Решение.

Пусть событие состоит в том, что хотя бы один станок потребует наладки; событие - все станки работают бесперебойно; событие --ый станок работает бесперебойно (1, 2, 3 ). Очевидно, что

, ,

.

В лабораторной работе (см. приложение №1) рассмотрен теоретический материал по теме: ''Формула полной вероятности. Формула Байеса'' и приведены примеры решения задач.

Последовательность независимых, однородных испытаний. Схема бернулли

Рассмотрим стохастический эксперимент, состоящий в проведении независимых, однородных испытаний, в результате каждого из которых может событие А может произойти с вероятностьюи не произойти с вероятностью. Вероятность того, что событие А произойдет ровнораз в результатеиспытаний, определяется поформуле Бернулли

.

Вероятность события, заключающегося в том, что при испытаниях событие А появится не менееи не более, вычисляется по формуле

.

Пример 10.

На проспекте установлены 5 светофоров, которые работают независимо друг от друга. Зеленый сигнал горит в течение 2мин., желтый – 0,3 мин., красный – 1,7 мин. Найти вероятность трех остановок автомобиля на этом проспекте.

Решение.

Автомобиль двигается только при зеленом свете светофора (), при желтом и красном сигналах автомобиль стоит (). Так как время движения и время стоянки равны, то вероятности проезда автомобиля на светофоре и остановки на светофоре тоже равны. Вероятность того, что автомобиль при проезде 5 светофоров остановится 3 раза, находится по формуле Бернулли

.

Формула пуассона

Пусть в схеме испытаний Бернулли число испытаний неограниченно увеличивается, а вероятность наступления события в каждом испытанииблизка нулю, но при этом величинаостается постоянной. В этом случае вероятность появления события А прииспытанияхраз определяется Пуассоновским приближением формулы Бернулли

.

Эта формула дает хорошее приближение при , параметрозначает среднее число появлений события на некотором интервале.

Вероятность события, заключающегося в том, что при испытаниях событие А произойдет не болеераз вычисляется по формуле

.

Отметим, что последние две формулы табулированы (см. приложение табл. 1, 2).

Пример 11.

Среднее число вызовов, поступающих на станцию скорой помощи, в течение 10 минут, равно 2. Найти вероятность того, что за 30 минут поступит ровно 7 вызовов.

Решение.

Среднее число вызовов за 30 минут равно , по формуле Пуассона

(см. приложение табл. 1).

Пример 12.

Заказчик получил со склада 1000 штук отделочной плитки. Вероятность того, что при перевозке плитка окажется разбитой, равна 0,002. Найти вероятность событий: a) заказчик получит ровно три разбитых плитки; б) менее двух разбитых плиток; в) хотя бы одну разбитую плитку.

Решение.

Возможное число разбитых плиток .

а) ,(см. приложение табл.1).

б) , т.е.и,(см. приложение табл.1).

в) ,(см. приложение табл.1).

Локальная и интегральная формулы муавра – лапласа

При достаточно большом и не слишком малыхи(и, соответственно,не близки к 0 и 1) для вычисления вероятности используют локальную формулу Муавра – Лапласа:

, где , .

Эта формула также табулирована (приложение табл. 3), .

Вероятность того, что при указанных условиях событие А появится не менее и не болеераз, находится по интегральной формуле Муавра – Лапласа:

,

где ,,,- функция Лапласа.

Функция Лапласа представляет собой не выражающийся через элементарные функции интеграл. Значения функции Лапласа приведены в приложении табл. 4.

Свойства функции Лапласа:

1) функция монотонно возрастает, т.е. при;

2) , ;

3) функция Лапласа является нечетной .

4) значения функции приближаются к асимптотическому значению при .

Пример 13.

Завод получил заказ на 1053 изделий. Руководство предприятия планирует заранее изготовить 1500 изделий, т.к. вероятность выпуска доброкачественного изделия равна 0,7. Найти вероятность выполнения заказа.