книги из ГПНТБ / Актуальные проблемы аналитической теории чисел [сборник]

И. Кубилюс

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Введение

Цель наша — рассказать о применениях теоретико-вероят­ ностных методов к изучению распределения значений арифме­ тических функции (а.ф.). Будем рассматривать только такие арифметические функции, областью определения которых яв­ ляется множество натуральных чисел, т. е. просто числовые по­ следовательности. Изложенные методы пригодны и для изуче­ ния более общих арифметических функции, областью опреде­ ления которых служит множество всех целых рациональных чисел, множество всех целых чисел заданного поля алгебра­ ических чисел, множество всех точек заданной решетки в ко­ нечномерном пространстве, упорядоченные полугруппы и т. п.

Большинство арифметических функций, рассматриваемых в

же самое, g(l) = 1.

Из определения м.а. ф. следует

где произведение берется по всем степеням простых чисел ра,

считать равным 1 (напомним, что g(m) мы считаем не равной тождественно 0). М.а.ф. полностью определяется заданием ее значений в степенях простых чисел g(pa).

8. Так называемые сингулярные ряды в аддитивных зада­ чах обычно являются м.а.ф. или отличаются от м.а.ф. посто­ янным множителем. Например, по теореме Гольдбаха — Ви­ ноградова число представлений нечетного натурального числа m в виде суммы трех простых чисел равно

Здесь и в дальнейшем В означает величину, не всегда одну и ту же, ограниченную по абсолютной величине константой. Считая 3 (т ) определенной по этой формуле для всех нату­ ральных т, имеем сильно м.а.ф.

82

9. Характеры Дирихле %п(пі) по заданному модулю D яв­ ляются вполне м.а.ф.

10. Пусть 4W (т) означает число представлений числа т в виде суммы двух квадратов целых чисел /?г=.ѵ2+г/2, причем

Аналогично вводятся понятия аддитивной, вполне адди­ тивной и сильно аддитивной арифметической функции; доста­ точно только в условии (1) умножение заменить сложением. Таким образом, а.ф. f(ni) называется аддитивной (а.а.ф.), если

А.а.ф. определяется полностью ее значениями в простых чи­ слах f(pa). Если (2) имеет место для любых т, п, не обяза­

Значения как аддитивных, так и мультипликативных функ­ ций зависят от мультипликативной структуры аргумента. Они

для всех т или хотя бы для всех достаточно больших т, при этом требуется, чтобы неравенства (3) были как можно бо­ лее точными.

П р и м е р ы. Для т = 2, 3,... справедливы оценки

ЯJmJ

т= I

при я—)-оо и искались для них асимптотические выражения через простые (в известном смысле) функции от я.

К. Ф. Гаусс приводит формулу для числа классов Іг(—D) чисто коренных положительных квадратичных форм отрица­ тельного определителя —D (ее доказал И. М. Виноградов в- 1918 г.)

84

П. Г. Лежек-Дирихле доказал, что

П

отрезке натурального ряда от I до п.

Таким образом, среднее значение функции со(т) на отрез­ ке {1,..., п} приблизительно равно Inin/г, в то время как ее значения колеблются между 1 и примерно In n/lnln іі. Это дает нам мало информации о том, как ведет себя функция со(т) для подавляющего большинства значений аргумента.

Через N (...) будем обозначать число натуральных чисел т, подчиненных условиям, которые каждый раз будут указы­

ы(т) отклоняется от своего «среднего значения» lnln п на ве­ личину, не превосходящую ф(7г)("lnln п)ІІ2.

Доказательство, предложенное Г. Харди и С. Рамануджа­ ном, арифметическое и довольно сложное. С другой стороны, их результат представляет собою аналог теоретико-вероятно­ стного закона больших чисел. Поэтому, естественно, напраши­ вается мысль использовать для его доказательства соображе­ ния, аналогичные употребляемым в доказательстве закона больших чисел. Такое доказательство дал П. Туран [230] в- 1934 г. Весьма просто подсчитывается, что

П

V (со (т) — lnln п)- = Bn Іпіп п. т—1

Отсюда очевидным образом следует (5).

П. Туран [231] обобщил эту теорему на более широкий класс функций. Если сильно а.а.ф. }(пг) удовлетворяет усло­ виям

0 .< / (р) < const,

S5

Оценка (7) в общем случае не верна. Если в качестве сред­ него значения целесообразно выбирать выражение А„ соглас­ но формуле (6), как это явствует из приводимого дальше теоретико-вероятностного истолкования аддитивных функции (см. стр.91—93), то А,г не может служить мерой отклонения в общем случае. Теоретико-вероятностные соображения приве­ ли автора этих строк к мысли, что в случае любой веществен­

m = I

где величина В ограничена абсолютной константой. Эту оценку можно уточнить. Положим

— 5 ( / И — АпУ = спВп-

п

т = I

Предыдущий результат утверждает, что сп не превосхо­ дит абсолютной константы. Можно доказать [32] (см. также [137]), что

с„ ■<: * -f с

«6

где СI —-опять абсолютная константа, причем 1 в общем слу­ чае, как это явствует из примера функции со(т), нельзя заме­ нить меньшей константой.

Из этих результатов следует, что существует такое число

Среди асимптотических законов (10) наиболее интересны некоторые частные случаи, получающиеся специальным вы­

является функцией распределения в теоретико-вероятностном смысле. Требуется найти необходимые и достаточные усло­ вия, при которых (11) слабо сходится к некоторой предельной функции распределения, т. е. сходится к этой функции вовсех ее точках непрерывности. Более общая задача: даны две последовательности чисел Сп и Dn (я=1, 2,...); найти необхо­ димые и достаточные условия, при выполнении которых

я

слабо сходится к некоторой функции распределения. Нако­ нец, возможна еще более общая постановка вопроса: дана

8?

имеет предельный закон распределения в только что указан­ ном смысле. Конечно, можно обобщить таким же образом и (10), предполагая, что функция w(in) зависит от /г.

мультипликативных а.ф., которыми мы будем заниматься в дальнейшем, их дробные доли не всегда обладают аддитив­ ностью или мультипликативностью.

4. Р а с п р е д е л е н и е ц е л о з н а ч н ы х ф у н к ц и й по м о д у л ю q. Пусть w(in)— целозначная а.ф., q — задан­ ное натуральное число. Задача изучения дробных долей функции w(tn)/q эквивалентна задаче изучения поведения ча­ стот

Представляет интерес выяснение условий, при которых часто­ та (13) имеет предел для любого а.

Возможны различные обобщения. Можно, например, рас­ сматривать многомерные законы распределения. Пусть

88

Методы

Дадим основные идеи некоторых методов, употребляемых при решении сформулированных выше задач.

в предположении, что интеграл сходится абсолютно. Основу метода составляет следующая теорема [151].

Пусть дана последовательность функций распределения F„(x) (п= 1,2,...). Предположим, что для каждой из этих функций существуют моменты всех порядков

т,Іп= J xkdFn (x) (k-- 1, 2, . . .).

Если при п—у- оо для каждого k моменты ткп сходятся к не­ которым числам тк, то nt]I являются моментами некоторой функции распределения F(x). Если, кроме того, функция Р(х) определяется своими моментами однозначно, то Fn(x) слабо сходится к F(x).

В случае функций распределения (12) моменты всех по­

Если, например, удается доказать, что (14) сходится к 0 для всех нечетных /е и к (k— 1)!! для всех четных k, то (12) схо­ дится к нормальному закону распределения

f e-^-du.

I 2л J

— со

89