книги из ГПНТБ / Зайцев Ю.В. Переменные резисторы

Сопротивление плоского пленочного ПЭ, показанного на рис. 1-1, 6:

В конструкциях многооборотных переменных резисто­ ров применяют ПЭ цилиндрической формы. Для пленоч-

?,

Рис. 1-3. Конформные преобразования к расчету сопротивления пленочного прецизионного ПЭ (а—д) и зависимость сопротивле­ ния ПЭ от величины нарезки (е).

/ — для квадратного ПЭ Kj /(2Kj ) - 1; 2 — для прямоугольного ПЭ к ' /(2К^)=м

= '/2; 3 — для прямоугольника ПЭ К^/(2/Cj)=Vs.

ных ПЭ цилиндрической формы, у которых толщина про­ водящего слоя /г<С£) (рис. 1-1,в), сопротивление ПЭ

Пленочные ПЭ цилиндрической формы в ряде случаев выполняются с продольными изолирующими прорезями (рис. 1-1, г ), сопротивление такого ПЭ

20

где а — ширина изолирующей прорези, N — число про­ резей.

Сопротивление проволочного ПЭ (рис. 1-1,6) опре­ деляется длиной провода / и его сечением S

Прецизионные переменные резисторы — резисторы с малым допускаемым отклонением от номинального со­ противления обычно имеют ПЭ пленочного типа, в кото­ ром создано заданное число изолирующих прорезей. Пре­ цизионный пленочный ПЭ наиболее простой конструкции показан на рис. 1-3, а. В середине ПЭ создается изоли­ рующая прорезь, обеспечивающая номинальное сопро­ тивление с заданным допускаемым отклонением; рас­ смотрим расчет сопротивления ПЭ методом конформных отображений.

Отобразим исходный ПЭ (рис. 1-3) на верхнюю полу­ плоскость с вырезом вдоль мнимой оси

где KVK[— полные эллиптические интегралы 1-го рода, a k, k\ — их модули соответственно.

Далее функцией z2 — (zf + |zlm |2)0,5 полуплоскость с

вырезом отображаем на полуплоскость без выреза (рис. 1-3, в), при этом

Z2m = °; h f = — he = Sn (W fr ^')/СП [t/K'i, k[y,

k.2 = £,/dn (tlK[\ k[y

21

Полуплоскость zs с помощью эллиптического инте­ грала с модулем k2 отображаем на прямоугольник

(рис. 1-3, д)

Зависимости относительного увеличения сопротивле­ ния резистора R/Rq от величины изолирующей прорези t/K[ приведены на рис. 1-3, е.

Наиболее распространенные конструкции ПЭ преци­ зионных переменных резисторов показаны на рис. 1-4. Для расчета сопротивления ПЭ резисторов конформно отображаем ПЭ с нарезкой на прямоугольник.

Отметим, что достаточно рассчитать сопротивление прямоугольного ПЭ с нарезкой, так как подковообразный

22

ПЭ отображается на прямоугольник длиной л и шириной In г2/гх функцией

в ПЭ на рис. 1-4,6, а ПЭ, показанный на рис. 1-4, в, — в проводящий элемент, приведенный на рис. 1-4, г. Пара-

Рис. 1-5. Конформные отображения участков прецизионных ПЭ на прямоугольник.

метры нарезки подковообразных и прямоугольных ПЭ связаны между собой следующими соотношениями:

23

Для расчета сопротивления прямоугольных ПЭ с на­ резкой предварительно рассчитаем сопротивление от­ дельных участков, показанных на рис. 1-5. Элементарный участок, показанный на рис. 1-5, а, отображается на пря­ моугольник шириной 2К2 (к2) и длиной К2 (k'2) функцией

(рис. 1-5, г)

Действительно, отобразим прямоугольник на полу­ плоскость функцией Якоби (рис. 1-5,6)

где k\ — модуль отображения, определяемый отношением 2B/w, /С1= /С1(/е1) — полный эллиптический интеграл.

В результате преобразования переводим точки 1—4 в точки действительной оси

*я = — [dn (К[ tJB- ft;)]” 1; z22 = — [dn (К[ t2IB; ft;)]-1;

Z23 = [dn (K[ t2/B; ft; i]-1; Z24 - [dn (K[ ЦВ- ft;)]-1,

где k\ —(1—k\Y’b\ K\ — полный эллиптический интеграл, соответствующий модулю k\.

Переводим точки 1 я 4 в точки — 1 и 1 соответственно линейным преобразованием (рис. 1-5, в)

Затем с помощью эллиптического интеграла 1-го рода, отображая полуплоскость на прямоугольник шириной 2К2 и высотой К2, придем к выражению (1-15). Сопро­

тивление элементарного участка ПЭ, показанного на рис. 1-5, а:

Ri = 2RsK2(k2)/K'2(k'2).

Рассчитав k2 = dn(K’1tJB-, ft[)/dn(/C[ t2/B\ k[), опреде­ ляем отношение K2IK2 по таблицам приложения 1 и 2.

Рассмотрим расчет сопротивления элементарного уча­ стка ПЭ, показанного на рис. 1-5,6. Отображаем элемен-

24

тарный участок на полуплоскость с помощью функции

(модуль k3 соответствует соотношению сторон прямо­ угольника К'г/К3 = В/ш).

Точки 1—5 перейдут в точки верхней полуплоскости г2 с координатами (рис. 1-5, е)

22i = —1; z22 = —1/dn (/('3/2/В; k'3)\

sn(K3 t1/B;

22з — 1/dn (*3 tjB\ k:,j; z24 - 1; z25 -

cn [K3 t^/B; k3)

Полуплоскость с вырезом по мнимой оси г2 отобра­ жаем на полуплоскость z3 (рис. 1-5, ж)

* ,- ( * ! + s n a(tf3v fi; * ;) [ » * № '.« ; *;j] - t s- а -le)

Далее переводим точки 1 и 4 в точки —1 и 1 линей­ ным преобразованием (рис. 1-5, з)

Координаты точек 1—5 на действительной оси полу­ плоскости г4 имеют вид:

X (dn-2 (K3 yB - k3) + sn2 (K3 tJB- k,) x

xcn -2 [К3!г/В-, k3)\°>\j45=0.

Полуплоскость z4 отобразим на прямоугольник эл­ липтическим интегралом (рис. 1-5, и)

U

где

К = dn [К3 У в- k’3) . [СП2 (К3 У в- k3)+

+sn2(К3/1/В; У)йпЦКз уВ - *3)]-°.5.

Сопротивление данного элементарного участка ПЭ запишем так:

R2 = 2RsK4(k4)/K4(k4).

Расчет сопротивлений элементарных участков, пред­ ставленных на рис. 1-5, к, м, можно свести к расчету

25

сопротивлений рассмотренных уже участков, зеркально отображая их относительно электрических контактов. Сопротивление элементарного участка, показанного на рис. 1-5, к, равно:

Сопротивление элементарного участка, показанного на рис. 1-5, м:

Общее сопротивление ПЭ с прорезями рассчитываем, суммируя сопротивления отдельных элементарных уча­ стков. При числе элементарных участков равном N пол­ ные сопротивления ПЭ резисторов, изображенных на рис. 1-4, б и 1-4, г соответственно равны:

При увеличении числа котировочных прорезей на ПЭ модули k[ и k3 уменьшаются. При значениях B/w> 3 & < 10-3 приведенные расчетные формулы можно упро­ стить вследствие вырождения эллиптических функций и представить в следующем виде:

sn (Kz/w, k) = sin я z/w, sn (K'z/B\ k') — th nz/w\

cn (Kz/W, k) = cos — ; cn (K'z/B; k') = 1 /ch — ;

dn (Kz/w, k) = 1; dn (K'z/B- k')= 1/ch — .

Сопротивления элементарных участков запишем так:

26

где

и

Рис. 1-6. Зависимости сопротивления прецизионных резисторов от числа элементарных участков N.

При условии, что t\= B —t2, получим:

Результаты расчетов зависимости сопротивления ре­ зисторов, показанных на рис. 1-4, в, от параметров коти­ ровочных прорезей при ri = 6 мм, г2 = 8 мм ап=240о, гг—г\ = г2—г4 представлены на рис. 1-6.

Проводящие элементы переменных резисторов часто выполняют с отводами от отдельных участков. В связи с этим приведем мето­ дику расчета сопротивления ПЭ переменного резистора при произ­ вольном расположении контактов на его границе. Покажем методом конформного преобразования, что если положение контактов ПЭ оп­ ределяется четырьмя точками, расположенными на его периметре (рис. 1-7, а), то данный метод позволяет произвести расчет сопро­ тивления ПЭ, преобразуя заданный ПЭ в эквивалентный, в котором граничные точки контактов становятся угловыми. Для этого отобра­ зим прямоугольник (рис. 1-7, а) с произвольно расположенными на

27

периметре точками 1, 2, 3, 4 на верхнюю полуплоскость г| эллипти­ ческой функцией Якоби

где С — постоянная, определяемая размерами прямоугольника; k — модуль эллиптической функции, определяемый соотношениями сто­ рон прямоугольника.

Точки /, 2, 3, 4 на периметре прямоугольника перейдут в точки действительной оси х, (рис. 1-7,6).

Рис. 1-7. Конформное отображение прямоугольника на прямо­ угольник.

Для комплексного аргумента z=x- \-iy получим:

Для точек, расположенных на периметре прямоугольника, фор­ мула (1-25) упрощается

z = х при —1/2 sj x=g: I/2; х^ = sn(jг/C; k);

x, = l/[ft sn(x/C, A)].

Далее точки 1—4, произвольно расположенные на действитель­ ной оси, сделаем симметричными относительно начала координат.

Рассмотрим симметризующее преобразование. Чтобы отобра­ зить верхнюю полуплоскость на верхнюю полуплоскость, необходимо

28

шого радиуса; поэтому искомое преобразование должно быть дроб­ но-линейным

Найдем преобразование, переводящее четыре точки действитель­ ной осиплоскости г2 в четыре попарно симметричные точки от­

носительно начала координат точки полуплоскости г3. Очевидно, что симметрирующее преобразование является частным случаем дробно­ линейного преобразования (1-27), отображающего полуплоскость на себя. Не ограничивая общности рассмотрения, найдем преобразо­ вание, переводящее точки 1—4 полуплоскости г\ в точки —р, —1,1, Р полуплоскости 23.

Введем линейное преобразование, которое симметрирует точки

29