Семестр 4 численные методы информатики

На занятиях в дисплейном классестуденты должны выполнить 4 лабораторные работы (варианты работ определяются номером студента по списку в журнале). После выполнения указанных 4 заданий студент получает допуск на защиту работ в форме компьютерного тестирования и, при успешном выполнении теста,зачёт.

Лабораторные работы Лабораторная работа №1.Устойчивость сжатого стержня

Элементы теории

Наиболее сложным и достаточно частым видом разрушений конструкции является так называемая потеря устойчивости. В курсе сопротивления материалов, как правило, дается математическая формулировка устойчивости стержня, которая представляется следующей расчетной схемой (рис 1.1).

Рис. 1.1

При действии достаточно небольшой сжимающей силы P на статически определимую балку, ее прогиб равен нулю. Возникает вопрос, существует ли сила P, вызывающая изгиб стержня. Если существует, то она удовлетворяет условиям

(1.1)

где R = EJ(x)— жесткость балки,P иy(x)0 являются искомыми величинами.

Очевидно, что при любом Pпрогибy(x)=0 является решением (тривиальное решение). В курсе строительной механики величинаP,при которойy(x)0,называется критической силой, аy(x)— формой потери устойчивости. В математической терминологии величинаPназывается собственным значением оператора краевой задачи (1.1), аy(x)— собственной функцией этого оператора.

Аналитическое решение данной задачи существует только при R=const, в остальных случая задача решается численно, в частности, методом конечным разностей.

Разобьем отрезок [0, l] на n+1часть (рис. 1.2). Пронумеруем точки:i=0, 1, ..., n, n+1. Введем обозначения:x_i координатаi-ой точки разбиения;y_i=y(x_i) значение функции вi-ой точке;R_i=R(x_i); длина отрезка разбиения (шаг)h=l/(n+1).

Рис. 1.2.

Рассматривая задачу (1.1) во внутренних точках разбиения и заменяя вторую производную второй разностью по формуле

,

получим:

,i=1, 2, . . . , n (1.2)

Для граничных точек имеем:

(1.3)

Умножая каждое уравнение для внутренних точек на , и учитывая краевые условия, получим однородную линейную систему уравнений сn неизвестными:

(1.4)

Из курса линейной алгебры известно, что ненулевое решение такой системы существует лишь при некоторых значениях P=.

В матричном представлении такая система имеет вид

, (1.5)

где

(1.6)

.

Таким образом, задача сводится к определению собственных чисел и векторов матрицы . Т.е. каждое собственное числоPзадачи (1.5) является критической силой, а соответствующий собственный векторy— формой потери устойчивости. На практике основной интерес вызывает минимальная критическая силаи соответствующая ей форма потери устойчивости.

Умножая матричное уравнение (1.5) на , получим,

где .

Тогда .

Т.е. для определения минимальной критической силы достаточно вычислить максимальное собственное число матрицы . Тогда алгоритм вычисления степенным методом выглядит следующим образом:

— задается — произвольный ненулевой вектор,

— последовательно вычисляются:

,

до тех пор пока не станет .

Тогда .

Задание

Решить задачу определения минимальной критической силы (рис. 1.1)

для n = 7 точек.

При определении минимальной критической силы и соответствующей ей формы потери устойчивости использовать степенной метод.

Варианты задания

R = EJ(x) = — жесткость балки,

l=1 — длина балки,S — номер варианта.

Указания к выполнению задания

• В ячейки E3:K9 иE11:K17 соответственно вводим матрицыAиBпо формулам (1.6).

• В ячейках E19:K25 вычисляем обратную матрицуA^-1.

• В ячейках E27:K33 вычисляем матрицу.

Для вычисления обратной матрицы A^-1 следует воспользоваться функцией "МОБР", а для вычисления матрицы— функцией "МУМНОЖ". Для получения результатов с использованием этих функций необходимо предварительно выделить массив нужного размера. Для запуска указанных функций следует пользоваться только комбинацией клавиш {Ctrl+Shift+Enter}, но не кнопкой ОК.

Действия на шаге 1:

• В ячейки E36:E42 вводим массив.

• В ячейке E44 вычисляем. Рекомендуем использовать функции "КОРЕНЬ" и "СУММКВ".

• В ячейках E46:E52 вычисляем массив.

• В ячейке E54 вычисляем.

Действия на шаге 2:

• Устанавливаем флажок Итерацииво вкладкеВычислениядиалогового окнаПараметрыменюСервис. Устанавливаем предельное число итераций — 1000 и относительную погрешность — 0,001.

• Выделяем массив (ячейкиE36:E42 ) и вычисляем.

• Значения ,yиP_minпересчитываются автоматически. Ответы не включают заданные значения собственного вектораyна концах отрезка.

Следует предъявить только результаты, полученные на втором шаге.

Литература: Ж. И. Мсхалая, Ю. В. Осипов, А. Б. Павлов. ОСНОВЫ СОВРЕМЕН-НОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ ТЕХНОЛОГИИ. Москва, 2008 г. Гл. 4.2.4.2.8.