Способ 1

Уравнение оптимальной прямой имеет вид

,

где коэффициенты a и b определяются из системы уравнений

В матричном виде эта система уравнений имеет вид

,

где

, , .

Решение системы уравнений в матричном виде

,

где — матрица, обратная к матрице .

Для вычисления обратной матрицы следует воспользоваться функцией "МОБР", а для умножения матрицы на матрицу — функцией "МУМНОЖ". Для получения результатов с использованием этих функций необходимо предварительно выделить массив нужного размера. Для запуска этих функций следует пользоваться комбинацией клавиш {Ctrl+Shift+Enter}.

Величина достоверности аппроксимации R², равная квадрату коэффициента корреляции, вычисляется по формуле

,

где

, , .

Величина R² располагается в интервале от нуля до единицы. Чем R² ближе к единице, тем аппроксимация более достоверна.

Литература: Ж. И. Мсхалая, Ю. В. Осипов, А. Б. Павлов. ОСНОВЫ СОВРЕМЕН-НОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ ТЕХНОЛОГИИ. Москва, 2008 г. Гл. 4.2.4.3.2.

Лабораторная работа №6. Решение нелинейных уравнений

Элементы теории

Пусть на участке [a, b] задана непрерывная функция f(x) (рис. 6.1). Требуется найти корни уравнения

f(x)=0

x₁, x₂, x₃ — корни уравнения на [a, b]

Рис. 6.1

Решение такой задачи, как правило, распадается на два этапа:

1) определение интервалов, в которых находится только один корень (если корень существует);

2) вычисление этого корня с заданной точностью.

Для решения задачи на первом этапе существуют различные аналитические подходы, связанные с определенными типами уравнений (многочлены, тригонометрические уравнения и т.д.). Однако наиболее эффективным численным подходом является метод перебора. Он реализуется следующим алгоритмом. Задается точность, определяемая шагом h. Затем последовательно вычисляются значения функции

f: f(x₀)=f(a), f(x₁)=f(a+h), f(x₂)=f(a+2h), f(x₃)=f(a+3h), ... , f(x_i), . . . ,

где

x_i=a+ih .

В интервалах, на концах которых функция меняет знак:

f(x_i) f(x_i+1)< 0 ,

находится корень уравнения.

Для решения задачи на втором этапе Excel предлагает средство Подбор параметра, которое находится в меню Сервис и реализует метод Ньютона. Относительная погрешность вычислений задается во вкладке Вычисления команды Параметры меню Сервис.

Задание

Вычислить все корни полинома P₃(x) на отрезке . Относительную погрешность принять .

Варианты задания

P₃(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³,

где a₀, a₁ и a₂ следует брать из табл. 6.1 в зависимости от номера S; a₃=1.

Таблица 6.1

S	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a0	-2286	-4431	-4164	-2683	-2771	-8449	-14976	-15387	-12032	-11740
a1	1437	1370	745	211	84	530	846	620	245	90
a2	79	78	63	47	42	57	72	67	52	47

S	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
a0	-11230	-10528	-9662	-8657	-7541	-6341	-5083	-3795	-2503	-1234
a1	-47	-168	-272	-359	-429	-482	-519	-538	-541	-527
a2	42	36	31	26	21	16	11	6	1	-5
S	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
a0	-15	1127	2165	3073	3823	4389	4744	4860	4712	4272
a1	-496	-448	-383	-302	-204	-89	43	192	358	540
a2	-10	-15	-20	-25	-30	-35	-41	-46	-51	-56
S	31	32	33	34	35
a0	3513	2409	932	-943	-3245
a1	740	956	1189	1439	1706
a2	-61	-66	-71	-76	-82

Литература: Ж. И. Мсхалая, Ю. В. Осипов, А. Б. Павлов. ОСНОВЫ СОВРЕМЕН-НОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ ТЕХНОЛОГИИ. Москва, 2008 г. Гл. 4.2.4.3.2.

16