Московский государственный строительный университет

_

Кафедра высшей математики

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ И

ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

Москва 2007

С о с т а в и т е л и:

доцент, кандидат физико-математических наук Е.Е.Ассеева,

профессор, кандидат физико-математических наук М.Л.Каган,

доцент Т.А.Мацеевич

ВВЕДЕНИЕ

Настоящие методические указания по разделу «Теория вероятностей» курса высшей математики предназначены для самостоятельной работы студентов заочного отделения над практической частью курса и выполнения расчетного задания.

Выполнять задание следует точно в сроки, установленные планом учебных занятий. Выполнять задание надо в отдельной тетрадке, вклеив в нее текст варианта. Решения должны быть по возможности краткими, с указанием теоретических положений, используемых при решении задач. При защите задания студент должен уметь объяснить решение каждой задачи и ответить на связанные с ней теоретические вопросы.

Для облегчения самостоятельной работы над выполнением задания ниже приведены формулировки определений, основных теорем и разобраны типовые задачи.

При выполнении расчетов целесообразно пользоваться калькулятором и соответствующими таблицами. Краткие варианты таблиц даны в качестве приложений в конце методических указаний.

При подготовке к зачету весьма полезно проверить свои знания, ответив на вопросы, которые приведены в методических указаниях в разделе «Вопросы для самостоятельной работы».

Основные понятия

Стохастическим называется эксперимент, результаты которого заранее (до его проведения ) не известны.

Случайным событием называется явление, которое может произойти или не произойти в результате стохастического эксперимента.

Случайные события обозначают большими буквами А, В, С и т.д.

Предположим, что среди всех возможных событий, которые в данном опыте могут произойти или не произойти, можно выделить совокупность так называемых элементарных событий, которые обладают следующими свойствами:

1. взаимно исключают друг друга, и в результате опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий;

2. каково бы ни было случайное событие А, по наступившему элементарному событию можно сказать о том, произошло или не произошло событие А.

Элементарные события обозначают греческой буквой , совокупность элементарных событий называют пространством элементарных событий и обозначают буквой.

Алгебра событий

Пусть - пространство элементарных событий рассматриваемого опыта. Событие А состоит в том, что произошло одно из элементарных событий.

Событие называется достоверным, если оно наступает в результате появления любого элементарного события. Тогда ему благоприятствует любое событие , достоверное событие будем обозначать.

Невозможным событием будем называть событие, не наступающее ни при каком элементарном событии. Невозможное событие будем обозначать символом .

Суммой (или объединением) двух событий А и В назовем событие А+В (или АВ), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А или В. Сумме событий соответствует объединение множеств А и В.

Свойства суммы событий:

1. А+=А;

2. А+=;

3. А+А=А;

4. А+В=В+А.

Произведением (или пересечением) двух событий А и В назовем событие АВ (или АВ), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и А, и В. Произведению событий соответствует пересечение множеств А и В.

Свойства произведения событий:

1. А;

2. А=А;

3. АА=А;

4. АВ=ВА.

Два события назовем несовместными, если их одновременное появление в опыте не возможно. Если А и В несовместны, то АВ=. Элементарные события попарно несовместны, при.

Событие назовемпротивоположным к А, если оно происходит тогда и только тогда, когда А не происходит. Очевидно, что выполняются следующие равенства

, ,.

Разностью событий А и В назовем событие А\В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В. Отметим очевидные соотношения: ,

.

Введенные операции сложения и умножения обладают свойствами:

1. А(В+С)=АВ+АС;

2. А(ВС)=(АВ)С.

Рассмотрим пространство элементарных событий , соответствующее некоторому эксперименту и пусть- некоторая система случайных событий.

Системусобытий назовем алгеброй событий, если выполняются следующие условия:

1) ;

2) если , то;

3) если ,, то,.