книги из ГПНТБ / Штейн М.Е. Методы машинного проектирования цифровой аппаратуры

с учетом разности числа связей размещенных с еще не­ размещенными модулями.

5.4. Алгоритмы, использующие силовые функции

В основе алгоритмов, использующих силовые функ­ ции, лежит механическая интерпретация задачи разме­ щения модулей как задачи движения материальных то­ чек (модулей) к положению равновесия при действии на них некоторых сил притяжения и отталкивания, кото­ рыми являются связи между модулями. При этом поло­ жение равновесия соответствует минимуму суммарной длины всех связей.

Для системы размещаемых модулей суммарную дли­ ну связей

ным знаком, т. е. силовой функцией, а условие миними­ зации L интерпретируется как условие равновесия дан­ ной системы модулей (материальных точек).

Таким образом, минимизация L рассматривается как задача поиска равновесия системы материальных точек, способ решения которой заимствован из механики и заключается в решении дифференциальных уравнений движения этих точек с единичными массами под дей­ ствием рассмотренных сил. Однако для того чтобы дви­ жение системы к положению равновесия не преврати­ лось в незатухающее колебательное движение, нужно ввести еще силы трения, которые направлены в сторону,

системой к равновесию, то и вычислительные методы в связи с этим существенно упрощаются. Так, при при­ менении метода Эйлера для решения дифференциаль-

123

ных уравнений можно выбирать большой шаг, что со­ кращает число итераций, ускоряет вычисления.

В [13] размещение, использующее силовые функции, осуществляется в несколько этапов. Сначала размеща­ ются материальные точки (модули) на некотором услов­ ном поле позиций, для которого места закрепления модулей не фиксированы. Это, как правило, приводит к неравномерному размещению, т. е. на поле позиций возникают области большого скопления и, наоборот, разряжения точек. Полученное размещение использует­ ся в качестве начального приближения для решения задачи на втором этапе. Математически получение на­ чального приближения связано с решением системы линейных уравнений.

На втором этапе материальные точки подвергаются действию сил притяжения и отталкивания и приводятся в движение к положению равновесия. В равновесии достигается равномерность размещения точек на поле позиций. Как указывалось выше, решение задачи на втором этапе связано с решением системы обыкновен­ ных дифференциальных уравнений. И, наконец, в соот­ ветствии с установленным на втором этапе взаиморас­ положением материальных точек осуществляется их сдвиг в фиксированные позиции без существенного изме­ нения размещения предыдущего этапа.

Рассмотрим более подробно некоторые особенности предлагаемого в [13] алгоритма размещения.

Несмотря на то, что критерием оптимизации является суммарная длина всех связей, расстояние между моду­ лями trii и m.j в отличие от предыдущего равно

В тех случаях, когда такое упрощение недопустимо, раз­ мещаются точки, которые являются центрами модулей. Кроме того, при размещении учитывается положение контактов выходных разъемов, через которые осущест­ вляется связь с модулями, расположенными на другом поле позиций. Как правило, эти разъемы располагают на внешней стороне поля позиций, и поэтому все точки, соответствующие контактам разъемов, будем называть

124

граничными. Часто проектировщики считают некоторые контакты фиксированными для специальных электри­

Позиции для установки модулей фиксированы в опре­ деленных местах прямоугольника R, поэтому некоторое множество координат фиксировано как установочные места для модулей. Поскольку модули в рассматривае­ мой модели представляются точками, то каждое уста­ новочное место представляется фиксированными коор­ динатами.

Получение начального приближения связано с мини­

Частные производные по всем нефиксированным точ­ кам, приравненные к нулю, дают систему линейных

I, ;'=l

Система уравнений (5.4.3) решается методом итера­ ций Зейделя. В [13] показано, что необходимым усло­ вием сходимости итераций является наличие хотя бы одной фиксированной точки для каждого компонента

125

связности. С другой стороны, минимизация (5.4.2) при одной фиксированной точке приводит к тому, что все остальные точки данного компонента связности совме­ щаются с фиксированной. Поэтому в каждом компонен­ те связности должны быть точки (как минимум две), фиксированные на противоположных границах прямо­ угольника. Как правило, одна такая точка имеется в каждой электрической цепи па разъеме. Другая же точка фиксируется искусственно, причем место ее фикса­ ции должно находиться как можно ближе к той границе прямоугольника JR, которая противоположна располо­ жению разъема.

Решение системы (5.4.3) дает размещение матери­ альных точек в прямоугольнике R без требования рав­ номерности. Однако это решение используется в качест­ ве исходной информации для второго этапа.

В основе размещения на втором этапе — аналогия движения материальных точек единичной массы под действием системы сил притяжения и отталкивания. Если две точки ( т и rtij) связаны между собой по элек­ трической схеме, то между ними действуют силы при­ тяжения

Для того чтобы размещаемые модули не совпадали, между ними вводится некоторая сила отталкивания

Фц = 9(пц, mj) = ?(.**, уи Xj, у-).

Кроме того, для каждого модуля вводятся аналогичные силы отталкивания от границ прямоугольника R:

Gi=~g(mi)=g(Xi, yt)

и силы так называемого сопротивления среды, пропор­ циональные скорости Vi движения материальной точки, kvu где k — некоторое положительное число.

Система дифференциальных уравнений

N N

126

N N

определяет движение нефиксированных точек к поло­ жению равновесия. Систему дифференциальных уравне­ ний при начальных условиях

ным методом Эйлера.

С вычислительной точки зрения наибольшие труд­ ности представляет решение системы дифференциальных уравнений (5.4.4). Здесь учет сил отталкивания требует значительного машинного времени, так как на любую материальную точку могут действовать силы отталки­ вания от остальных N—1 точек и, как показано в [13], это требует около qN арифметических операций. Поэто­ му для ограничения счета учитываются только те силы отталкивания, которые возникают между точками, на­ ходящимися от данной на расстоянии, не большем, чем заданное. Величина этого расстояния определяется

В работах [2, 14, 15] задача размещения решается аналогичными методами; при этом в каждом случае

127

силы притяжения и отталкивания определяются кон­ структивными и технологическими особенностями поля позиций.

Вообще алгоритмы данного типа, появившиеся ранее других, сейчас в машинном проектировании используют­ ся редко. Это объясняется и их плохой реализуемостью на ЦВМ, и необходимостью «округлять» результаты размещения, получаемые в непрерывных координатах. В цифровой аппаратуре задача размещения чаще всего должна решаться в целочисленных координатах.

Программист, выбирающий алгоритм размещения для системы машинного проектирования, должен пре­ жде всего проанализировать конструктивные и техноло­ гические особенности проектируемой аппаратуры и воз­ можности используемой ЦВМ.

5.5. Размещение с учетом ограничений трассировки

(алгоритм размещения цепей)

Как уже указывалось, учет ограничений трассировки составляет в задачах размещения наибольшую пробле­ му. Особенно важной эта проблема оказалась при про­ ектировании аппаратуры с печатным монтажом. Ограни­ чения трассировки формулируются по-разному в зависи­ мости от технологии производства печатных плат. Автору удалось сформулировать такие ограничения для плат со сквозными металлизационными отверстиями.

Ниже описан вариант задачи размещения модулей, учитывающего эти ограничения; приведены математиче­ ская модель, более точно в сравнении с ранее изложен­ ными постановками, представляющая соединения, и алгоритмы решения задачи.

В работе [17] указано, что задача трассировки явля­ ется комбинаторной с несколькими упорядоченными друг относительно друга критериями оптимизации. В со­ ответствии с этими критериями прежде всего решаются следующие задачи:

а) максимизация числа проложенных трасс для за­ данной схемы соединений и заданного ресурса печатных проводников на плате;

б) построение для каждой электрической цепи свя­ зывающей ортогональной сети, содержащей минималь­ ное число различных печатных магистралей.

128

В печатных платах магистрали чаще всего представ­ ляются ортогональными сетями, модули размещаются в фиксированных позициях на плате, а контакты моду­ лей попадают в узлы указанной сети.

Из сказанного должно быть ясно, что для улучшения решения задач а) и б) требуется размещение модулей, обеспечивающее на плате наиболее простую конфигура­ цию возможно большего количества цепей. Иными словами, необходимо решать задачу размещения не

зом удовлетворяющего требованиям трассировки, может быть выражена следующим образом. Необходимо полу­

объединяемые только одной электрической цепью п*, назовем связывающей цепью. Так как различные элек­ трические цепи не связаны друг с другом, то каждая

все узлы которой представляют контакты, объединяемые только одной электрической цепью щ, обычно называют связывающим деревом для щ. Дерево d\ является одним

ми, если они представляют независимые цепи, т. е. свя­ зывают узлы только различных С-модулей:

130