книги из ГПНТБ / Актуальные проблемы аналитической теории чисел [сборник]

Пусть

(« 4- 1) V, (н^/гѵ, (ft) =

а -і- г,

(п —

1) Ѵ9 (UJ)/2V9 (ft) = ±a-'r s,

где r, s — целые числа,

а

а <

1/2.

Так

как

vq {Ui)lvq(ft) < 1/2,

то

(/I — 1) ѵ9 («і )/2ѵ9 (ft) =

— a +

s, 2v, (»„_i_) 4-2vq (цл+| )ф=v,(ft).

Действительно,

если

2

2

vg (ft)= 2v^ (цп_і )-j-2vff (ttn+1 ),

T O (r-|-s)/n, —

— 1/2 должно

быть

целым

2

что

в

2

нечетности п

числом,

силу

невозможно.

Следовательно,

0 < vq (ип)/ѵ

(ft) .< min {1,

4 |a|} —

— min {1,4 ja[} =

0, откуда vQ(ttn) =

0.

ITo

nvq

(ft) = г

s,

поэтому Vg (un) =

{nv9 («!)/V9 (ft)}V, (ft) =

0.

ft)

2vq (ыя_і

) +

2vg (U„+I_) =

V ,

(ft).

2

2

Как и в предыдущем случае, положим (д-Ь 1) v

(ul) = 2 (a-f r)vq(b),

(п—l)v9(«1)= 2(ß-]-s)v9 (ft), где

|a|,

| ß | < l / 2 ,

г,

s—целые числа.

На

основании

предыдущего

|а) Ф jß|,

поэтому

со >

vq (ап) ;>

>

(1— 2min{|a),

Jß!}) Vq (ft) >

v

(ft)/2, что противоречит

лемме

4.

C) V q ( НП- 1

)

ф Ѵ д (ы д + і

),

2ѵ, ( ы » _ і _ )

- г

2 V ,

( » я + І

) ¥ = Ѵ д (ft).

2

2

2

2

— 2 min {vq (u 1),

2

2

vq (M„+I )}. Обозначим

vq (u „+[ ) / v„ (ft),

2

2

2

(«4-1) ѵ9 Ы /2 ѵ5 (ft)= ± a 4-0

(«—1) vq (“i)/2vq (ft)= ± ß + s,

nvq(M^/Vg (ft)= ± a ± ß 4 - r + s ,

vq (u1)lvq(ö) = ± a + ß + r —s,

(Mn)/v, (ft) =

1 — 2 min {a,

ß} — vq (ux)/vg (ft) =

= 1 — 2 min {a, ß} — {a — ß} = {a -L ß} = {nvq(%)/vq (ft)}.

Л е м м а 7.

Если

v2(ft)>0,

то

Элл любого натурального

t < ml2 v2 (ft) >

4, причем

\ К - ) = ѵ < (“ р ) .

поэтому

при 0 < р < т/2

{рѵ(1(«і/2)/ѵ5 (6/16)} = {(m — р) vq {uj2)/vq(6/16)},

откуда

и получаем следствие 3.

Из лемм 6, 7 и следствия 3 вытекает

0 < t <

m/2,

то

С л е д с т в и е

4. Если /От =

{«(, vt},

I d i ß ]

= П

П

или

di

7= 1

[dp2]

Uj/di)di

h = 2 П

П1

1

dt

7=1

где

. — г^елб/е рациональные

попарно взаимно

простые числа.

С л е д с т в и е

5. .Если Ют =

{и(,

иг},

0 < / < т / 2 ,

то

Н;/2]

7ШІ

di

7=1

[rfj/2]

di

7=1

где

bd

. — целые рациональные попарно

взаимно

простые число.

От

Э тот

факт следует из предыдущего,

если

учесть,

что точка

кривой F порождает точку

{u', ѵ'} — {vju,

(и4, — 6)/u2} кривой

Л е м м а

8. Если |6|/с >

|i4|,

\au2q\, то

1 <

\upqluq\< p +

1,

1 <

РЧ

<

РЧ ‘

Р - 1’

Р =

з,

5,

. . . ,

[с1/16,

при рщг 0 (mod 2)

и

1 <

Ѵь

!’

vpg

vg

<

р - 1

Р + 1

Upq /

Ug

Р = 2,

4, . . . ,

[СІ/І6],

при р =

0 (mod 2).

Если же |t4l/c>|b|, |аі4|, то

<

PQ

vpg / 3 -

<

pH- 1

upg /

Р -

1

•

* »

[с1/,в].

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно лемме

1 имеем:

. . . ,

р2—1

‘+;-rs----4—

2

/. * (“»)*'

(*)*

р д

«.Л?___________

______

-,

рщ 0 (mod 2),

« + /+ s =

Р'—

І

2

сі. /- * (“5)' (а и чУ (/;)s

і ,

/ ,

S

P—1

^ . o . o

=

<

- !)

2

cP0,£!=i = 1’

4

4

Cn:_|

=

(-- 1)

P—1

a

n2_l

=

p

(n>

2

- —

о, о

v

1

o, o,

4

4

2

/. s («?)г(я«?)' (Ö)S

t. /•s_____________________

,

p = 0(mod2)f

“ РЯ = '

1+/+S=PV‘*-1

ug°g

2

Ci- '•s (Uq)i

^

I ,

/ ,

S

a ps/4, 0, 0

~ (

” a g,

0, p2/4’

CPV-1—1, 0, 0 =

(

^

C0, 0. p2/4—1 —P~

Нетрудно

установить,

что

К j, *|<(р2)!/(4£-Ь 1)! (4і)! (4s)!,

|c(, j, s|< (p 2)!/(4i)! (4/)! (4s +

1)!

при р ф 0 (mod 2)

и

[at. j, s|,

|Cl-,f, s|< ( p 2)!/(4t)!(4/)!(4s)!

при p =

0(niod2).

\аи%\

б)

\4\/с>\Ь\,

\аи%.

(11) в виде

а)

Перепишем

равенства

V

аі. /. * (ич/ЬУ (auq/b)i

и

. - Н

s________________________________

“'рд

_____ t, /,

p ф 0 (mod 2),

u q

i + /+ s =

р~—1

i+/4*se Pa/4

/. s (г4/*)г’ (au2qlb)i

2

U p q U g V q _________ t. /,

s_____________________________

p = 0 (mod 2).

i + /+ s= p = /‘l—1

i . s (Uq/by (aul/b)i

2

C i,

£, /,

S

Так как

K / , K W / ( 4 i +

l)!(4/)!(4s)!,

p = 0 (mod_2)

!^t, /, s| К (P2)!/(4t)! (4/)! (4s - r 1)!,

|fli. /. s!, \ct, /. ,1

<

(P2)!/ (4t)! (4/)! (4s)!,

p == 0 (mod 2),

a 0 < p < [c1/I6], \u*/b\,

\aug/b\<\/c, то

£+/+*= P2- 1

2

K ', /• s| |ы?/ЙГ’

loUfl/Öl7'

P — 2 <

t. s

-p q

t+ /+ s — p 2—I

_______if b s____________________

p - T

І-r / + s =

p2—1

1 —

’S

Iе*'. /. sl K ^ l1'

4ВШЯ

s

І,

/,

в

случае

р Ф О (mod 2)

и

1

i + j + s = p - / i

У

К , /, s] \и*ч/Ь\1 \auq/b\i

1

< -

—

иРЯичѵд

i,

/, s

P + 1/2

P +

i + /+ s = p 7 ‘i—1

|ai4/b|;’

2

кг, /, s| |«4/6|1'

i ,

/. S

i + / + s = P 7 ‘l

i +

2

к«-./.s||t4/6|i‘

Ич/і’І7

C - _______ i. /. s____________________

<

‘ + / + S = P 7 4 — 1

p —

2

к*-. /. sl |и>Г

i, /. s

в

случае p =

0 (mod 2).

Ho

=

«4 -г ßt4 +

ö,

|i4/ft|,

|Q« > | <

— ,

поэтому 1 — 2 /c <

_

c

<

\vqiy b I <

1 -f- 2/c. Следовательно,

1

PQ

1

<

,

C P - ! - —

2

l l 4

2

<

и p q U q

<

1

p =

( 12)

\ b

----

0(mod2).

P—

Наконец,

из (12)

и уравнений

2

4

-

au] -f b,

4

—

V% =:

вытекает

1

<

V p q

/

p +

'PА— 1

1

U PC

б) Представим для этого случая равенства (11) в виде

i+/+s—Р 2— 1

V

at, i,s (alu2qy ( b/ Ug f

ZIS

І,

j,

S________________

p ф 0 (mod 2),

= ________

«,

<+/+*= ^

Ci, j'S(alu2qy {b/uq)s

2

(13)

l,

J,

S

i+ /+ s = P 7 ‘t

ttpq _

V

ait j , s {a/u2q)i (b/Uq)s

______ /■ s________________________ ,

р =

0 (mod 2).

9

(iyi4)

2

c'. / . 5 (“/“?)' (^ 4 )s

t. /, S

Учитывая, что 1 — 2/c <

|ug/t4| <C 1 + 2/c, из

(13)

аналогично

предыдущему случаю

выводим:

1 /

1/ ( ' - ! ) ■

(І4)

вследствие

чего

из

(13) и (14)

имеем:

1!(Р +

1 )<

PQ

< Щ р - 1 ) .

ирд

и„

Таким

образом,

11(Р + 1) <

ирд

J

ѵрд

1

Vq-

Щ р - \ ) .

Лемма

доказана.

Uq

ирд

1

Uq

6. Если

\а2—4b\/cZ>\vq/uq\,

\2avl/uq\, то р—1 <

С л е д с т в и е

V

lHpq

1

при р

<

рд

Р -г

1

Upq

I

Uq

1

ф О (mod 2)

и

1

<

рд ■

/ у/*ао Ѣ J

2

1

U pq

рд

и

U-iq

' р — 1

“д

при p =

0(niod2). Если оке \v‘qluq\/0\ä 2— Щ,

. .

|2acg/t4|, то

Действительно, точка

конечного порядка qOm — {uq, vq} кри­

вой F порождает точку конечного порядка

{vq/uq, (uq— b)/u2}

кривой F':/г 2= ^ 1 — 2ag2-\-a2— 4b. Поэтому,

применяя к кривой

F' доказанную выше лемму, мы и получим

приведенные нера­

венства.

Теперь, полагая в соотношениях

wa _ ß

2іиѵа

Wa _|_ß — 5--------j",

/-/ß ua

5. За к. 1065

65

» a - ß + « a - f ß =

2 Ua Vß

2

2

и

llß

lta

v ß

_

Wß

U a

Иа-Ң3:

“ p

Ua llß

2

, 2

üa

v ß

_

Uß —

Ч а

Ч а —ß>

“p

Ua Uß

a = pa', ß =

пф'Ір

и a = pa' +

mß'/p, ß = p a ' — mß'/p, a',

ß' =

— 0, 1, 2,

мы получаем

следующий

результат: если

т= 0

(mod р-), то иа кривой

х » Ду р = 1

(14')

расположены

рациональные точки

X =

V

^ a —ß

/

Vß/Uß

(Ч а —ß> J,a + ß )

/

( V j 4 a , Üß/Uß)

/

4 a + ß

1

VßlUß

-

V

(Ч а —ß,

u a + ß )

/

(v j 4

a , V ßlU ß)

в случае Ь = 0 (mod 2)

и

» a - ß

(Ч а —ß> wa + ß )

ца—ß

(wa —ß, lia + ß )

в случае

(mod 2), высоты которых достаточно близки (в

смысле леммы 8 и следствия 6)

друг к другу.

Распространим полученный

результат на алгебраическое

ка т.

9. Для произвольного целого числа t

Л ем м а

Wt/(Uit Wt) =

0 (mod W1I(UV

WJ).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Проведем

его

методом

математи­

ческой индукции. При (=1

справедливость

леммы

очевидна

Предположим теперь, что лемма верна для

всех

t ^ k . Дока­

жем, что в этом случае она справедлива

и

при

/ = &+1. На

основании

рекуррентных соотношений

(5)

Uk+i — U l » — bWj-i-ь Wk+1=

2Uk+\Vk.\ \W/,+i

UhU, = u y j \

- bW2w W \ ,

w hw 1= u^w'i+2 -

U3m W \

2

2

2

2

2

2

2

2

при

k = 0 (mod 2),

откуда

Wll+l!(Uk+u

Wk+i) =

0 (mod WJiU-L,

ИРД),

Ä #0(m od2),

Wb+iWjVw, Wk+i)(Ult WJ==

=

0(mod v r ^ j r ^ u ^ ,

WkJ1)[UL , F ± ))f A =

0(mod2).

'

2

2 \

2

2

2

2

'

что

и требовалось доказать.

то

координаты точки От =

Л е м м а

10. Если т>п~\- 1,

= (х, у} есть целые числа поля К.

к

{иѵ

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть От =

иД и т = 2“ f] pfy,

(р,

2) =

1.

Покажем,

что

при т >

/і т 1

i=i

U1= 0(mod Ц7Д. Рас­

смотрим

раздельно следующие два

случая: а) тфр$ , б) т=р $.

а) Предположим,

что ІІг ее 0 (mod №Д. В этом случае а — 0.

Действительно, если

бы т было четным,

то из этого с необхо­

что &>2 и перепишем равенство тОт= 0 в виде

/ ИХ

\

= О

— От

(і =

1,

2). Тогда

w n = w j;L

(Рі-4/2

_ 2

u l .

2

‘~2/

p i

/= 0

P i’

Pi

W m Ф 0, так как в противном случае точка От

имела'_бы_поря-

Рі

<

т. Следовательно,

док

(Р І-1 )/2

CjUl W

V

=

0,

/=о

Pi

Pi

5‘

67

Но (рѵ

р,) =

1 и

WmJ (Um_, W ^ ) ^

0 (m o d fly ^ ,

W,)),

Pi

Pi

Pi

поэтому U1= 0 (mod 1^).

б)

Запишем

следующую систему

равенств:

(p- —1)/2

о,-

■2kw 2k

=

t/

m

2

ofc. ^

w

m >

pi

p+i

к=0

р‘Ч-У

pH-/

(P2,’-1)/2

W fl21'- '- 2*

W ,n = W

m

У

c k , i U 2 k m

p'+/

w

m

pj

P'+'

A=0

pi+i

(i = 1,

2, . . . , ß;

y =

o,

l,

. . . . f5;

H - / < ß )

Как

ранее

было замечено, U

£+/ у 0,

и

из предположения

U1EH 0 (mod Wx) вытекает:

Далее,

так как

с(р2у_и/, =

р \

аА> £,

сА_ . ES 0 (mod р), (к, р) = 1,

вию t/1 =

0(modW'1),

из

(15) следует:

п ~

0 (mod pß— 1), где

п — степень поля К.

Но т > п - \ - 1, поэтому U1= 0 (modWJ.

Л е м ма

11. Для

любого натурального t <

т

где

(4т18)-« < Н (іОт)/Н'/2 (Р0) < (4т16)",

Н(Р0) = !ЛМ (й2, b)I П гпах{|й(і>|2,

|0(і)|},

і= і

Н(іОт) =

[ЛМ (uh о?/«?, Й)| J [ max {Ій]° і2,

\(vtlut)Mf, |й(0|}.

1=1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

На основании

лемм

1

и 8

i+/+S=

V

Ci, j, s (i?t У (aul У (by =

О,

i, /,

s

|Cf. /, s! <

(m2)!/(4t)! (4/)! (4s +

1)!