежит положить:

Действительно, по теореме 28 существуют две квадратичные формы V и W, удовлетворяющие оценкам, указанным в этой теореме.

утверждения.

Следствие 2. Встречаются случаи, когда функция V по ка­ ким-либо соображениям не может быть выбрана в виде квадра­

дУ

2) дУ1 sg c(t) г*-"1;

3) полная производная функции V, вычисленная в силу си­ стемы (16.1), удовлетворяет неравенству

— фд* '-Дг W ~~~— ф2rk.

Тогда любое решение системы (16.2) удовлетворяет видоизменен­ ным неравенствам, указанным в теореме. Это видоизменение полу­ чается очевидным образом, если при доказательстве в качестве р

взять функцию р = у V.

З а м е ч а н и е 1. Функции as (t), qis (t), gs (t, y 1.......... yn) (s, i = 1, . . .

. . ., n) можно считать случайными. Тогда фиксированным начальным данным у 10, . . ., упо> to отвечает стохастический процесс, каждая реализация которого,

удовлетворяет системе (16.2) и начальным условиям. В этом случае неравенства, указанные в теореме, можно интерпретировать как оценки отклонения любой реализации такого процесса от установившегося движения.

З а м е ч а н и е 2. Функция X (t), о которой идет речь при доказательстве теоремы, вообще говоря, не может быть найдена. Тем не менее в качестве X (t) можно взять функцию X (t) = q (t) п, где q (t) — наибольшее значение функций

I <7si (t) | (s, i = 1, . . ., n).

Неравенства от этого станут более грубыми, но менее сложными для вы­ числения.

183

собой стохастический процесс, реализации которого с вероят­

реализации которого являются непрерывно дифференцируемыми функциями переменного t, с вероятностью, равной единице, удо­ влетворяющими системе (15.1) и условиям ys = ys0 при t = t0 (s =

=1, . . ., п).

Стохастический процесс (17.2) будем называть стохастическим

решением системы (15.1) с начальными данными у 10, . . ., уп0 при t = t 0.

Примем, что реальная система автоматического регулирования описывается системой уравнений

иподвергается воздействию случайных сил так, что координаты

уц . . . , уп, описывающие ее работу, фактически удовлетворяют системе уравнений

184

Примем, что разложение Ps в ряды не содержит свободных членов, т. е. система (17.3) имеет нулевое решение.

цесс X (t), относительно которого известна полная система кор­ реляционных функций. Задача состоит в том, чтобы дать способ вычисления полной системы корреляционных функций стохасти­ ческого решения (17.2) системы (17.4) при любых достаточно малых начальных отклонениях у10, . . ., уп0.

Для ясности дальнейшего изложения наметим путь нахожде­ ния полной системы корреляционных функций процесса (17.2).

Стохастическое решение (17.2) системы (17.4) может быть пред­

стемы (17.4) с нулевыми начальными данными. Это стохастическое решение можно найти по методу последовательных приближений; затем в системе (17.4) производится замена искомых функций по формуле (17.5), в результате чего получается система уравнений

Стохастическое решение системы (17.6) с начальными данными у10, ■• Упо находится как ряд по степеням у10, . . ., уп0 со стохастическими коэффициентами; после построения этого ряда стохастическое решение системы (17.4) можно считать найденным, так как имеет место формула (17.5).

После того как стохастическое решение построено, можно найти полную систему корреляционных функций этого решения, которое выражается через полную систему корреляционных функ­ ций заданного процесса qs (/, y lt . . ., уп).

Проведем указанную выше последовательность действий. Будем искать стохастическое решение системы (17.4) с нуле­

выми начальными данными. В качестве нулевого приближения возьмем числа у х — у 2 = • • • = уп — 0. Тогда получим

185

Известно, что ряд

уп) и, следовательно, является стохастическим решением для системы (17.4).

Сделаем в системе (17.4) замену по формуле (17.5); тогда для определения новых искомых функций zlt . . ., zn построим си­ стему (17.6).

Система (17.6) имеет нулевое решение. Предположим, что

представляет собой линейное ее приближение.

Ясно, что функции psi (t) являются, вообще говоря, случай­ ными функциями, которые получены из разложений коэффициен­ тов системы (17.4) путем применения операций сложения, умноже­

сходящегося при всех конечных значениях е [12, 26]; следова­ тельно, при е = 1 этот ряд дает фундаментальную систему реше­ ний для системы уравнений (17.7).

Запишем систему (17.6) в векторной форме

186

/ ^10\

' У по''

Будем искать решение интегрального уравнения (17.10) в виде

со

деляются через стохастические процессы, входящие в систему, при помощи трех операций: умножения, сложения и интегриро­ вания, поэтому все коэффициенты форм можно представить как многократные интегралы от полиномов, которые образуются из процессов, входящих в систему, а также функции Z (t, т). Следо­ вательно, все корреляционные функции стохастического реше­ ния (17.2) системы (17.4) можно выразить через корреляционные функции исходного процесса, так как можно предположить пере­ становочность математического ожидания с интегрированием по переменной t.

187

Формулы для вычисления корреляционных функций стохасти­ ческого процесса (17.2) существенно упрощаются, если считать,

что процесс ys (s = 1, . . ., п) задан, или, что то же самое, счи­ тать, что разложение функций qs (t, у ъ . . ., уп) в ряды по пере­ менным у х, . . ., уп не содержит свободных членов. В этом случае нахождение полной системы корреляционных функций сводится

кнахождению ряда по степеням начальных данных, удовлетворяю­ щих системе уравнений (17.10).

Отыскание математического ожидания от этого ряда приводит

киспользованию всех корреляционных функций процесса, вхо­ дящего в систему (17.4); это математическое ожидание представ­ ляется бесконечным рядом. Корреляционные функции второго порядка получаются также в виде бесконечных рядов от всех

корреляционных функций процесса, входящего в систему (17.4). В связи с этим в качестве стохастического решения системы реко­ мендуется брать стохастический процесс, получаемый путем от­ брасывания членов ряда, содержащих формы степени выше т, относительно у 10, . . ., уп0. Полученный процесс является при­ ближенным стохастическим решением системы (17.4), однако он позволяет найти любую корреляционную функцию, выражаю­ щуюся через конечное число корреляционных функций процесса, входящего в правую часть системы (17.4).

18. Об одном способе нахождения корреляционных функций стохастического решения через корреляционные функции заданного процесса

В предыдущем параграфе были отмечены те трудности, которые возникают при нахождении корреляционных функций стохасти­ ческих решений системы уравнений.

Ниже описывается способ, позволяющий оценивать эти кор­ реляционные функции через корреляционные функции случай­ ных сил, воздействующих на реальную систему.

Предположим, что координаты у ъ . . ., уп описывают переход­ ный процесс в системе автоматического регулирования, на ко­ торую действуют случайные силы. Известно, что в широком классе случаев эти координаты можно получить как стохастическое реше­ ние системы уравнений

цесс, т. е. для него известна полная система корреляционных функций.

188

Если не учитывать влияние случайных сил на систему, то пере­ ходный процесс Описывается системой уравнений

(18.5а)

189