книги из ГПНТБ / Актуальные проблемы аналитической теории чисел [сборник]

Для того чтобы применить к (48) лемму 5, необходимо сна­ чала устранить зависимость интервала изменения р от модуля А. Для этого интервал изменения А, 1 < А < ѵ0р0, разбиваем на

частичные интервалы вида (Д0) = (Д0—До, Д0], где Ао=А0/(1гш)Л’. Затем берем, с допустимой погрешностью, интервал изменения р с варьированными границами:

|Р » f ° ) K < р < р , + ^ -

К3, а К3 достаточно большая по сравнению с К%, Кг и К. Теперь мы можем выполнить асимптотический расчет суммы (49)

подобно тому, как был выполнен такой расчет для суммы (33).

20

С помощью лемм 4 и 5 мы выводим из (49) асимптотическую формулу

Мы видим, что главный член в (50) не зависит от выбора пары (пі, iij), что обеспечивает, в конечном счете, совпадение сумм 2 Х, S, и 2 3 с допустимой погрешностью и, следовательно, достаточную относительную малость дисперсии V. Собирая все полученные нами оценки, находим

Тем самым основная лемма доказана.

§ 5. Комментарии

Рассмотренная в § 1 схема решения тернарных аддитив­ ных задач, по-видимому, может быть применена для разработ­ ки нового элементарного метода решения проблемы Варинга.

Для доказательства разрешимости уравнения

Представляет интерес решение «полутериарных» задач, к которым, например, относится задача о представлении числа п в виде

А. И. Виноградов

РЯДЫ КУБОТЫ И ТЕТА-ФУНКЦИИ

В этой работе мы кратко остановимся на той связи, кото­ рая существует между рядами Куботы и тета-функциями вы­ соких степеней. Рядами Куботы мы называем ряды Эйзен­ штейна, которые возникают при изучении представлений метаплектической группы [1, 2]. Т. Кубота первый исследовал ряды Эйзенштейна и обратил внимание на их исключитель­ ную важность в аналитической и алгебраической теории чи­ сел; поэтому нам кажется вполне оправданным называть эти ряды его именем. После его работ [1—4] стало ясно, что те­ ория классических L-рядов Дирихле— Гекке становится зна­ чительно глубже и содержательнее, если ее погрузить в совре­ менную теорию автоморфных функций, т. е. трактовать эти ряды как коэффициенты Фурье рядов Эйзенштейна метаплектических групп.

Эта точка зрения оказалась весьма плодотворной в смысле появления новых подходов к старым проблемам. Если гово­ рить более конкретно, то я имею в виду две известные про­

коэффициент Фурье дает основной вклад в число представле­ ний т квадратичной формой.

А. Н. Андрианов высказал мысль, что было бы естественно ожидать аналогичных свойств от ряда Куботы по отношению к проблеме Баринга.

Иными словами, если построить ряд Куботы, комплексно­ аналитический в верхней полуплоскости, то он должен быть главной частью тета-функций высокой степени, а его т-й ко-

23

эффициеит Фурье должен давать основной вклад в число представлений т суммой п-х степеней.

Доказательство этого факта и будет составлять основу на­ стоящей статьи.

Для того чтобы предельно упростить техническую часть, мы

В показателе взято 2лі. вместо традиционного лі для того, чтобы можно было пользоваться свойствами полной модуляр­ ной группы Г.

Изучение свойств ряда (1) очень важно с точки зрения проблемы Варинга.

В основе связи тета-функций с рядами Куботы лежит эффект «экспоненциального провала за полюсом», т. е. если из тета-ря­

да (1) вычесть особенность в рациональной точке — , то остав-

с

шаяся часть будет экспоненциально убывать, когда

о“1w - * - і ОО,

где а £ Г и определяется условием

о

ш оо = — ,

с

іо о — параболическая вершина фундаментальной области Г.

Действительно, пусть &>•= — 4-е. Тогда тета-ряд (1) можно

Применим Фурье-преобразование к внутреннему ряду по х в (2) и приведем его к виду

где

24

В интеграле (3) ось интегрирования повернем вокруг нулевой

как было сказано выше. Иными словами, мы используем неэвк­ лидову геометрию верхней полуплоскости и свойства полной мо­ дулярной группы Г. Отсюда следует, что начальную перемен­ ную w можно взять в форме

нимает любое значение из фундаментальной области D группы Г. Поэтому

25

Отсюда видно, что если Imz-*-oo, т. е. е-^-0, то arge-s-n/2, иными словами, когда е —>-0, его аргумент не может быть близ­ ким ни к 0 , ни к я, т. е. выполняется именно то свойство, ко­ торое нужно для нетривиальной оценки интеграла (4). Этим свойством arg е мы будем существенно пользоваться в дальнейших преобразованиях интеграла (4). Прежде чем приступить к ним,

ѣ

ную положительную полуось. Вторую часть L из отрицательной полуплоскости пока оставим без изменений. Новый контур обо­ значим через Lv После этого проведем дугу окружности в ниж­ ней полуплоскости радиуса

26

Подставляя (7) и (8) в правую часть (5), получаем

Возводя равенство (9) в целую степень k 2ѣ-f-1, получаем

Ll/; X* " fl

где константа в символе О зависит от (k, /г) и

I

КNл—1

2с f N

Равенство (11) показывает, что для тета-функций высоких сте­ пеней действительно справедлив принцип «экспоненциального провала за полюсом».

Введем ряд Куботы—Эйзенштейна:

27

Гаусса степени п■ более естественна над полем Q(-j7l), чем

над Q. То же касается и характера степени п. В поле Q (у7” 1 )

он однозначен и имеет закон взаимности, что очень важно при доказательстве автоморфности ряда Куботы. Все эти важные свойства пропадают в поле Q. >

И в то же время для проблемы Баринга требуется именно ряд (12) над полем Q, но не над полем Q (у 1 ). Это связано с

тем, что из разрешимости проблемы Варпнга в поле Q (y^l) еще

скек/п

а

где со I — ) не зависит от е и явно вычисляется, а константа в

символе О зависит от (к, п).

Если же п делится на квадрат некоторого простого q, тогда равенство (13) усложняется, появляется логарифмический член:

28

Прежде чем приступить к ним, сделаем несколько замеча­

Равенство (15) показывает, что левая часть не может при­ надлежать пространству параболических форм. Поэтому ре­ шение проблемы Баринга на модулярном пути требует суще­ ственного дополнения классической техники параболических форм. На этом вопросе я остановлюсь более подробно после того, как будут получены равенства (13) и (14). Для этого разложим E(w, kin) в ряд Фурье

которое требует локальной разрешимости проблемы Баринга по всем р (см. [5]).

29