книги из ГПНТБ / Актуальные проблемы аналитической теории чисел [сборник].

(2) по коэффициентам этих уравнении. Лишь в некоторых случаях такую границу удавалось построить, но только для уравнении специальных классов и за счет специальных при­ емов (см. [48]).

Революционная работа А. Бэнкера [20] об эффективной оценке модуля линейкой формы от логарифмов алгебраиче­ ских чисел открыла не только перспективу принципиального построения новых границ для решений уравнений (1) и (2), но привела к качественно новому явлению — определению главнейших параметров, влияющих на эти границы, и степе­ ни их влияния.

которое объединяет в себе уравнения (1), (2) и которое мы называем уравнением Туэ — Малера. Мы объясним основные принципы, использованные в эффективном анализе уравне­ ний (1) — (3), и приведем основные результаты о величинах решений этих уравнений, полученные к середине 1972 г. Мы приведем также основные следствия, вытекающие из эффек­ тивного анализа уравнения Туэ — Малера и его обобщения на относительные поля. Наконец, мы коснемся общей проблемы величины чисел классов идеалов алгебраических числовых полей в связи с оценками величины решений уравнения Туэ и гиперэллнптического уравнения.

§ 2. Общая схема анализа

Чтобы уяснить основной принцип, используемый для ана­ лиза уравнений (1) — (3), рассмотрим один из многих спосо­ бов сведения уравнения Туэ (1) к оценке снизу абсолютной величины чисел ß вида

рациональные. В качестве такой оценки нам достаточно знать, что из условия ß ^ O следует при любом 6> 0

( Р І > ^ е - бя, Я = шах (I hx|, . . . , |/г;і)), (5)

где q > 0 - величина, не зависящая от Я и эффективно опре­ деляемая через б, ос, аѵ . .. , ah. Этот основополагающий факт был установлен Бэйкером [20 — 23] в существенно более точной форме, но для общего эффективного анализа уравнения (1) его вполне достаточно.

200

так как в противном случае из (1) легко получаем явную оцен­

201

где а пробегает все изоморфизмы поля К в поле комплексных чисел, с5— не зависящая от X эффективно определяемая ве­ личина. Так как из (11) можно выделить подсистему с отлич­ ным от нуля определителем, то получаем

Возвращаясь к (9), мы замечаем, что число в левой части

(9) можно привести к виду (4), где в силу (10), (12) Я < 2 с61п X. Следовательно, из (5) и (9) получаем

Сіе~2с°6,п 'ѵ < CjX“" .

Считая, что б = (п— 1)/2с6, находим X < с4с~‘. Мы получили эффективную границу для решений уравнения (1).

Существуют и другие способы анализа уравнения (1) на основе оценки (5), но все они используют аналогичные сооб­ ражения и различаются лишь в деталях [1, 24]. Уравнение

(3) анализируется сходными рассуждениями, но вместе с оценкой (5) нужна аналогичная оценка в р-адической метрике (см. [1, 33]).

Конечно, наибольший интерес представляет не просто сам факт возможного построения эффективной границы для реше­ ний уравнения (3) или для его частных случаев (1), (2), а определение наилучшей границы, указывающей в явном виде, как параметры уравнения влияют на величину его решений. Это требует существенного развития и уточнения общей схемы рассуждений.

202

§ 3. Уточнение общей схемы

Простейшая задача, связанная с уравнением (1),— это оценка величины его решений в зависимости от изменяющего­ ся числа А при фиксированной форме f=f(x, у). Эта задача тесно связана с задачей об оценке рациональных приближе­ ний к вещественному корню /, т. е. к корню Ѳ многочлена f(x, ^ . ’Действительно, в обозначениях предыдущего парагра­ фа в силу (8)

\ x - Q my \ < c 1 \A\X~tt+\

где с- зависит только от коэффициентов и степени формы /. Обратное неравенство (с другой величиной с7) непосредственно

следует из (1), так что величина х — Ѳ(І)г/ в точности имеет по­ рядок \А\Х~П+1. Следовательно, если известна оценка

где ф(/Ѵ) стремится к бесконечности вместе с X, то получаем теорему Туэ. Именно таким путем Туэ [61] получил доказа­ тельство своей теоремы, предварительно доказав теорему о рациональных приближениях к алгебраическим числам. Н а­ против, если известна граница для решений (1) как функция от А, то \АI можно оценить снизу через X, что дает неравен­ ство вида (13). т. е. некоторую теорему о рациональных при­ ближениях к Ѳ= Ѳ<1>. Рассуждение, описанное в предыдущем параграфе, как раз и позволяет это сдедать.

Чтобы получаемая таким путем граница для X была по возможности лучшей, нужно, как легко видеть, иметь нера­ венство вида (5), в котором а не остается фиксированным числом, а может изменяться. При этом диапазон, в котором может изменяться а, желательно иметь по возможности более широким. Ясно, что для справедливости (5) необходимо по­ требовать, чтобы высота h (а) оценивалась сверху по крайней мере величиной типа ехр(с8Я). Однако доказать (5) в предпо­ ложении ßфQ, ln h(a)CcsH трудно, и вначале удавалось до­ казывать (5) лишь при ln h(a) <СэН*, где

8 > 0 — произвольно. Для решений уравнения (1) это дает

сначала до 1nh(d) < спН{1~г)/2, а затем до 1nh(a) С с12Н'~е,

203

ны Нг и (ln I А |)Е можно заменить некоторыми степенями лога­ рифмов чисел Н и Inj Л ], что дает усиление предыдущих неравенств. На этом пути в конечном счете удается доказать

что является эффективным усилением неравенства Лиувилля (1844 г.), сыгравшего определяющую роль в теории трансцен­ дентных чисел.

Хотя неравенства (15), (16) являются блестящим дости­ жением эффективных методов теории диофантовых приближе­ ний, они все же весьма далеки от своих неэффективных ана­ логов, получаемых по теореме Рота, в силу которой эти нера­ венства выполняются с Сі5=1/(д—2—е). Как будто сейчас не видно никаких возможностей доказать такого рода усиление (15), (16), даже с с\$, зависящей только от п (см. § 5).

Положение существенно меняется, если мы обратимся к оценкам решений (1) через все параметры, определяющие уравнение, т. е. через А, коэффициенты и степень формы f- Такая оценка, даже будучи «очень грубой», является принци­ пиально новой, так как она не могла быть получена методом

204

Доказательство этой теоремы было проведено Бэйкером по методу, описанному в двух предыдущих параграфах. Оценка (17) является детализированным вариантом оценки (14), в ко­ торой указан явный вид величины с10. Мы видим, что граница для X, у в большей степени зависит от высоты формы Я/, чем от представляемого формой числа А. Мы уже отмечали, что неравенство (14) было усилено до (15), но величины Сю, Сіг> в этом неравенстве скрывают еще более сильную зависимость

по Hj .

При более тщательном учете влияния H f на величину ре­ шений оказывается удобным разграничить собственно влияние Hf и влияние параметров поля алгебраических чисел, содер­ жащего хотя бы один корень формы. Прежде чем сформули­

исключительной, если ее корни Ѳ(і) можно занумеровать так, что

205

разница не принципиальна. Чтобы получить теорему 2 из рас­ суждений, описанных в [11], нужно заменить лемму 3.5 этой работы аналогичной леммой, вытекающей из работы Зигеля [59]. Кроме того, мы несколько сузили множество исключи­ тельных биквадратичиых форм, что возможно в силу сообра­ жений, указанных в работе [13].

Заметим, что доказательство теоремы 2, как и других тео­ рем автора, приводимых в этом обзоре, основано не па прямых оценках линейных форм от логарифмов алгебраических чисел (или оценках чисел ß вида (4) в предположении ß ^ O ), а на связи между такими оценками в различных метриках: архи­ медовых — абсолютные величины и пеархнмедовых — р-ади- ческие нормирования.

Сущность этой связи состоит в следующем. Мы знаем из содержания § 2, 3, что для рассматриваемых задач важно по­

тельном этапе его рассуждений удобно применить р-аднческий анализ. Это приводит к обоснованию (5) при менее жестких

Конечно, использование такого рода «экзотической» связи между (5) и (20) создает дополнительные технические труд­ ности в анализе уравнений (1), (2), (3), но зато оно дает иногда выигрыш в точности и позволяет под иным углом зре­

206

где x = n (s + l) + l+ e ; с2о не зависит от А, т. е. мы имеем не­ равенство типа (14). Однако нетрудно понять, что это нера-' венство глубже (14), так как оно показывает, что в (14) мож­ но заменить А делителем, получающимся из А выделением степенен простых чисел, принадлежащих любому фиксиро­ ванному набору простых чисел. В частности, если А состоит только из степеней фиксированных простых чисел, т. е. уравне­ ние (1) имеет вид (2), то тах(|х|, \у\) < с 2о. Это явление было обнаружено Малером [38] неэффективным рассуждением, и лишь в работе Коутеса [34] получило явную количественную форму.

В работах автора [8, 9] неравенство (22) было усилено и приведено к наилучшему значению x = l + s , после чего не­ трудно заменить его неравенством вида

му 1 [9], заменив условие In А <. Я(1пЯ)_4<"+1) менее строгим условием ІпЛсСодЯ. Чтобы при таком «слабом» ограничении доказать утверждение теоремы 1, нужно внести некоторое усовершенствование в конструкцию линейных форм

играющих основную роль в доказательстве теоремы 1. Кроме очевидного изменения величин Ь\, ..., Ln нужно рассматривать

ляются естественно вместо форм (24), если, отправляясь от функции

Ф = Ѵ р (^)аГ‘ ...

X

207

переходить к

где Df — дифференциальные операторы а - гиЦйгі (1 < г '< /г — ■— 1). Кроме того, нужно воспользоваться равенством

где а<"1) — целые рациональные числа, удовлетворяющие нера­

показатель должен быть — (1+ е), что следует из неэффектив­ ной теоремы Рандаута [53] (см. также Малер [44]), в то вре­ мя как с22 существенно зависит от регулятора поля К. Такая зависимость лежит в основе применяемого метода, и заменить с22 величиной, зависящей только от п, очень трудно.

Теорема 3 может быть усилена подобно тому, как теоре­ ма 2 усиливает теорему 1. Таким путем получается следующая

+ (R + s\nP) {с2вГ 1(s + 1)3Я2(<Ж) (R + lnP)}4(1+!;)('l+s+1)/£:

где R u h — регулятор и число классов идеалов поля К = Q (Ѳ);

Если уравнение (3) сводится к (1), т. е. s = 0, Р = 1, то тео­ рема 4 сводится к теореме 2. Величины R u h можно заменить

208

в силу (19) степенью Hi, что при фиксированном л дает уси­ ление (21) в тех же терминах.

Коутес [33, 34] анализирует уравнение (3), тесно следуя рассуждениям Бэйкера [24, 25] об уравнении (1), давшим теорему 1. При этом вместо теоремы Дирихле о единицах поля алгебраических чисел он использует ее обобщение — анало­ гичную теорему об S -единицах Хассе. При таком подходе раз­ ница между уравнениями (1) и (3) сглаживается, и рассуж­ дения можно вести в достаточной степени параллельно соот­ ветствующим рассуждениям об уравнении (1). При этом вместе с оценками линейных форм от логарифмов алгебраи­ ческих чисел в архимедовой метрике используются также оценки линейных форм от р-адических логарифмов в р-адиче- ской метрике.

Автор [8, 9] применял в анализе уравнения (3) другие тех­ нические приемы и основывал свои рассуждения не на оцен­ ках линейных форм от логарифмов алгебраических чисел, а на связи между оценками таких форм в различных метриках.

Хотя оба подхода имеют общую принципиальную основу, они все же сильно различаются как в деталях, так и по су­ ществу. Для компетентного ознакомления с предметом мы рекомендуем читателю цитированные выше работы.

§6. Наибольший простой делитель многочлена

ибинарной формы

Одно из простых следствий, вытекающих из теорем 3 и 4, относится к очень старой и трудной задаче — проблеме ариф­ метических свойств чисел, представимых многочленами и би­ нарными формами.

Из теоремы 3 Коутес [34] получил следующее утверждение

биквадратичной формой. Пусть s — число различных простых делителей А, Р — наибольший из них. Тогда