книги из ГПНТБ / Актуальные проблемы аналитической теории чисел [сборник]

п р и

т Ф О (mod 2) и

£+,-И= ■

со,

=

т <

I, h

Ict, I, si Ы

!b)w ? Ы

і Ь )

и ) \і <

'

!П2

—1

~

. ,

. ,

m-

t'f/+s= —j----1

(ma)!

<

• (l/m32)‘ (8/m16y <

m

f

t

,

(40! (4/)! (4s)!

при

/п = 0 (mod 2). Следовательно,

п Г 8<

|ы,(0 | / 1(6(0 ) ll/4<

ins.

(17)

Так

как

KV«/)(i,la <

|и}°|2 + |о(0І + \(b!uf )<‘>!,

(18)

то из (17) и (18) получаем:

1/4т16< тах { ;н /і)|2,

|ß(l)|,

|(о</и,)<1)|а}/ max {|ß(l)i2, ]£>(t)|}I/2c

4m16.

(19)

б) Если

/От = {uf,

и(},

то кривая h2 = g* — 2ag2 -f- а? — Ab

должна иметь точку

{vt!ut, (и*— b)/uj}.

Так

как

|a(I)|2< 2 ((a2—

— 4b)(l)|, то

на

основании

случая

а)

т~8< ](o(/()<l!|/К0"— 4ö)(i)l1/4-<m®.

(20)

Далее, из (20) и условия

|и)°|2 <

К^/м,)01!2 +

|o(I>|+|(b/u2)<l)| вы­

текает:

( 0 |2 \

1 /4/п16 <

-

шах {[и)0 !2, [а<г>(, \(vt/utr \ 2}

<

(4mlc).

(21)

шах {|a(1f ,

(£)nl/2

|6U,|}

Перемножив

(20)

и (21), в результате получим:

П

тах{|^°[2, [а<0|, |(i/(/Mt)(0|B}

(l/4/n10)"< — —

-------------< (4т16)".

Следовательно,

(1/4ш1(і)" <H(iO JlH ]/2 (Pn) <

(4m“ )»,

что и требовалось

доказать.

Погрузим поле К в такое поле К3,

в

котором все дивизоры

из К главные. Тогда, по

аналогии с формулами

(9),

справедливо

следующее

утверждение:

на F, то

для

любого

натураль­

если От =

{иъ

ÜJ}— точка

ного t<^mj2

[<Ѵ2]

«* = 2еЛП

П «ІГ1"1.

di

i = 1

Id i ß ]

или

di

i = 1

Idi ß ]

«, = »ЛП П

<*г

/= 1

» л = ц ро п п * М ‘] ‘ •

(22)

di

/= •

где о, .,

bd

.— целые попарно взаимно простые числа

поля Кі,

е(, г' — единицы из К, а

Р0

в

силу

леммы

11

при

tl(m,

/) >

> я -f- 1 равно 1.

Присоединим, далее, к полю Кі величины Ѵ\ et (i= 1, 2, ...),

где et — базисные единицы из

К-

В этом

случае,

если т = О

(mod/?2),

то

на

кривой (14')

будут

располагаться

точки

Rt —

= {xt, iji)

с координатами

и сс—ß

/

[

° P

/

(

H«

(ü a —ßi ^oc+ß)

/

V« a

’

P

. « ß

/

u ß

/

- “-a + ß

/

Ü

L

— /

° P

у -

1 -

f

r

{u-ß >

“

a +Lß ) « e

V/

/« «

И р

/ J

=p', ß

=

m

ßa'/ '/ ,> ,

ß0, 1', =2,

при b == 0 (mod 2) и

/

f —

üß

у

/

^cc—ß

“p

/ .

!

(Пк—ß,

Ha+.ß)

. “e /

V

/ - Е»,

j

/

M «_p

.~«ІГ7 [

Ua

«з

/

(woc—ß,

Щ с+з)

(а = ра' -j- mß'/p,

ß =

paJ — пф'/р,

a', ß '= О,

1, 2,

. . .)

при fc ^r0(mod2).

Очевидно,

ßj)

(i = 1,

2,

3, . .. ),

поэтому

если

обозначить число классов

дивизоров

К через

Іг (К),

то

коорди­

наты всех точек Rt будут принадлежать

одному и

тому же

полю, степень которого не превышает

прп~Чг(К).

Вследствие

этого,

учитывая, что

К —- фиксированное алгебраическое числовое

поле конечной

степени п,

при р >• 5

из

результата Мамфорда

[6.1 и леммы 11 вытекает

Т е о р е м а

А. Пусть m=0(mod р2), где р > 5. Тогда существует

такая

константа

с (р, К),

зависящая

от р

и К,

что т <

< с (р ,

К).

0 (mod 9) или

т = 0 (mod 8), то в этом

Заметим, что если т =

случае

кривые л3 -\- ул = 1,

лг1— 1 = у-

также

будут иметь т/с

точек с близкими друг к другу

высотами и хотя результат Мам­

форда к кривым рода 1 неприменим,

однако,

учитывая, что мно­

жества точек на этих кривых снабжены

групповой

структурой,

можно доказать справедливость следующих теорем.

кото­

Т е о р е м а

В. Пусть / (F) — инвариант

F,

к — поле,

рому принадлежит /(F),

и г — ранг

кривой

х3 -(- у3 --- 1

над к.

Если т == 0 (mod 9),

то т < 9П_1 п (г -j- 1) h (К)-

Т е о р е м а

С. £ сжі m s0 (m o d 8 ),

то т < 8"~’ п(г

1)/г(К),

где г — ранг кривой хл -— 1 = if

над

к.

0 (mod 9)

указаны

Таким образом, при т =

0 (mod 8)

или т

конкретные опенки,

ограничивающие

кручение.

На

основании изложенного

можно

сделать

вывод, что

го фиксированного р = 3,5,... число классов

дивизоров

поля

К(Ор2) будет также сколь угодно большим.

Для окончательного доказательства равномерной ограни­

ченности кручения якобиевых кривых будем

рассматривать

их над произвольным полем К (в частности,

К может

быть

ной аналогии с изложенным ранее дадим лишь

схематично.

1) Пусть Qx и Q2—произвольные точки на F, р,

q—целые ра­

Р + ei

ц л - ч

р ^ е х

q — ε 2

Тогда координаты то­

2

2

2

2

’

’

иРіЧ —

чек pQx -f qQo = {ttp,q,

Vp,q} можно

представлять

в

виде

= Vp,q№p,q>

Vp.q = Vp,qWl,q,

ГДв

Up<q, Vp

< q , Wp

, q

ОПреДеЛЯЮТСЯ

из

рекуррентных

соотношений:

U\,\ — t/i,oWito Vo.i — UCJW OJVUO,

1KU = u h w U - u l o K u

Ki, 1 =

K|,o Ко,I (^5, 1

W~i,o Jr

^I,oIKo,i) — U\QUQJ IK^olKoj

X

X

(2t/?,ot/o.i -Г ß^i.olKo.i +

at/o.i Wi.o -f 2bWloWl,i),

Up.q Ueu e2 = t / a . p

^ , 6 -

bW 2« .ß l ^ . e

,

I K ^ I K ^

=

U$,6W%.t-U%.fiWi fl,

Kp., K.lie> =

K2,pK2,6-

(a2-

4b) ^ , ß^ , 6lK2,ßlK2,6 .

2)

Над

кольцом К [«До,

г/0.і» гдо,

ЗД.і]

( U

l q )

=

с Г

( U p , q) ,

( V p , q)

=

d M

( V Ptq),

(

< ,)

=

( W p . q ) ,

где cl = (U\ I,

K], i,

lKl.i)

b/p,9,

Kpi(),

TKp,,—целые попарно взаим­

но

простые дивизоры.

3) Для любых целых рациональных а, ß и у, б

U<x+v, ß+ 6 ^ a - V ,

ß—6 =

^a.ß^V.ö— blKa.ßlKy.â,

K/a+v, ß^lKa-v, ß_6 =

t/2,6lK“, ß - Д2,р1К-;,6>

K0 +v, ß+ 6

Ka—V,

ß- б =

Kâ.ß K^ , , 6

— (а2 — 4b) Uä,$ Uy.ö IKä.ßlK^a.

4)

Для

любых целых рациональных а,

ß и у,

б

lla —y,

ß—б

L la + y ,

_

2Ua,ß^v.6

ß+6

u ;

, 6

- u a ,ß

(23)

, ,,

2 ü v -6 ü a .ß

u a —y,

ß + â —

ß—б "Г

wa + y ,

о

о

“ v,6

a , ß

G tO jjj-j-

ß O m

— {u a ,ß i

^ a .ß }

( a i

ß — 0 , 1, 2 , . . . , m — 1).

Л е м м а

12.

Если

vq(b) >

0

и q — нечетное, то

a v q O l . о) +

ßVg (и о .і)

\( b )

v, ( U. 3

) =

| aV« (“'-0)" f e ^

- l v , W .

I

V g Ф )

J

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Перепишем равенство

исс, ±ß __

Цц.О^О.р 4 -

»O.ßOg.O

в виде

«o,ß-

“Іо

lla, ±ß _

»C6 . 0

» 0

,ß (O 0

.ß / » 0

.ß

O g ,o /» a .o )

(24)

UÖ,ß

üä,0

Так как ^ — нечетное,

vQ(oa,o/«a,o) =

ѵ9 (о0,р/«о,р) =

0

и

Vg (И а.о)

=

( а ѵ ,

(И іі0) / ѵ

, ( 6 ) } Vg (6 ),

Vg (ы0,р) =

{ßv, («o.i)/ve (b)} vq (b),

то

из (24)

имеем:

v , (“ a .ß )

=

v g (“ « .о)

+

Vg (u a .p ) —

V g (u= i 0 —

« 2 p)

или

(25)

Vg («а. - ß )

= Vg («а,о) +

Vg (Ho,ß) — Vg (ü2>0 _

M^).

Если

(««.0 — “o.ß) = 2min { V g

(“«.о), V, («o.ß)},

V g

то

из (25)

и равенства

«o.ßWa, —ß _

“a,o“5,ß

b

(26)

получаем

“5,ß

“ä,0

Vg (Ua,ß) = max {Vg (мИі0),

vqr(«o,ß)} — min {vq («a,o),

vq («o.ß)}

или

(Ua.ß) =

(«a,o) — V g

(Uo.ß).

(27)

V g

V g K

,

o

4 ß —

ö ) —

V g

Пусть

«Vg («i,o)/Vg (b) = u ±

a',

ßvq («0,i)/Vg (b) =

V ± ß',

где

и, V— целые

и 0 < сс',

ß '< !l/2 .

Так как

Vg («a,o)/Vg (b) =

{aVg («,,0)/Vg (Ь)},

V g ( « 0 , ß ) / V g Ф ) =

{ ß V g ( « 0 , | ) / V g ( / > ) } ,

TO

max ( V g

(«a,0),

vq(«0,ß)}— min{vq(«a,0), vg(«o,ß)} =

« ѵ „ ( и і , о ) +

Р Ѵ д ( и 0,і)

I

/I4

или

(a v g ( « i,o )

ßVg

( « o ,i ) |

4

1V (b)

’

K

Ф).

Vg Ф)

VgW

I Vg

т

Р

«а.р =

0,

оо

или

2еа,р П

1

<ос/Р),

і,/=0

Ма,0/Ма ,р

=

о ,

ОО ИЛИ

е ^ р

П b i , i

т

I

Р

( а .р ,т ) ,

(а/0)

і./=0

в

случае

b == 0 (mod 2)

и

ПІ

I .f? +0/

Ma ,ß =

оо

П

0,

или еа,р і,/=0

(а.р.ш), (а/р)>

(2S)

Ma,ß/Ma,ß = О, СО ИЛИ

"L

{ -У -{ т

;

4 е ^ р II

b. . '

1

j

Р ( а . р . т ) ,

(а/Р)

і,/=0

в

случае

6 #

0 (mod 2),

где а,-.,-,

б,,/ — целые

попарно

взаимно

простые

числа

из

К і,

а

ш =

0 (mod Р (а,р,т), (а/р>).

конеч­

Назовем (28) формулами разложения координат точек

ного порядка на локальные множители.

вытекают

По аналогии с теоремами А,

В, С из формул (28)

Т е о р е м а

Аѵ

Если Ор, Ор £ К,

то существует такая кон­

станта с(р, К), зависящая лишь от

р

и К,

что т <

с (р,

К).

Т е о р е м а

Ву.

Если

03,

0,( £ К,

то т <

3"_| и (г

1) /г (К)-

Из этой теоремы вытекает, что кручение кривых

о2 = и* — 3 (/2

1) (/2 — 2е/ — 1) (і(2 -j- 2е2( — 1) и2 ---

-Н 16 7 — 3 13 (t -г е)3 (t — е2)3,

е3 =

1,

над фиксированным полем К равномерно ограниченно.

Т е о р е м а

Сѵ

Если

04,

О^К .,

то т <

4"

1п (г4-1) h (К)-

Сопоставляя

формулы

(22)

и

(28),

нетрудно

заметить,

что

законы разложения дивизоров из К (От)

в

полях К(От ,

От) и

К (0,„, 7 р),

где р £ К (От ), одни

и те

же.

считать, что F

имеет

группу /<'1-точек, образующими которой

являются

02/т ,

Оr')tm,

удовлетворяющие

равенству

2Ю9гт

=

= 24)2tm'

, причем f > 3

и г/2;_іш 0 = іі02/-і,п = 0 . Так как при лю­

бых а, ß, у, б дивизор

(ua,ß, кѵ,б) (па,р,

Щ.&) главный,

то

по­

лучаем

следующую теорему.

Т е о р е м а

1. Кручение якобиевых кривых равномерно огра­

ничено.

на

Г,

р,

q — целые

рациональные

Пусть Рх и Р2 — точки

числа, абсолютными

наименьшими вычетами которых по mod 2

являются

е1,

е2, и

а, ß,

у,

б соответственно

D 1 С

,

равны —----- -

Ч"Г l2

Н

С1

Ч-- с9

Т'

П

I

—------— ,

-------- — , —------— . Тогда координаты

точек рРл +

2

2

2

+ Чр г = Іхр,ь

Ур.ч)

м о ж н о

представить

в виде

хр<п = Xp^lZ2p,q ,

Ур.ч= Yp,q/Zp,ii, где

Х Р'Ч, Y Pi4, ZPA определяются из рекуррент­

ных соотношений

2Сі,о = А'1,0,

У\,а — у\,а, Zдо =

1;

2(о,і = Л'о.ь То,і =

£/о,ь ^o,i=U

*i,i

=

— 2#i,oУел -г

(*i,o +

-Vo,t) (хдоЛ'0,1 +

f) + 2s,

Yi,\ =

(-Vi,о +

За'о,і) (n/i,o — X ? ,O £/O, I)

+ '

+

(За'і.о-r -vo.i) (ход г/і,о — п/о,і)

+ 4s (гц,о— г/о,і),

X p , q Х е , ,й2

( ^ c c , ß - ^ v ,6

^ Z ä ß Z y g ) —

—4S(A^ß 4,e-j- X7ieZä,(5)Zl,ßZ^6 ,

^

p,<? У eb e- =

Х Яі ß -^ y .ö

J r 7 ( ^ c t .ß

-^ v .ä

—

r Z a ,ß Z y g )

( X ä .ß Z Vie -)-

+ 3XaipXTi5Za^Z^,6 -|- ^T.ö^a.ß) -|-

-!-

s {Xa.ßZy.ö "t" -^v. 6 ^ ä , ß) (i^ a , ß Z v>6 -|- 8 X Ki ß

Z a ,p Z ^

б -|-

-I- X ^ f i Z a . ß —

2rZ a ,ß Z ^ ,,ö ) - ( г 3

i 8s2) Z a .ß Z ^ .s ,

Zp,q Zei,et — X-y,6 X-a,ß - x a*z,ß ^y,b •

Непосредственной

проверкой

нетрудно убедиться, что кри­

вые

Г и F;: V“— и* — 6s,«2— 4г — 3s?,

s3 + rsL+

s — 0,

(i = 1,

2, 3),

связаны бирациональным преобразованием

V =

X2—2s;.v—г—2s2

У

X — Si

и — X-S;

X = и + V2—Sj

У =

у2—3s,• V.

Поэтому Хр_ь

Yp,q, Zp q можно поставить в соответствие

Up-я.і — Yp.ql-

SjZp^.

Vp.4.i = {XP,4- S i Z 2P,4? - { r + Z $ ) Z l q,

(29)

Wp,q,i — ’ X p fq

SjZp'tj Z Piq .

,,

,,

2«a ßti «ѵ.б,і

U<x—‘у, ß—6,i

ß+ 6,i

—

2

2

>

tty.b.i

^ a, ß, i

(Э9)

9

Ua-y. ß—6,i +

Ha + V, ß+6,1

=

----- “'I r -----------------

,

Uy,ö,i

^ a .ß , i

в случае

6 = 0 (mod 2)

и

a/-j-ßs

‘a, ß, 1

О,

oo

или

£й,|і,і

П I.s.i

/

Р(a.ß.m), (a/ß),i>

/,s=0

m {£/±ËL)lfl

^a, ß,£/Ha, ß,£ —

0,

OO ИЛИ 4Ea,ßl£ [~|

j P(a,ß,m), (a/ß),i

/.s=0

в случае &= 0 (mod 2).

з

з

(4r - 3s2.) =

Так как [~~[

J~J (г -j- 3s'p,

то

из теоремы 1 и (30)

і = I

£=1