книги из ГПНТБ / Штейн М.Е. Методы машинного проектирования цифровой аппаратуры

вательных методов осуществляется при убывающем ре­ сурсе печатных магистралей исходной реализующей сети (см. § 5.5). Для сложных схем соединений практически при любом размещении модулей участки платы, на кото­ рых расположены различные цепи, перекрываются. Это приводит при трассировке к неизбежной «конкуренции» цепей за ресурс магистралей. В этих условиях задача оптимального распределения ресурса магистралей между цепями приобретает важное значение; при использовании последовательных алгоритмов трассировки она сводится к задаче оптимального упорядочения цепей. Качество решения этой задачи при ограниченном ресурсе маги­ стралей во многом определяет качество (9.1.6) трасси­ ровки в целом.

Попытки решения этой задачи при . использовании численных методов оптимизации, основанные на оценках длины цепей, по мнению авторов таких исследований, не дали положительных результатов [8].

Подход, основанный на максимизации числа трасси­ руемых цепей, позволяет представить следующую не­ сложную содержательную модель задачи упорядочива­ ния.

Главной целью оптимального упорядочивания цепей является определение степени «привязанности» каждой цепи к части реализующей сети, включающей все кон­ такты этой цепи. Различия в конфигурации и относитель­ ном расположении отдельных цепей обуславливают и различную «привязанность» последних к соответствую­ щим частям реализующей сети. И действительно, цепь /г, расположенная в малой части }ц реализующей сети и перекрываемая большим числом других цепей, должна трассироваться при большем ресурсе магистралей (т. е. ранее), чем цепь fj, расположенная в большей части hj (например, в hjChi), так как если ресурс hi будет из­ расходован другими цепями, то связывающее дерево di для fi будет включать большее число магистралей. Инымк словами, главной целью оптимального упорядочива­ ния является обеспечение для каждой цепи достаточного ресурса магистралей и, с другой стороны, минимально возможное уменьшение ресурса для последующих цепей.

Можно представить различные формальные модели, более или менее хорошо обеспечивающие достижение указанной цели. Главные трудности программной реали­ зации задачи упорядочивания составляют обеспечение

242

хорошей реализуемости «а ЦВМ и малой зависимости от конструктивно-технологических ограничений печатной

достаточно точно определяется перекрытием минималь­ ных охватывающих эти цепи прямоугольников. Алгоритм работает следующим образом.

подсети, заключенные внутри прямоугольника минималь­ ных размеров, но такие, что все узлы {г}г, [r}j при­ надлежат gi и g3:

(9.2.1д)

Коэффициенты kij подсчитываются для всех возможных пар цепей и для каждой цепи суммируются. О цепи, обладающей максимальным Ki, можно сказать, что она расположена в максимально насыщенном соединениями участке платы и, естественно, должна трассироваться ранее других (при максимальном ресурсе печатных маги­ стралей). Таким образом, упорядочив все цепи по убы­ ванию величины Ки можно по мере расходования ресур­ са печатных магистралей трассировать цепи, располо­ женные во все менее насыщенных участках платы.

Экспериментальным подбором значений а и р для каждой конкретной конструкции печатной платы можно добиться максимизации числа трассируемых цепей.

Для лучшего учета конструктивно-технологических особенностей платы формульная схема подсчета значе­ ний Ki (9.2.1) может (быть усложнена введением вместо величин кц, а 'И р их составляющих по осям координат

kijX, kijy и т. д. Это, как показывает опыт, позволяет для каждой конкретной конструкции платы подбором назван­ ных величин добиться увеличения числа трассируемых цепей. Описанная методика упорядочивания цепей была экспериментально исследована на большом числе схем для нескольких различных конструкций плат и во всех случаях позволила заметно увеличить количество трас­ сируемых цепей в сравнении с упорядочиванием цепей по их длине, по величинам полупериметра охватывающе­ го прямоугольника или даметра охватывающей окружно­ сти и т. п, показателям. Следует также отметить, что указанная методика и способ оценки «конкуренции» це­ пей являются довольно грубым приближением к истин­ ной картине, но их хорошая реализуемость на ЦВМ и вполне приемлемые результаты делают такое решение задачи упорядочивания весьма полезным в системах ма­ шинного проектирования печатных плат.

9.3. Минимальная связность и простейшие

связывающие деревья

Как уже указывалось, центральной задачей трасси­ ровки является построение в ортогональной сети для за­ данного множества основных узлов простейшего связы­ вающего дерева. Автором было показано (12], что при использовании некоторых булевых свойств ортогональ­ ных сетей и специальных булевых функций связности эта задача существенно облегчается и, более того, оказыва­ ется возможным получить точный алгоритм ее решения. Сначала введем необходимые определения и докажем

и общеизвестно. Напомним несколько менее употреби­ тельные понятия внешнего и внутреннего узлов. Внешним

244

а конечные — либо являются основными, либо внешни­ ми, либо имеют степень, не меньшую 3:

(9.3.1а)

(9.3.16)

(9.3.1в)

Заметим, что завершенный путь lv по определению не может содержать внутренних узлов типа (9.3.1а) и (9.3.1в). Путь, содержащий такие внутренние узлы, бу­ дем считать состоящим из нескольких завершенных пу­ тей. Незавершенным путем будем называть любую часть l'v = {au, ..., aih} завершенного пути /„ = {ai, ..., ап}, кро­ ме него самого,

1)> a * j G K ап].

Внешним назовем завершенный путь, заканчивающийся (начинающийся) внешним узлом.

Узел типа (9.3.1в) будем называть внутренним кон­ цом внешнего пути. Сеть Gn, не содержащую ни одного

Звездой назовем множество завершенных путей, схо­ дящихся в одном внутреннем узле.

Понятие связывающего все узлы сети дерева — осто­ ва известно [1—3]. Под связывающим заданные основные узлы деревом будем понимать подсеть, удовлетворяю­ щую известным характеристическим свойствам дерева [1] обязательно для всех основных узлов и для необхо­ димого количества дополнительных, т. е. для множеств

основными узлами при удалении из него любой дуги.

Сформулированная выше задача построения простей­ шего связывающего дерева является задачей-минимум. Иногда ее решения недостаточно для хорошей трассиров­ ки печатных плат с учетом конкретных конструктивнотехнологических ограничений. Поэтому она может быть расширена следующим образом:

—построить все простейшие деревья для заданной компоненты связности {г};, удовлетворяющие условиям (9.1.5); или даже

—построить все безыэбыточные деревья для {г},. Решение всех модификаций названной задачи может

быть основано -на представлении ортогональных сетей специальными булевыми функциями связности и конст­ руктивном .использовании их свойств.

Рассмотрим следующее вспомогательное утверждение.

он обеспечивает связность хотя бы одного основного узла г,- с остальной частью дереза (непосредственно или через дополнительные узлы). Это значит, что либо

следует, что хотя бы один конец части l'v не удовлетво­ ряет условиям (9.3.1), перейдем к рассмотрению указан­

чения связности г, с остальной частью дерева di к 1\

ду основными узлами до тех пор, пока концы его не ста-

246

убыточному дереву di только полностью (всеми входя­ щими в него дугами).

Следствие 9.3.1. Любое безызбыточное дерево dt мо­ жет состоять только из набора связных завершенных путей.

Введем специальные булевы переменные, функции и операции связности. Независимой переменной связности назовем булеву переменную xit сопоставленную каждой дуге at сети G = [ l / ; А] и равную единице, если а, вклю­ чается в множество связывающих основные узлы дуг, и

чивает связность между любой парой основных узлов

нимать в том смысле, что операция конъюнктивной связ­ ности даст единицу лишь для пар Хц, x,fc^{*i} перемен­ ных, соответствующих парам инцидентных одному узлу

дуг aih aih.

Операцией параллельной (дизъюнктивной) связности Q) назовем многоместную операцию над множеством не­ зависимых переменных Q) {*;}, результатом которой бу­ дет единица, если любая из дуг а^{а^ обеспечивает связность некоторого фрагмента сети с остальной ее частью.

Используя введенные понятия, определим основные

объединенных операцией конъюнктивной связности. Ё со­ ответствие с леммой 1 завершенному пути lv = {au • •., ап} вместо множества переменных О {хь ..., хп} сопостав­ ляется одна обобщенная переменная связности Xv =

Сформулируем теперь правила образования функций связности, основанные на принципах связности П1—ПЗ.

A. В заданной минимальной подсети gi выделяются все завершенные пути и каждый из них заменяется одной дугой. Всем таким путям сопоставляются в соот­ ветствие с принципом П2 переменные связности.

Б. В видоизмененной таким образом сети для каждого основного узла последовательно строятся связные фраг­ менты. За один очередной шаг к такому фрагменту при­ соединяются только дуги, инцидентные узлам, вошедшим в фрагмент на предыдущем шаге. Одновременно в соот­ ветствие с принципами П1 и ПЗ для каждого фрагмента образуются функции связности, которые в дальнейшем мы будем называть частичными: операцией дизъюнктив­ ной связности объединяются переменные, соответствую­ щие присоединенным к фрагменту на очередном шаге дугам; частичные функции для всех фрагментов объеди­ няются операцией конъюнктивной связности. Такую функцию, полученную для всех фрагментов на i-u шаге, будем называть частичной функцией связности t-ro по­

кому-либо фрагменту; при этом последние заведомо все

цией конъюнктивной связности. Будем называть такую функцию полной функцией связности.

Д. Дуги, присоединенные к какому-либо фрагменту (фрагментам) на одном шаге, не могут присоединяться к другим фрагментам на последующих шагах. Исключе­ ние составляет последний шаг, когда вместе с последней, еще не присоединенной дугой, соединяющей какие-то два

248

фрагмента, к ним присоединяются и все другие дуги, соединяющие эти два фрагмента, «о we вошедшие в них (в другие—может быть) на предыдущих шагах. При­ меняя правила А — Д к заданной сети, получаем одно­ значно соответствующую ей полную функцию связности Fc. Раскрывая все скобки в выраже­

нии для функции, т. е. объединяя все возможные множества переменных операцией конъюнктивной связности (будем условно называть эту процеду­ ру приведением Fc к д. н. ф. связно­ сти), можно получить все безызбыточ­ ные наборы переменных связности, со­ ответствующие связывающим деревьям для заданного множества основных вершин { r j . Прежде чем переходить

к описанию указанной процедуры, рассмотрим пример получения Fc для сети, приведенной на рис. 9.3.1.

вершенных путей дугами. Для упрощения будем обозначать послед­ ние символами соответствующих переменных связности (дуга «а» — переменная «а»). Применяя правило Б, на первом шаге получаем фрагменты для узлов Л, В и С и соответствующие им функции связ­ ности

После первого шага не включенной пи в один из фрагментов останется дуга f, связывающая фрагменты для Л и В. В соответствие с правилами В, Г и Д дуга f и вместе с ней d (включенная ранее в фрагмент для В) должны быть включены в фрагмент (Л, С). При этом

а полная функция связности для узлов А, В, С принимает вид:

соответствии с определениями операций конъюнктивной и дизъюнк­

однако некоторые особенности, вызванные несоответствием функций связности и указанных операций общеизвестным булевым функциям

249

и операциям над ними. Приведение начинается раскрытием всех вну­ тренних скобок, т. е. выполнением операций конъюнктивной связности В частичных функциях связности 1-го — re-го порядков.

Операция поглощения не можег применяться к термам, соответ­ ствующим несвязным подсетям, так как при включении в такие термы переменных из последующих частичных функций связности может образоваться терм, соответствующий связному фрагменту.

Все оставшиеся термы fC\ дополняются с помощью операции конъюнктивной связности переменными (не более одной из любой дизъюнкции связности из fci, t = 2, ..., ft) до получения термов, обра­ щающих FC(A, в, с)) в единицу. В рассматриваемом примере получим

строения д. н. ф. связности перебираются все возможные наборы переменных, но включаются в нее только те, ко­ торые соответствуют безызбыточным связывающим де­ ревьям. Причем все избыточные деревья обязательно по­ глощаются одним из безызбыточных.

Рассмотренные процедуры и функции связности могут применяться для построения безызбыточных (в том числе и минимальных) связывающих деревьев в обычных не­ направленных сетях без циклов. Рассмотрим еще две теоремы, определяющие дополнительные упрощения про­ цедуры построения безызбыточных деревьев.

250

очевидна. Некоторые пояснения, вероятно, требуются 'при

одна из переменных, соответствующих дугам, инцидент­

Действительно, пусть в функцию Fc (г-;) включен терм О W;BH вида (9.3.2), соответствующий такому пути. Лю­ бая переменная хи входящая в этот терм, соответствует дуге, неинцидентной ни одному из основных узлов (это следует из принципа П2). Следовательно, значение

[9], являются абсолютно избыточными и могут быть ис­ ключены из функции Fс (г,).

Учитывая сказанное выше, можно алгоритм построе­ ния множества всех безызбыточных деревьев предста­ вить следующим образом.

I . Из заданной подсети gi исключаются все внешние пути. Те из них, которые содержат хотя бы один основ­ ной узел, сразу включаются во все безызбыточные де­ ревья. Основной узел переносится при этом во внутрен­ ний конец исключенного пути. Внешние пути, не содер­ жащие ни одного основного узла, просто отбрасываются (без своих внутренних концов) и «а последующих шагах алгоритма не рассматриваются.

I I . По правилам А — Д для полученной циклической части сети gi образуется функция связности, которая за-

251