- •Семестр 4 численные методы информатики
- •Лабораторные работы Лабораторная работа №1.Устойчивость сжатого стержня
- •Лабораторная работа №2. Краевая задача Дирихле для уравнения Пуассона
- •Лабораторная работа №3. Построение эпюр изгибающих моментов в балках
- •Действие сосредоточенной силы
- •Определение суммарного изгибающего момента
- •Лабораторная работа №4. Задача линейного программирования
Семестр 4 численные методы информатики
На занятиях в дисплейном классестуденты должны выполнить 4 лабораторные работы (варианты работ определяются номером студента по списку в журнале). После выполнения указанных 4 заданий студент получает допуск на защиту работ в форме компьютерного тестирования и, при успешном выполнении теста,зачёт.
Лабораторные работы Лабораторная работа №1.Устойчивость сжатого стержня
Элементы теории
Наиболее сложным и достаточно частым видом разрушений конструкции является так называемая потеря устойчивости. В курсе сопротивления материалов, как правило, дается математическая формулировка устойчивости стержня, которая представляется следующей расчетной схемой (рис 1.1).
Рис. 1.1
При действии достаточно небольшой сжимающей силы P на статически определимую балку, ее прогиб равен нулю. Возникает вопрос, существует ли сила P, вызывающая изгиб стержня. Если существует, то она удовлетворяет условиям
(1.1)
где R = EJ(x)— жесткость балки,P иy(x)0 являются искомыми величинами.
Очевидно, что при любом Pпрогибy(x)=0 является решением (тривиальное решение). В курсе строительной механики величинаP,при которойy(x)0,называется критической силой, аy(x)— формой потери устойчивости. В математической терминологии величинаPназывается собственным значением оператора краевой задачи (1.1), аy(x)— собственной функцией этого оператора.
Аналитическое решение данной задачи существует только при R=const, в остальных случая задача решается численно, в частности, методом конечным разностей.
Разобьем отрезок [0, l] на n+1часть (рис. 1.2). Пронумеруем точки:i=0, 1, ..., n, n+1. Введем обозначения:xi координатаi-ой точки разбиения;yi=y(xi) значение функции вi-ой точке;Ri=R(xi); длина отрезка разбиения (шаг)h=l/(n+1).
Рис. 1.2.
Рассматривая задачу (1.1) во внутренних точках разбиения и заменяя вторую производную второй разностью по формуле
,
получим:
,i=1, 2, . . . , n (1.2)
Для граничных точек имеем:
(1.3)
Умножая каждое уравнение для внутренних точек на , и учитывая краевые условия, получим однородную линейную систему уравнений сn неизвестными:
(1.4)
Из курса линейной алгебры известно, что ненулевое решение такой системы существует лишь при некоторых значениях P=.
В матричном представлении такая система имеет вид
, (1.5)
где
(1.6)
.
Таким образом, задача сводится к определению собственных чисел и векторов матрицы . Т.е. каждое собственное числоPзадачи (1.5) является критической силой, а соответствующий собственный векторy— формой потери устойчивости. На практике основной интерес вызывает минимальная критическая силаи соответствующая ей форма потери устойчивости.
Умножая матричное уравнение (1.5) на , получим,
где .
Тогда .
Т.е. для определения минимальной критической силы достаточно вычислить максимальное собственное число матрицы . Тогда алгоритм вычисления степенным методом выглядит следующим образом:
— задается — произвольный ненулевой вектор,
— последовательно вычисляются:
,
до тех пор пока не станет .
Тогда .
Задание
Решить задачу определения минимальной критической силы (рис. 1.1)
для n = 7 точек.
При определении минимальной критической силы и соответствующей ей формы потери устойчивости использовать степенной метод.
Варианты задания
R = EJ(x) = — жесткость балки,
l=1 — длина балки,S — номер варианта.
Указания к выполнению задания
В ячейки E3:K9 иE11:K17 соответственно вводим матрицыAиBпо формулам (1.6).
В ячейках E19:K25 вычисляем обратную матрицуA-1.
В ячейках E27:K33 вычисляем матрицу.
Для вычисления обратной матрицы A-1 следует воспользоваться функцией "МОБР", а для вычисления матрицы— функцией "МУМНОЖ". Для получения результатов с использованием этих функций необходимо предварительно выделить массив нужного размера. Для запуска указанных функций следует пользоваться только комбинацией клавиш {Ctrl+Shift+Enter}, но не кнопкой ОК.
Действия на шаге 1:
В ячейки E36:E42 вводим массив.
В ячейке E44 вычисляем. Рекомендуем использовать функции "КОРЕНЬ" и "СУММКВ".
В ячейках E46:E52 вычисляем массив.
В ячейке E54 вычисляем.
Действия на шаге 2:
Устанавливаем флажок Итерацииво вкладкеВычислениядиалогового окнаПараметрыменюСервис. Устанавливаем предельное число итераций — 1000 и относительную погрешность — 0,001.
Выделяем массив (ячейкиE36:E42 ) и вычисляем.
Значения ,yиPminпересчитываются автоматически. Ответы не включают заданные значения собственного вектораyна концах отрезка.
Следует предъявить только результаты, полученные на втором шаге.
Литература: Ж. И. Мсхалая, Ю. В. Осипов, А. Б. Павлов. ОСНОВЫ СОВРЕМЕН-НОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ ТЕХНОЛОГИИ. Москва, 2008 г. Гл. 4.2.4.2.8.