книги из ГПНТБ / Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования

решение системы (9.1) было асимптотически устойчиво и любое решение удовлетворяло оценке вида

Действительно, как показал А. М. Ляпунов, любое решение системы (9.1) при ограниченных коэффициентах удовлетворяет

где a 2, р 2 > 0.

Из неравенств (9.19) и (9.20) следует, что выполнено нера­ венство вида (9.16), а тогда из следствия 1 вытекает очевидность существования двух квадратичных форм V и W, удовлетворяющих

(9.17) и (9.18).

Обратное утверждение содержится в следствии 1.

Предположим, что заданы начальная точка х° и момент t0. Тогда каждому управлению u£ G (G —- некоторое множество, на­ пример кусочно-непрерывных вектор-функций) отвечает движение

в некоторый момент tx интегральная кривая (10.2) системы (10.1) достигала поверхности 5 (10.3), при этом управления ult . . ., иг

Хотя имеем некоторый процесс уравнения движения и условия его протекания (ограничения, начальное и конечное состояние), задача выбора управляющих параметров процесса может не иметь

1 В неравенстве (10.4) V/ могут быть, в частности, функционалами.

ПО

Подставляя (10.10) в систему (10.6), получим оптимальную автоматическую систему управления по отношению к демпфированию функции V (t, х):

Правые части системы оказываются разрывными, и поверхности их разрыва определяются уравнениями

В системе (10.11) возникает, вообще говоря, непродолжимость движений через поверхности разрыва (10.12). В фактических системах за счет инерцион­ ности происходят малые вибрации около поверхности разрыва.

П р и м е р 2. Рассмотрим движение точки в фазовом пространстве с постоян­ ной по величине и управляемой по направлению скоростью

Управление, оптимальное по отношению к демпфированию функции V,

определяется путем нахождения наименьшего возможного значения функции

(10.15)

s= 1 0XS

Отсюда

Покажем, что при управлении (10.16) движущаяся точка из любой задан­

V S * ?

" 1=1

Умножая s-e уравнение системы (10.15) на xs и суммируя по S, получим

J L _d_

г,

2 dt

113

"1=1

Легко показать, что t является наименьшим возможным временем, за ко­

торое движущаяся точка может из точки х попасть в начало координат.

Таким образом, в данном случае управление U0, оптимальное по отношению

быстродействию, если среди управлений, переводящих начальную

точку х на поверхность 5 (в частности, начало координат), оно доставляет времени перехода

t,

Т = tv— t0= j dr

наименьшее возможное значение.

Теорема 28

Управление и0 и соответствующее ему движение х° (t) = х (t, t0, х°, u°) будут оптимальными по быстродействию при выполнении следующих условий:

= ■— 1при управлении и0, оптимальном в смысле демпфирования функции V (t, х).

Доказательство. Покажем сначала, что интегральная кривая системы (10.1) при управлении и = и0 достигает поверхности S. Иначе говоря, управление и0 переводит систему из состояния х° на поверхность S за время tv

\з По условию теоремы, вдоль движения х° (t) имеет место ра­ венство

только на поверхности 5 обращается в нуль, то существует такой

откуда

*

h

T * ~ T = J a ( t ) d t ^ 0,

to

что противоречит предположению. Теорема доказана.

З а м е ч а н и е . При управлении (10.16) вдоль соответствующего ему дви­ жения (пример 2) будет иметь место равенство

Как вытекает из теоремы, данное управление оптимально по быстродействию.

Будем считать, что исходная система линейно зависит от управ­ ления и имеет вид

Предположим, что функция V (x, t), о которой идет речь в пре­ дыдущей теореме, существует. Пусть также управления и2, . .., иг, входящие в систему (10.18), подчинены ограничениям

Полную производную функции V (х, t) в силу системы (10.18) можно представить в форме

114

Правая часть (10.20) достигает своего наименьшего значения при

Так как наименьшее значение правой части (10.20) равно — 1 в слу­ чае оптимальности по быстродействию, то, подставляя (10.21) в (10.20), будем иметь уравнения в частных производных

Формула (10.21) решает проблему синтеза (управление пред­ ставляет собой функцию от координат и времени, оптимальную по быстродействию). В общем случае, когда и 4 G, где G имеет более сложную природу, задача построения оптимального по быстро­ действию управления сводится к отысканию наименьшего воз­ можного значения линейной формы (10.20) в классе функций u£ G. Уравнение (10.22) можно рассматривать как уравнение для опреде­ ления функции V (t, х), которая, во-первых, непрерывна и поло­

нения (10.22) еще более затруднено.

Всвязи с этим поставим следующие задачи:

1)рассмотреть вопросы существования и единственности функ­ ции V (t, х) в задачах управления;

2)провести исследования уравнения (10.22) в частных про­

изводных; 3) исследовать систему дифференциальных уравнений на по­

верхностях разрыва, т. е.

П

Заметим, что вместо функции V (t, х) можно взять некоторый функционал, определенный на движениях и управлениях, вхо­ дящих в систему (10.1). Рассмотрим самый простейший функционал такого типа. Пусть функция V (i, х) обладает теми же свойствами, что и ранее, а функция / 0 (х>и> 0 — теми же свойствами, что и правые части системы (10.1). Управление u (t) и соответствующее ему движение (10.2) при фиксированном времени t определяют значение функционала

to

Зададимся целью отыскать такое управление, чтобы вдоль соответствующего ему движения скорость убывания функцио­ нала (10.23) являлась наибольшей в точке (х°, t0). Найдем полную производную функционала (10.23) при t = t0:

S = 1

Пусть наименьшее возможное значение правая часть (10.24) принимает при umin (х°, t0). Положим u 0(x, t) = umm (х, t). Будем считать, что система (10.1) определяет движение

х° (0 = х(/, х°, *„)•

Положим

U0 (0 = U0 (х° (t), t)

ипусть u° (t) является допустимым управлением. Это управление

исоответствующее ему движение х° (t) будем называть оптималь­ ными по отношению к демпфированию функционала L.

Оказывается, что в каждой точке оптимальной кривой функ­ ционал L имеет наибольшую скорость убывания. Действительно,

пусть t > tQ— некоторый момент времени и х — соответствующая ему точка интегральной кривой х° (t). Возьмем произвольное управление u {t)£G при t^> i и оценим скорость изменения функ­ ционала L в точке (х , t) при этом управлении:

Это неравенство показывает, что скорость убывания функцио­ нала L в каждой точке оптимальной кривой является наибольшей.

Рассмотрим теперь связь систем управления, оптимальных в смысле демпфирования и в смысле интегрального функционала.

to

116

Определение 17

Управление и* и соответствующее ему движение х* (t) назы­ ваются оптимальными по отношению к функционалу J, если не­ равенство

имеет место при любом выборе допустимого управления u^G .

меньшее возможное значение среди всех управлений, переводящих точку х° в некоторую точку х1^ S, если это управление и0 (£) и соответствующее ему движение х° (t) удовлетворяют уравнению

s=l

Доказательство. Так как и0 является оптимальным управле­ нием в смысле демпфирования функционала L (10.23) и удовле­ творяет уравнению (10.27), то можно записать

равенство (10.27) в пределах от t0до того момента времени й, когда интегральная кривая попадает на поверхность S при управлении

и° (t):

V (х° (t°i), tT) — V (х°, t0) + J /о (х, и, т) ch = 0,

to

117

откуда

г1

J (u °) = р(х°{$), tf) + J/o(x, u, x)dx = V{x°, to)- (Ю.31)

to

Предположим, что управление u (t) допустимое и доставляет функционалу J меньшее значение, чем управление u° (t), т. е.

7 (и) < / (и0). Тогда в силу (10.28) или (10.29) для этого управ­ ления будем иметь

что противоречит выбору управления u (t). Это противоречие и доказывает утверждение теоремы.

Следствие. Рассмотрим систему (10.18) при ограничениях на управления (10.19). Пусть / 0 (х, u, t) = f 0 (х, t). В этом случае управление, оптимальное по отношению к демпфированию функ­ ционала L (10.23), определяется формулой (10.21) и уравнение (10.27) примет вид

Отсюда следует найти функцию V (t, х), удовлетворяющую усло­ вию V (t, х) = Р (t, х) на поверхности S.

Обратимся теперь к методу множителей Лагранжа, а затем перейдем к выводу принципа максимума Л. С. Понтрягина [37]. Этот принцип является необходимым условием оптимальности.

Пусть задана управляемая система:

118

Будем считать, что правые части системы (10.34) заданы при u£ U <= Еп Еп, вещественны и непрерывны по отношению к со­ вокупности всех переменных, а также непрерывно дифференци­ руемы по компонентам вектора х.

Определение 18

Вещественная кусочно-непрерывная векторная функция u (t) называется допустимым управлением, если выполняются следую­ щие условия:

нимает в точках разрыва значение, равное пределам слева. Пусть задано начальное состояние х° и конечное состояние х1

управляемой системы.

Определение 19

если среди всех таких допустимых управлений оно придает (10.35) наименьшее возможное значение. При этом начальный момент t0 и конечный момент t±могут быть как фиксированными, так и нет. Во всяком случае, начальный момент можно считать фиксирован­ ным, так как замена независимой переменной t на t + с, где с — вещественная постоянная, не меняет вида управляемой системы и множества допустимых управлений.

Будем предполагать, что функция / 0 обладает теми же свой­ ствами, что и компоненты вектора f в системе (10.34).

дифференцируемая относительно компонент вектора х и такая, что V (tl7 х1) = 0. Положим

Обозначим через W полную производную функции z вдоль

119