Решение.

Из условия задачи вытекает, что ,,,(ине слишком малы). Воспользуемся локальной формулой Муавра – Лапласа

; (см. приложение табл.3).

Пример 14.

Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,25. Найти вероятность того, что в 250 испытаниях событие появится не менее 70 раз.

Решение.

Из условия задачи следует, что ,,,

(ине слишком малы). Для решения задачи воспользуемся интегральной формулой Муавра – Лапласа

, ,

=

=.

Случайные величины

Случайные события удобно связывать с действительными числами и вместо действий над событиями проводить действия над числами.

Случайной называют величину, которая при повторении опыта может принимать неодинаковые числовые значения, причем заранее неизвестно какие.

Случайная величина называется дискретной, если ее множество значений конечно или счетно.

Случайная величина называется непрерывной, если ее значения целиком заполняют некоторый интервал.

Случайные величины будем обозначать большими буквами (), а их возможные значения соответственно малыми буквами (x). Если проведен опыт, в котором случайная величина принимает значение, тоназываютреализацией . Пусть в результате опыта случайная величинапринимает одно из значений. Вероятности этих событий обозначим, …,. Очевидно, что.

Законом распределения называют соотношение вида . Если закон распределения задан таблицей, то таблицу называютрядом распределения (см. пример 15), если закон распределения задан графиком, то его называют многоугольником распределения. Закон распределения существует только для дискретных случайных величин, т.к. возможные значения непрерывных случайных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Интегральной функцией распределения (или интегральным законом распределения) называют функцию

.

Интегральная функция распределения является универсальной характеристикой случайной величины, она существует и для дискретной случайной величины и для непрерывной случайной величины.

Свойства функции распределения :

1) неубывающая функцияпри;

2) ;

3) ;

из этих свойств следует, что .

Функцию распределения дискретной случайной величины можно построить, если известен ряд распределения

, суммирование распространяется на все те значения , которые меньше.

Для непрерывной случайной величины вводится функция плотности вероятности (плотность распределения, дифференциальный закон распределения)

,

.

Выразим вероятность попадания величины на отрезок отдо:

.

Пусть ,

(), тогда

.

Эта формула выражает функцию распределения через функцию плотности вероятности. Графики функцийиприведены в примере 16.

Свойства функции плотности вероятности :

1) ;

2) .

Для случайных величин были введены полные исчерпывающие характеристики, для дискретной случайной величины - функция распределения и ряд распределения (многоугольник распределения), для непрерывной случайной величины – функция распределенияи функция плотности распределения.

В практических задачах часто нет необходимости характеризовать случайную величину полностью и достаточно ограничиться указанием отдельных числовых параметров, которые характеризуют существенные особенности распределения. Такие характеристики называют числовыми характеристиками.

Числовые характеристики дискретной случайной величины :

1. математическое ожидание

;

2. дисперсия

;

3. среднеквадратическое отклонение

.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины:

1) математическое ожидание

;

2) дисперсия

.

3) среднеквадратическое отклонение

.