книги из ГПНТБ / Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования

Г л а в а ///

ОЦЕНКА ПОВЕДЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ И УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМАХ

12. Метод оценок. Техническая устойчивость

Пусть заданы интервал изменения времени U0, t0 + Т] и два множества Gt h G( в пространстве п измерений yv . . ., уп. Если

существует такое множество F в пространстве допустимых зна­ чений параметров, что интегральные кривые системы (1.4), на­ чинаясь при t = 10 в множестве G{ , остаются в множестве G

при / £ П0, t0 -f Т], то нулевое решение системы (1.4) называется технически устойчивым.

Как уже отмечалось в п. 1, множество G( определяется, как

правило, техническими условиями работы реальной системы. Мно­ жество Gt формируется из определенных требований, предъявляе­ мых к расчетной системе. В большинстве случаев можно считать, что множества Gt и G( являются сферами с радиусами г( и г(.

Тогда задача технической устойчивости сводится к нахождению оценок поведения решений системы (1.4) по всем координатам; при этом координаты считаются равноправными в отношении предъявляемых к ним требований.

В п. 4 были приведены примеры, в которых было важно про­ вести детальное исследование поведения решений по некоторым заданным координатам (устойчивости по заданным координатам). В большинстве случаев такого рода в качестве множеств Gf и G(

можно задать «-мерные эллипсоиды.

Оказывается возможным свести решение вопроса о технической устойчивости к нахождению таких оценок на некоторой функции R

• ■•. Уno уtо) обозначено значение функции R (уъ . . ., уп, t) на этой интегральной кривой.

150

Ясно, что функция R (уъ . . ., уп, t) определяется в некотором смысле геометрическими свойствами множеств Gt и Gt.

Теорема 32

Если существуют две функции Е и W, удовлетворяющие предыдущим четырем условиям, функции ф,- (t) положительны

151

Доказательство. Возьмем интегральную кривую системы (1.4) и подставим ее в равенство (12.3); тогда оно превратится в тож­

дество = W. Умножая обе части этого тождества на функ­

Оценим подынтегральное выражение в формуле (12.6). По­ ложим X = Х2.

Функция W удовлетворяет неравенствам

4>Tu (t)R - ^h (t, уи . . . , Уп) ^ У ~ Хг^:

^<pTX2(t)R-x‘l'(t, уи . . ., Уп).

Из этих неравенств следует, что

152

Из неравенства (12.9) и соотношения (12.6) при к = кх по­

to

Из неравенств (12.7) и (12.9) следует, что функция R (t, у и . . .

■■Уп) удовлетворяет неравенствам

Подставив в правую часть неравенства (12.11) вместо функ­ ции V правую часть (12.8) и в левую часть (12.11) вместо функ­ ции V правую часть (12.10), получим равенство (12.4).

З а м е ч а н и е . Оценка (12.4) имеет место лишь вдоль тех интегральных кривых, которые лежат в области задания функций V и W.

Это замечание не носит характер ограничения на область применимости оценки (12.4), а лишь предполагает, что функции V и W продолжены по пере­ менным г/1; . . . . уп на все фазовое пространство.

Теорема 33

Если существуют две функции V и W, удовлетворяющие усло­ виям 1—4, приведенным выше, и kL > 1 (г = 1, 2), то при =

— /2 = I любая интегральная кривая удовлетворяет неравенствам вида

1-?.,

153

Доказательство. Возьмем интегральную кривую системы (1.4) и подставим ее в равенство (12.3); тогда теми же преобразованиями, какие были сделаны при доказательстве предыдущей теоремы, получим при Я > 1 соотношение вида (12.6).

Произведем оценку величины — WV~X, стоящей под интегра­ лом в (12.6).

При доказательстве предыдущей теоремы было показано, что

Таким образом, из неравенств (12.12) и (12.7) следует, что имеет место неравенство

Произведя аналогичные оценки сверху для величины — WV~% при Я = Я1( получим

В предыдущей теореме было отмечено, что функция R удовле­ творяет неравенству (12.11). Используя это неравенство и нера­ венства (12.14) и (12.15), получим требуемые оценки.

З а м е ч а н и е . Оценки, приводимые здесь, справедливы для тех кривых, которые лежат в области задания функций V и W, и лишь при тех значениях ta< ПРИ которых подкоренные выражения, встречающиеся в формулах,

неотрицательны.

Теорема 33 является более сильной, чем предыдущая, так как функции фг могут принимать значения разных знаков. Это замечание было бы неполным, если бы мы не отметили также, что теорема 32 относится к более широкому классу функций V. Однако вид этих функций каждый раз зависит от способа, по кото­ рому мы их выбираем. От нашего выбора зависит также функция R, поэтому условие li = /2 не является слишком ограничительным.

154

Теорема 34

Если существуют две функции V и W, удовлетворяющие усло­ виям 1—4 и = Л2 = 1; ф,- ^ 0, то любое решение системы (1.4) будет удовлетворять неравенствам

Доказательство. Пусть существуют две функции К и W, удо­ влетворяющие условиям теоремы 34. Возьмем интегральную кри­ вую системы (1.4) и подставим ее в соотношение (12.3). Умножим полученное тождество на функцию К-1 и проинтегрируем в пре­ делах от tо до t\ тогда получим

t t

J k'MK = J WV~4t,

ства (12.17), можно оценить тем же способом, как это было сде­ лано при доказательстве теоремы 33. Тогда будем иметь

155

Здесь

Теорема 35

Если существуют две функции V и W, удовлетворяющие усло­ виям I—4 и = I, А.2 > I и lx — Z2 = I, то любое решение си­ стемы уравнений (1.4) будет удовлетворять неравенствам

где

J Ф2Ф2 при фг О

I фгфГ^2 при фг < О

Доказательство. Левая часть неравенства (12.20) может быть найдена из замечания к теореме 34.

Правая часть этого неравенства может быть получена тем способом, который применялся при доказательстве теоремы 33.

156

Отметим, что неравенства, о которых говорится во всех теоремах, сформули­ рованных в этом параграфе, имеют место лишь при тех значениях t0, пока

интегральные кривые системы (1.4) лежат в области, в которой существуют функ­ ции V и W, удовлетворяющие условиям (12.1)—(12.3). Кроме того, эти неравен­

ства имеют смысл лишь до тех пор, пока подкоренные выражения, встречающиеся в них, неотрицательны.

Все теоремы, сформулированные в этом параграфе, составляют основное содержание того метода, который можно предложить для решения вопроса о тех­ нической устойчивости нулевого решения системы (1.4).

Теорема 36

Пусть даны: число Г > 0 и два множества Gto и Gt.

Если существуют две функции V и W, удовлетворяющие усло­ виям 1—4 и такие, что одно из неравенств (12.4), (12.4а), (12.16)

решение системы (1.4) является технически устойчивым.

Эта теорема будет давать, вообще говоря, лишь достаточные условия технической устойчивости; при этом неудачный выбор функций R и V может повлечь к жестким достаточным условиям. Для окончательного выяснения этих условий необходимо перебрать несколько экземпляров функций R и V и после этого продол­ жить рассмотрение полученных достаточных условий по возмож­ ности путем применения электронной модели системы (1.4).

Ниже приводятся примеры использования приведенного здесь метода.

13.Устойчивость на конечном интервале

Вработах Г. В. Каменкова [17] и А. А. Лебедева [23] была раз­ вита теория устойчивости нулевого решения на конечном интер­ вале времени. Эта теория имеет весьма тесную связь с понятием технической устойчивости. В настоящем параграфе мы изложим основные результаты, относящиеся к устойчивости на конечном интервале.

Впредыдущих параграфах отмечалось, что значения некоторой

функции V на интегральных кривых системы дифференциальных уравнений (1.4) позволяют иногда судить о поведении этих кривых. Эта же идея лежит в основе теории устойчивости на конечном ин­ тервале.

личины а.

157

Здесь, как и выше, Vx (t, у 10, . . ., уп0, /„) означает величину функции V (уи . . ., уп, t) на интегральной кривой системы (1.4), проходящей при t — t0 через точку (у10, . . ., уп0).

Определение 21

Нулевое решение системы (1.4) называется устойчивым на ко­ нечном интервале при данном t0, если существует положительное число т > 0 и такая положительно-определенная функция V (Ух, . . ., уп, t), что по отношению к ней нулевое решение си­ стемы (1.4) устойчиво на конечном интервале т.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Здесь psi (t) — вещественные функции, заданные при t ^ 0 и непрерывные там; функции fs (t, у и . . уп) заданы при t ^ 0

данные при t ^ 0.

Систему (13.1) можно рассматривать как один из возможных вариантов системы (1.4).

Теорема 37

Для того чтобы нулевое решение системы (13.1) при данном t 0 было устойчиво на конечном интервале по отношению к некоторой фиксированной положительно-определенной квадратичной форме V при любом выборе функций fs, удовлетворяющих неравен­ ствам (13.2), необходимо и достаточно, чтобы корни уравнения

имели отрицательные действительные части, где Р (t0) — матрица, элементами которой являются числа psi (t0).

Прежде чем перейти к доказательству этой теоремы, заметим, что нулевое решение линейной системы

спостоянными коэффициентами асимптотически устойчиво тогда

итолько тогда, когда все корни уравнения (13.3) имеют отрица­ тельные вещественные части.

458

Известно, что в случаё асимптотической устойчивости любое решение удовлетворяет неравенству

где clt c2— положительные постоянные. А тогда, как было по­ казано в п. 9, существуют две квадратичные формы V и W, удовле­ творяющие следующим неравенствам:

Действительно, пусть нулевое решение системы (13.4) асимпто­ тически устойчиво. Возьмем произвольную определенно-отрица­

Форма V, определяемая (13.5), является единственным реше­ нием уравнения (13.6) в классе квадратичных форм. Таким обра­ зом, получено следующее утверждение.

Если нулевое решение системы асимптотически устойчиво,, т. е. если корни уравнения (13.3) имеют отрицательные действи­ тельные части, то при любом выборе определенно-отрицательной квадратичной формы W, не зависящей от t, существует положи­ тельно-определенная квадратичная форма V, удовлетворяющая уравнению (13.6).

Это утверждение впервые сформулировано А. М. Ляпуновым и доказано им при помощи теории производных определителей. Отметим, что весьма полезна алгебраическая форма этой теоремы Ляпунова.

159