книги из ГПНТБ / Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования
.pdf
а через u° (t, х) — те значения вектора и, при которых функция W (t, х, и) принимает наименьшие возможные значения:
W(t, х, |
u®(t, |
х)) = |
in firm х, u). |
(10.38) |
|
|
u(-U |
|
|
Предположим далее, |
что |
|
|
|
W (t, х, |
u° (t, |
x)) = 0. |
(10.39) |
|
Будем считать, что система (10.34) при управлении
и = u° (t, х) |
(10.40) |
переходит из заданного начального состояния х° в заданное ко нечное состояние х1. Обозначим через х° (i) соответствующее этому управлению решение системы (10.34), удовлетворяющее
х °(0 |/= /. = х°,
и через u° (t) — значение управления u° (х, t) на движении х° (t). Допустим, что u° (х, t) — непрерывно дифференцируемая вектор-функция относительно компонент вектора х, которая как точка множества U является внутренней. Тогда из условий (10.38),
(10.39) имеем
dW(t, X, u° (I, х)) |
dW |
ST\ dW_ duk_ _ |
0 |
(10.41) |
dxj |
dx; |
' 2mi duf{ Ox: |
|
|
|
|
*=l |
|
|
Здесь при дифференцировании слева по Х/ остальные компоненты вектора х считаются параметрами, не зависящими от х
Из (10.41) имеем
иначе
а |
дУ |
dW |
dV |
dfs |
Йо. |
= 0. |
(10.42) |
dt |
dxj |
dxs dxj / . + 2 |
dx. |
dx: |
dx. |
|
|
Соотношение (10.42) может быть переписано в форме
d_ |
W |
dfs |
а/p _ n |
(10.43) |
|
dt |
dxs |
dxj |
dxj |
||
|
В формулах (10.42) и (10.43) считается, что функция V (t, х) дважды непрерывно дифференцируема по своим аргументам.
Положим
а ^ - = М * ) ПР И х = х ° ( 0 -
120
ч
Тогда (10.43) можно записать в виде
П
(10.44)
Пусть х 0 = /о и Я-о = 0, а также
я = Ъ Ч Л *’ х. и)- |
(10.45) |
j=0 |
|
В этом случае будем иметь
д н .
Xi ~~ д)ч ’
(10.46)
Система (10.46) представляет собой каноническую систему диф ференциальных уравнений. Из предыдущих рассуждений выте кает, что ей удовлетворяют функции:
|
|
|
|
|
x = x°(ty, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
и = u° (t) |
|
|
|
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dv |
|
|
п |
|
|
|
|
h = |
а^7 |
ПРИ х = х (0; |
|
|
||||
|
|
Я „=1; |
|
х0( 0= |
tJ /о (х, |
и, т)dx. |
(10.47) |
|||
Рассмотрим теперь функцию Н (t, х° (t), u°, X (t)). Эта функция |
||||||||||
при u = u° (t) |
достигает |
своего |
наименьшего |
возможного зна- |
||||||
чения |
dV (t , х«(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
W ( t , х°(0, ц ) = |
аУ (д/Х°(0) + ^ (< , х°(0 . |
МО, и). |
|||||||
Так как имеет |
место |
(10.39), |
то |
будет |
|
|
|
|||
|
|
M W |
= |
W { t , |
х°(0, и®(х°(<), |
0); |
|
|||
|
|
u£t/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
inf Я 0 , |
х° (/), Я(0,и) = |
dV(t, |
х » ( 0 ) |
||||||
|
ufU |
|
|
|
|
|
dt |
|
||
Таким образом, |
доказана следующая теорема. |
|
||||||||
121
Теорема 30
Если выполняются следующие условия:
1) существует дважды непрерывно дифференцируемая функ
ция |
V |
(t, х), заданная при |
t£ U0> h h |
х б £ л и V (tlt |
х1) = |
0; |
||||||
2) существует такая непрерывно дифференцируемая функция |
||||||||||||
и0 (t, |
х), что u° (t, х) — внутренняя точка |
U и |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
inv W (t, х, u) = W(t, x\(t), |
u°(t, |
x° (0) = |
0; |
|
|
|
||||
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
система |
(10.34) при управлении |
u = |
u° (t, |
x) |
переходит |
|||||
из начального состояния х° |
в конечное состояние х1, |
|
|
|
||||||||
то существует оптимальное управление |
u° (t) |
и |
оптимальное |
|||||||||
движение х° (t), а также такие функции |
|
(t); j |
— 0, |
1, |
. . |
п, |
||||||
что они удовлетворяют канонической |
системе дифференциальных |
|||||||||||
уравнений (10.46), причем функция Н |
(t, х (£), и, |
%(t)) |
принимает |
|||||||||
при |
и |
u° (t) наименьшее |
возможное |
значение |
dV (t, хО (<)) |
|||||||
|
|
dt |
|
|||||||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H(t, |
х°(t), X(t), |
u°) = mlH(t, x°(0, |
К |
U). |
|
(10.48) |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
u^U |
|
|
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е . |
Рассмотрим функционал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Л |
|
u)dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = Р ( |
х 1 ) + X |
, |
|
|
|
(10.49) |
|||
to
и предположим, что конечное состояние х1 располагается на гладком многообра зии
gy (x0 = 0 |
( / = 1 ____ _ |
k). |
|
(10.50) |
|
Если в предыдущей теореме условие |
V (tlt |
х1) = |
0 заменить |
условиями |
|
V (0, х1) = Р (х1) и g j |
(х1) = |
0 (/' = |
1, . . ., |
k), |
(10.51) |
То утверждение теоремы останется в силе. Однако теперь для определения функ
ций Я/ (t) (/ |
= 1...........п) |
и функций x°j (f) (j |
= |
1............. п) имеется, вообще го |
воря, всего |
лишь п + |
k краевых условий, |
т. |
е. задано начальное состояние, |
в котором оказывается система (10.34) при |
t = |
t0, и задано k условий для ко |
||
нечного состояния (10.50). |
|
|
||
Покажем, что недостающие краевые условия можно определить из усло вия (10.51), которое заключается в том, что функция V при t = t х должна обра
щаться в заданную функцию Р (х2) на многообразии (10.50). Пусть х1 — неко
торая точка, удовлетворяющая (10.50) и условию V (tlf х1) = Р (х1). Так как уравнения (10.50) определяют гладкое многообразие размерности п—k, то, по
определению, |
векторы gradg/ |
(j = |
1, |
. . ., k) должны быть линейно-независи |
|
мыми. |
|
|
|
ап) |
|
Обозначим через а = |
( а ь . |
. . , |
какой-либо вектор, ортогональный одно |
||
временно всем векторам grad gj |
(j = |
1, . . ., k). Рассмотрим далее такую вектор |
|||
ную функцию |
х = х (в), |
что gj (х (е)) = 0 (/ = 1, . . ., k): |
|||
dx
х(0) = х1 и de в = 0 = а .
Тогда будем иметь V (tu х (е)) = Р (х (е)).
122
Дифференцируя последнее равенство по е и полагая е = О, найдем
(grad У (/у, х1), |
а ) |
= |
(grad Р (х1), а ) ; |
|
(grad gj (х1), а ) |
= |
0 |
(/ = 1................ |
к). |
Так как вектор а может принимать произвольные значения в пространстве,
ортогональном векторам grad gy, то последние равенства одновременно могут выполняться лишь в том и только в том случае, когда вектор grad У (tt , х1) —
—grad Я(х1) будет содержаться в пространстве, натянутом на векторы grad gy(/ =
1, . . ., к).
Следовательно, существуют такие |
постоянные /х.......... 4 , |
что |
|
|
|
k |
|
grad У = |
grad Р + £ Zygradg/. |
(10.52) |
|
Так как |
|
/=1 |
|
<ЗУ |
|
|
|
|
|
|
|
М 0 |
= ~дх[ |
ПрИ Х = Х° |
|
то из (10.52) будем иметь
K(h)
дР (х1) dxs
|
« - ■ |
->■ |
(10.53) |
/=1 |
|
||
|
|
|
Условия (10.53) называются условиями трансверсальности. Они вносят добавочные неизвестные переменные 1г, . . ., Д. Таким образом, искомых ве личин становится теперь 2п + к, а именно:
х° (0, *,s (0, |
(s = 1, |
1, • . |
fe). |
Для определения этих величин имеется также 2n + k краевых условий:
заданы начальное состояние и условия (10.50) и (10.53). П р и м е р . Пусть задана система уравнений:
х = Р (/) х + Q (0 u + F (/); |
(10.54) |
U
J = | [А* (0 х + |
В* (t) u] dt + |
с*хх; |
(10.55) |
*0 |
|
|
|
А * х + 6 / = 0 |
0 = 1, . . |
к ) . |
(10.56) |
Требуется найти оптимальное по отношению к функционалу (10.55) управ ление и0 (/), переводящее систему (10.54) из заданного состояния х = х° при t = t0 на многообразие (10.56), при условии, что управления стеснены ограни
чениями
I и/1 ^ 1 0' = 1........... |
г)• |
(10.57) |
Далее будем предполагать, что элементы матриц Р, Q, компоненты векто
ров F, А, В являются вещественными кусочно-непрерывными функциями, за
данными при t £ [Д, Д]; компоненты векторов с и А/, а также величины Ь/
будем считать вещественными числами. Естественно предполагать, что векторы А/ линейно-независимы между собой.
Положим
У (t, X) = J* (t) х + ф (0;
|
t |
|
|
|
(10.58) |
|
Z = |
У + J |
[А* (о х + |
В* (t) |
u] dt; |
||
|
||||||
|
to |
|
|
|
|
|
W ■ {i* + |
к*P + |
A) x + Ф + |
X*F + |
( Г Q + B*) u. |
(10.59) |
123
Функция (10.59) достигает наименьшего возможного значения при условии
(10.57) в точке
и, (t) = - s ig n [X*Q + В* ]/ (/ = 1____ _ г). |
(10.60) |
Здесь индекс при скобке / означает /'-компоненту вектора, указанного в скобке.
Выберем теперь функцию ф и вектор X так, |
чтобы функция (10.59) |
обраща |
|
лась в нуль при условии (10.60). |
Тогда получим |
|
|
X* + |
Х*Р + А* = |
0; |
(10.61) |
|
г |
|
|
ф + X*F - |
£ I (X*Q + В*)/1 = 0. |
(10.62) |
|
/=1
Из замечания к последней теореме вытекает, что компоненты вектора X
должны удовлетворять условию трансверсальности. В данном случае оно имеет
вид
k
|
М 'х) = С + 2 |
//А /. |
(10.63) |
|
/=1 |
|
|
Условие |
(10.63) позволяет определить с помощью (10.61) вектор X. |
При этом |
|
он будет |
линейно зависеть от величин /х........... |
/&. |
|
Равенства (10.60) дадут тогда управления, зависящие также от постоянных /х..........Ik, и эти управления будут доставлять функционалу (10.55) наименьшее
возможное значение. Если подставим управление (10.60) в систему (10.54) и проинтегрируем ее с начальным условием х = х° при t = tQ, то получим иско
мое оптимальное движение х° (/). Это движение будет зависеть по-прежнему от постоянных /х, . . ., Ik-
Подставив найденное движение в (10.56), найдем k уравнений для опреде
ления постоянных /х, |
. . ., Ik- Получаемые таким образом уравнения для вели |
|||
чин /х, |
. . ., Ik могут быть разрешены с любой наперед заданной степенью точ |
|||
ности. |
|
|
|
|
Теорема 30 и замечание к ней носят достаточный характер. |
||||
Введем в рассмотрение вектор |
|
|
||
|
t |
У == (х0, хъ |
. . ., хп), |
|
|
|
|
|
|
где |
х0= J /о(х, |
u)dt. |
|
|
|
to |
|
|
|
Этот вектор будет удовлетворять системе уравнений |
||||
|
|
= |
У, и), |
(Ю.64) |
где |
F{у, и) = [/0 (х, и), fx(x, и), |
. . ., S„(x, |
и)]. |
|
Предположим, |
что существует допустимое управление и — |
|||
— и0 (t), переводящее систему (10.34) из начального состояния х° в конечное состояние х1 за промежуток времени U0, £х]. Тогда это управление будет переводить систему (10.64) из начального состояния у0 в конечное состояние у1 за это же время.
Рассмотрим уравнение в частных производных
П
■ х И -2 М У , u (*»-g- = 0. |
(10.65) |
s= 0 |
|
124
Построим решение этого уравнения: |
|
|
|
|||
V (к |
У) = |
(Ь1, У — У1) при t = |
tlt |
|
|
|
где X1 — некоторый вещественный постоянный вектор. |
|
|
||||
Обозначим через |
|
|
У = У (*, 11) |
|
|
(10.66) |
|
|
|
|
|
||
общее решение системы (10.64) с условием у |
(tly л) |
= |
У1 + л> |
|||
где ц — произвольный |
радиус-вектор, соединяющий |
точки у 1 |
||||
и у и имеющий достаточно малую длину. |
(t), получающееся |
|||||
Решение, соответствующее управлению u |
||||||
из (10.66) при г] = |
0, |
будем обозначать далее через у (t), |
так что |
|||
У (t0) = У°. а У (*i) |
= |
У1- |
|
|
|
|
Разрешим равенство (10.66) относительно компонент вектора т). |
||||||
Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л = &(*. У)- |
|
|
(Ю.67) |
Компоненты векторной функции (10.67) представляют собой первые интегралы системы (10.64), причем они дают полную си стему этих интегралов.
Из предыдущего вытекает, что |
|
||
К к , |
Л + |
УХ) = Л- |
|
Рассмотрим функцию |
|
Кк у)-у1). |
(Ю.68) |
v = (v, |
у (к, |
||
Так как функция (10.68) является функцией первых интегралов системы (10.64), то она обязательно удовлетворяет системе в ча стных производных (10.65).
Положим в (10.68) t = |
tlt у = |
г ) + у 1 . Тогда имеем V (tu |
|
Л+ У1) |
= (^х>л)>откуда получаем |
|
|
|
V(k, |
у) = (Ь\ |
У — У1). |
Последнее равенство выполняется для всех точек у , расположенных в сфере с центром у 1 достаточно малого радиуса.
Таким образом, формула (10.68) дает искомое решение урав
нения (10.65) |
в некоторой достаточно малой трубке с осью у |
= |
|||
= у (t). Именно функция (10.68) задана при t£ U 0 , |
t x] и f l y |
— |
|||
— У (Oil |
6, |
где 6 — достаточно малая положительная постоян |
|||
ная. |
|
|
и (t) доопределить с сохранением непре |
||
Если управление и = |
|||||
рывности |
на |
несколько |
более широкий промежуток |
[to, t[ ], |
то |
формула (10.68) будет определять искомую функцию также на этом более широком промежутке.
Положим |
|
|
= |
при у = у |
(10.69) |
Тогда к (t) = А,1 при t = 11, где к = (к0, . . ., кп).
125
Продифференцируем формально соотношение (10.69) ПО t :
dkj |
_ д |
dV |
+ ^ М у (0, u (0) dy s д у . • |
|
dt |
~ dt |
dyj |
||
„_Л |
||||
|
|
|
Подставим функцию (10.68) в (10.65), продифференцируем полу ченное тождество по ys, переставим затем порядок дифференциро вания и положим у = у (0- Тогда получим
д |
ду |
|
|
|
П |
|
£ м у ( 0 . |
“ ( |
0 ) ^ |
||||
дt |
dyj + |
|||||
|
|
«=П |
|
|
s=0 |
|
так как |
= Xs при у |
= |
у ( t) . |
|||
Сравнивая последнее и предпоследнее равенства, находим |
||||||
|
dkj |
£ |
3,,<yV) |
« т ± к и = 0..........(10.70) |
||
|
dt |
s=0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Положим
V/(y, u(0).
/=0
Легко заметить, что системы (10.64) и (10.70) могут быть за писаны в форме Гамильтона
dys _ _сШ_. ' dt ~ dks ’
dls |
дН |
(10.71) |
dt ~ |
dys |
|
(s=0.......п). |
|
|
Покажем теперь, что компоненты векторов у |
(t), к (t) и управ |
|
ления u (t) действительно связаны между собой системой Гамиль тона (10.71). Предыдущий вывод этого утверждения остается спра ведливым лишь для того случая, когда функция V имеет вторые непрерывные частные производные по всем своим аргументам.
Обозначим через /у- единичный орт декартовой системы коор
динат в пространстве переменных у . |
Подставим функцию (10.68) |
||||||
в уравнение (10.65) и положим у |
— |
у |
(т), где у |
(т) есть решение |
|||
системы (10.64) с начальным условием у(т) = |
у (т) + |
/ у- у у при |
|||||
t = т. |
|
|
|
|
|
|
|
Проинтегрируем полученное тождество в пределах от t до tx |
|||||||
вдоль интегральной кривой у = |
у (т). |
Тогда получим |
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
дУ (т, у (т )) + |
У(т), U |
(т)) |
дУ (т, у (т )) |
dx = 0. |
(10.72) |
|
dt |
s=0 |
|
|
dys |
|
|
|
126
К левой части (10.72) добавим и вычтем выражение
|
|
tx |
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
s—0 |
Ks (т) fs (У М, |
U (т)) dr. |
|
|
|
||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В результате будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
‘[ { w |
+ Y f |
\ J L |
- K' |
s |
|
11 |
n |
|
|
|
||||
d r + \ ^ X sfsdr = 0. |
(10.73) |
|||||||||||||
J |
dIt |
^ |
i |
d y s |
||||||||||
t 1 |
|
s=0 |
|
|
|
|
|
t |
|
s=0 |
|
|
|
|
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Vi = |
V — '£i Xj (ijj (t) — ijj (t)). |
|
|
|
||||||||
Тогда (10.73) |
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
\ 4 i vi dx+1 |
К |
5(^(т) - ^ ( ть |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
t |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
n |
J |
2 |
^ |
* |
d T = = |
|
|
|
—К (т) ys (t) d T + |
s—0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
||
Отсюда далее имеем |
|
|
|
иJ |
|
|
|
|
|
у (т))+ |
|
|||
— [V (t, |
У (0) — (Ь, |
hy,)\ + |
[(Л, |
У (т) — У (т)) — (X, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (Ч F (у, u))] dr = 0.
Продифференцируем по ys и положим ys — 0. Тогда получим
11 Г / . Л«. Ч |
/ |
АС>\ 1 |
L\ ' оуи |
■ \ |
' oyi j j dr — 0. |
ti k m d |
+ № |
|
Продифференцировав последнее равенство по t, будем иметь
^■ + ^ |
дуdfs,-4 = 0. ^ |
s=0 |
|
поскольку |
|
= |
при r = t . |
Таким образом, соотношение (10.70) выведено без дополнительных предположений для правых частей системы (10.64).
127
Покажем теперь, что если управление u (t) является оптимальным, то существует такой постоянный вектор №■, что будет вы полнено основное неравенство принципа максимума
|
Н (у (0, u(0, |
l(t)) |
|
при любом u£ |
U, где Я- (t) — вектор, удовлетворяющий начальному |
||
условию Я, = |
Я,1 при t = |
tv |
предпошлем подробное |
Доказательству этого |
утверждения |
||
рассмотрение необходимого условия оптимальности Вейерштрасса, для чего предположим, что выполнены следующие условия:
а) функции |
fs |
(х, u) (s |
= 0, |
1, . . ., |
п) |
заданы |
при |
Еп,‘ |
||||
и 6 U с= Ег, вещественны, непрерывны |
и непрерывно-дифференци |
|||||||||||
руемы по компонентам векторов |
|
х = |
(хг, |
. . ., |
хп)\ |
и = |
( и ъ . . . |
|||||
• • •, «г); |
|
ti |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) матрица |
А — j ВВ* |
dt |
неособая, |
где |
В = |
Y~1Q\ |
Y — |
|||||
фундаментальная |
матрица |
для |
линейной |
системы |
^ |
= Рх |
||||||
с начальным условием Y (t0) = |
Е; при этом |
|
|
|
|
|
||||||
Р = |
di |
Q = |
ll|^ ll(x = |
x0W); |
и = u° (0); |
|
|
|||||
дк |
|
|
||||||||||
в) оптимальное управление u° (t) располагается внутри мно жества U при t£ f^0, tx\, т. е. если u (t) — некоторая кусочно-не прерывная функция, заданная при 16 U0, tx\, то управление
u (t, е) = u° (t) + ей (0 будет при любом достаточно малом е принимать значения из множества U.
Теорема 31
Если u° (t) — оптимальное управление и х° (/) — соответствую щее ему оптимальное движение, то при выполнении условий а, б, в справедливы следующие утверждения:
1) существует функция V (t, у), удовлетворяющая уравнению
(10.65) при u = u° (t) и граничному условию
|
V{h, у) = (Я1, у - у 1); |
(10.75) |
||
2) функция W (t, |
у, |
П |
fs (t, у, и) |
имеет при |
u) = - ^ + |
||||
|
|
s=0 |
|
|
У = У° (0. u = u° (t) |
наименьшее возможное значение |
|||
0 = W(t, у» (0, |
и °(/))< Г (*, |
у°(0, u)(u6 Д), |
(10.76) |
|
128
f. e. |
|
|
6W = 0 |
|
|
|
|
(10.77) |
|
|
|
|
duj |
|
при u = u°(0. |
У = |
У°(0 |
и H{t, у°(0, U0 (/))< # (/, |
y, u) (u^(/), |
|
|
|
|
(10.78) |
где H = 21 |
V / V, y, |
u (/)). |
|
|
/=0 |
|
|
|
|
При этом функции Л (0, у (0> u (0 связаны между собой си |
||||
стемой Гамильтона |
(10.71). |
|
||
Доказательство. |
Выше было показано, что функция Г, упомя |
|||
нутая в первом утверждении теоремы, существует. Остается пока зать, что постоянный вектор Л,1 можно выбрать так, чтобы было выполнено также и второе утверждение этой теоремы.
Покажем, что такой вектор Я/1 |
существует. |
Построим семейство |
|||
управлений u (t, е) так, чтобы было |
|
|
|
||
и (t, 0) = и°(0 и |
ди (t , |
8) |
= |
и (0, |
|
|
дг |
8 = 0 |
|||
где и (0 — некоторая кусочно-непрерывная функция, заданная на промежутке П0, ^ ], ортогональная на нем к столбцам матрицы В*:
и |
|
j Bu(t) dt = 0. |
(10.79) |
Основным требованием к семейству управлений и (/, е) будет, однако, являться требование, заключающееся в том, чтобы движе ние х ( t , е), соответствующее одному из управлений этого семей ства, переходило из начальной точки х° в конечную х1 за время П0, ^ ]. Существование такого семейства управлений будет уста новлено ниже.
Будем далее через у (t, е) обозначать решение системы (10.64), существующее выбранному управлению. Тогда получим
t1 |
|
|
\ W (t, у (t, г), и (t, е)) dt = |
V (flf у (tu г)) - |
V (t0, у0) = |
^0 |
иJ t/о (х it, е), |
|
= ( Ч У(*ь 8) — У1) — |
u (t, г)) — |
|
|
to |
|
— fo (х° (0. u°(t))]dt. |
(10-80) |
|
Левая часть (10.80) обращается в 0 при е = 0. Так как можно выбрать Х0 5s 0, то при е = 0 имеем минимум. Следовательно,
9 |
в . ft. З у б о в |
1 2 9 |