книги из ГПНТБ / Актуальные проблемы аналитической теории чисел [сборник]

если I А I > г.,7, где с.,7 — вычислимая величина, зависящая толь­ ко от f; g — степень поля разложения формы /.

вычислимая величина, зависящая только от f. Если известна

В частности, если известно, что А является степенью простогочисла, то это простое число должно иметь порядок степени логарифма |Л|.

Подобные утверждения верны также и для приводимых бинарных форм с естественным (необходимым) условием, что форма f имеет по крайней мере три различных корня [13].

Т е о р е м а 7. Если / — произвольная целочисленная би­ нарная форма, имеющая по крайней мере три различных кор­ ня, то вместо неравенства (27) имеем

требует иного перехода от приводимых форм к неприводимым, чем тот, который использован в работе [13]. Такой переход является непростым делом, так как в разложении произволь­ ной бинарной формы на неприводимые множители могут встретиться линейные и квадратичные формы, а для них утверждение типа теорем 5 или б не имеет места. В работе [13], делая такой переход, мы рассматривали уравнение типа

(3) в относительном поле, что выходит за пределы действия теоремы 6. Возможен другой переход, описанный в работе Малера [38].

В частности, все указанные выше неравенства справедливы для целочисленных многочленов, при этом (27) — для непри­ водимых многочленов не менее чем 2-й степени, а (30) — для любых многочленов, имеющих по крайней мере два различных корня (см. [3, 36, 54]).

Тот факт, что наибольший простой делитель квадратичного многочлена с двумя различными корнями неограниченно воз­

210

растает с ростом аргумента, был предсказан Гауссом и дока­ зан Пойа [52] неэффективным рассуждением. Зигель [56], также неэффективным рассуждением, доказал аналогичный факт для многочленов любой степени (не менее 2). Затем Малер [38], доказав, что уравнение (2) имеет лишь конечное число решений, получил подобное утверждение для бинарных форм, имеющих по крайней мере три различных корня. Одна­ ко установить скорость возрастания наибольшего простого делителя методами, примененными в этих работах, было в принципе невозможно в силу логической структуры этих ме­ тодов.

Малер [42] и Нагель [49] специальными методами для многочленов вида ах2± \ , ± 2 , ± 4 и ах3±1, ± 3 соответственно доказали неравенства вида (28). Это были первые эффектив­ ные оценки наибольшего простого делителя многочлена. Такое же неравенство с Сг8^3=2/7 получил Шницель [54] для любых квадратичных полиномов без кратного корня, а Китие [36] — для кубических полиномов. Но Китие вывел это нера­ венство как простое следствие из работы Бэйкера [26], т. е. его результат относится к новейшему периоду.

Во всех этих случаях поражает удивительное постоянство

циальных многочленов или форм? Если это неравенство не-

Конечно, это неравенство сильно отличается от (28) и неясно, какое из них ближе к истине.

Малер [43] доказал, что наибольший простой делитель мно­

211

Для доказательства этой теоремы Коутес [35] рассматривает уравнение

к уравнению вида. (3) методом Морделла [45, 48], и на осно­ вании теоремы 3 получается явная оценка для величины его' решений. Коутес [35] замечает, что этот результат позволяет решить важную задачу: эффективно определить все эллипти­ ческие кривые с заданным кондуктором.

Соображения, использованные для доказательства теоре­ мы 7, позволяют дать эффективное усиление теоремы Малера

онаибольшем простой делителе Р многочлена ахт-\-Ьуп\ для

Рверна оценка вида (31). В частности, показатель 1/4 в (32) можно заменить на 1/2. Как и в случае бинарных форм, здесьможно ожидать оценку вида (28). Дальнейшее улучшение,

в котором (и, ѵ) = 1. Так как дискриминант f равен 4k и по' абсолютной величине не превосходит 4 |Л |р 1 . . . рл, то форму / можно перевести унимодулярной подстановкой в форму высо­

212

Возможен и другой подход, основанный на разложении ле­

вой части (34) на два'линейных множителя в K = Q(]/"— А) с последующим разложением на простые идеалы в этом поле, что

gl через базис кольца целых чисел поля К, получим для Y

кольце целых рациональных чисел, а в кольце целых чисел квадратичного поля К.

Ясно, что второй подход более общий. Он позволяет анали­ зировать уравнения типа (33), в которых левая часть замене­ на многочленом вида ахт-\-Ьуп, и, следовательно, оценивать

допускают обобщения на случай уравнений с алгебраическими коэффициентами и относительно неизвестных, лежащих в. кольце целых чисел некоторого поля К> алгебраических чисел конечной степени. Мы уже замечали, что подобные уравнения возникают даже при анализе уравнений с целыми рациональ­ ными коэффициентами, как, например, (36). Построение яв­ ных границ для целых точек, лежащих на эллиптической кри­ вой f{x, у) = 0, где f{x,y) — целочисленный многочлен, для решений гиперэллиптического уравнения и других уравнений естественно приводит к рассмотрению обобщенного уравнения Туэ [27, 30].

Анализ обобщенного уравнения Туэ проводится по обыч­ ной схеме, в частности, годятся рассуждения, описанные в § 2. Обобщенное уравнение Малера (и Туэ — Малера) также ана­ лизируется по общей схеме, однако нужно привлечь новые технические приемы, если в основном поле есть хоть одна еди­

213.

чем 3-й степени с целыми алгебраическими коэффициентами из поля К и с отличным от нуля дискриминантом, 5 — любое фиксированное конечное множество простых идеалов поля К,

о конечности числа «решений», так как если пара х, у удовлет­ воряет (37), то любая ассоциированная с ней пара также удов­ летворяет (37). В частности, нельзя утверждать, что норма наи­

большего простого делителя f (,ѵ, у) возрастает с ростом max (|х| ,

|г/{), где |х[ для х g К обозначает максимум модуля величин, со­ пряженных с X (обобщение |х| дтя целых рациональных х).

Тем не менее обобщенное уравнение Туэ — Малера

где а, ссі, a.s — целые числа из К, («;) — степени простых идеалов, допускает эффективное определение всех его реше­ ний [6]. Исходным пунктом в анализе этого уравнения явля­ ется следующее замечание. Уравнение (38) есть частный слу­ чай уравнения

где £ — единица поля К (новая неизвестная). Это уравнение сво­ дится к уравнению вида (37). Анализируя последнее, можно до­ казать, что для каждого решения х, у, хъ .. ., zs уравнения (39) существует единица eg К с условием

нарные формы с алгебраическими коэффициентами [51.

214

Т е о р е м а 9. Пусть f = f (х, у )— бинарная форма не ме­ нее чем 5-й степени с целыми коэффициентами из поля К и не­ приводимая над К, а ф 0 — целое. Если х, у — любые целые чис­

зависящая от коэффициентов и степени формы f и от поля К, но не зависящая от N.

чем 5-й степени с целыми коэффициентами из К. и без кратных

В частности, эта теорема распространяется на многочлены с алгебраическими коэффициентами (у = 1). В неэффективной фор­ ме (без возможности вычислить нижнюю границу для Р) слу­ чай многочленов был рассмотрен Зигелем [56] в его диссерта­ ции.

§ 8. Связь с проблемой величины числа классов идеалов

где Сзв зависит только от п [37]. Известно также, что при лю­ бом п существует бесконечное множество полей К степени п с заданным числом вещественных (и комплексных) сопряжен­ ных полей, для которых

где Сз7>0 зависит только от п и е> 0 [17]. Следовательно, по­ казатель 1/2 в правой части (41) является, вообще говоря, иаилучшим. Однако неизвестно, существует ли бесконечное число полей ограниченной степени, для которых при какомлибо 6 ( 0 < 6 < 1/2)

(43)

215

Широко распространена гипотеза о том, что вещественных квадратичных полей с условием h — 1 бесконечное множество, а имеющиеся таблицы вещественных квадратичных полей, до­ статочно обширные, определенно указывают на то, что поля с Ji— 1 составляют «подавляющее большинство». Гаусс поста­ вил проблему статистического распределения дискриминантов вещественных квадратичных полей с одним классом идеалов в каждом роде и склонялся к тому, что таких полей бесконеч­ ное множество.

встречаются определители, обладающие в каждом роде толь­ ко одним классом; до сих про мы не можем ни теоретически •определить, ни индуктивно с достаточной уверенностью пред­ положить, обрываются ли совершенно в конце концов такие определители (что, однако, представляется мало вероятным), или они становятся по крайней мере бесконечно редкими, или же их частота все ближе подходит к постоянному преде­ лу» ([2], раздел 304).

Хотя еще классиками теории чисел (Дирихле, Куммер, Кронекер, Хассе и др.) было получено много результатов о числах классов, в частности явные формулы для их вычисле­ ния, фундаментальные вопросы, касающиеся как арифмети­ ческой структуры этих чисел, так и их величины, остаются не­ решенными.

Мы касаемся здесь этой труднейшей математической про­ блемы по той причине, что она тесно связана с проблемой по­ строения истинных границ для решений диофантовых уравне­ ний рассмотренного нами типа, а также более общих уравне­

а это значит, и от числа классов h поля К, так как в силу фор­

мулы Зигеля— Брауэра [7, 32, 58] 1п(/гй) ln|D| (|D|->oo),

при этом замена R величиной Сі9|0|Ѵгй_1(1п|Д|) "_1 в силу (19) оставляет неравенство (18) эффективным. Если h удовлетво­ ряет неравенству (42), то R можно заменить величиной поряд­ ка \D\S, следовательно, также величиной порядка Hf' . Приме­ нив эти соображения к уравнению x2n—Dy2n= ± 1, мы найдем, что если это уравнение, имеет нетривиальное решение, то

■основная единица квадратичного поля QQ/D) должна быть «не слишком большой», следовательно, число классов этого поля — «не слишком малым». Мы видим, таким образом, что теорема 2 показывает содержательную зависимость границ для решений уравнения Туэ от величины числа классов поля К.

216

В теореме 2 поле K = Q (0 ), где 0 — корень формы f- Между тем, как это видно из рассуждений, описанных в § 2„ можно оценивать границы для решений уравнения (1) через, параметры любого поля, содержащего Q (0),

Зависимость между величиной решений гиперэллиптиче­ ского уравнения f ( x ) — Ay2, где f(x) — целочисленный много­ член, имеющий по крайней мере три различных корня, и вели­ чиной чисел классов некоторых полей алгебраических чисел проявляется еще более отчетливо. Читателю, интересующему­ ся этой темой, мы рекомендуем статью [12], а здесь огра­ ничимся лишь несколькими замечаниями и формулировками.

Т е о р е м а 11. Свободное от квадратов ядро D(m) числа /(ш ), где j (х) — целочисленный многочлен, имеющий по край­

летворяют неравенству h.<Dö, оценивается величиной 0((ІпМ)а),

Всвязи с теоремами 11 и 12 заметим, что если неравенство

(44)допускает существенное усиление в том смысле, что по­ казатель в правой части (44) можно заменить произвольно

большим (фиксированным) числом, то в теореме 12 величину 0((1пМ )а) можно заменить на 0(1). Иными словами, тогда лишь конечное число полей К имеет число классов h ^ .D 6 с любым б, в частности, среди них будет лишь конечное число полей с одним классом идеалов в каждом роде. Точно так же

217

(44) является принципиально неулучшаемым, т. е. при некото­ ром В <оо для бесконечного множества т будет \D(m)\< < (ln |/n |)B, то существует бесконечное множество полей алгеб­ раических чисел степени не более 8/і.3, числа классов Іг и ди­ скриминанты D которых связаны неравенством /і<ІОІ1'2- 6, 6=

= (6В(2/і)9)-'.

Какая из этих двух исключающих одна другую возмож­ ностей имеет место на самом деле, автор не знает в настоящий момент. Конечно, первая возможность интереснее, и не только потому, что она открывает «совершенно неожиданный» факт, но и потому, что она дает достаточно полный результат. Вто­ рая возможность больше соответствует традиционному пред­ ставлению о величинах чисел классов. Она имела бы место, в частности, если бы неравенство (28) было неулучшаемым для какого-либо многочлена /(.ѵ), т. е. если бы существовало бесконечное множество таких целых т, что Я<£іІп1п|/и|, где В х не зависит от т: тогда

квадратичные поля, основные единицы которых не превосхо­ дят заданной границы, скажем ,ѵ>0, и среди таких полей оце­ нить число тех из них, у которых число классов и дискрими­ нант связаны неравенством h ^ .D 6. Эта задача легко решается,

Мы снова видим, что «подавляющее большинство» составля­ ют поля с большим числом классов, в частности «весьма ред­ ко» встречаются поля с одним классом идеалов в каждом роде. Мы предоставляем читателю возможность самому по­ размыслить над тем, как согласовать этот факт с упомянуты­ ми выше данными, полученными из рассмотрения таблиц ве­ щественных квадратичных полей. Заметим только, что если показатель 2/(1—26') в оценке Е6(х) не является наилучшим для б вблизи нуля, то дискриминанты полей с одним классом идеалов в каждом роде имеют нулевую асимптотическую плотность.

218

Для функции Е(х) справедливо асимптотическое разло­ жение

k=1

так что поля с большим числом классов составляют большин­ ство и в том случае, если брать основные единицы из интерва­ лов относительно малой длины.

Поля, о которых идет речь в теореме 13, рассматривалиАнкени, Брауэр и Чоула [17] и доказали, что среди них встре­ чается бесконечное множество таких, которые удовлетворяют (42). Мы видим, что «почти все» поля обладают этим свой­ ством, и есть шанс, что все, кроме конечного числа.

Фф *

Мы закончим наш краткий обзор несколькими замечания­ ми о смежных вопросах. Работам Бэйкера [24, 25] об эффек­ тивном анализе уравнения Туэ предшествовали его работы о рациональных приближениях к специальным алгебраическим числам и об эффективных границах для решений специальных уравнений вида ахп-\-Ьуп= с [18, 19]. Метод, примененный в этих работах, существенно отличается от того, который был использован в анализе общего уравнения и который мы опи­ сали в § 2. Хотя он применим к узкому классу уравнений, но дает более сильные результаты. Вероятно, его можно исполь­ зовать для эффективного построения полей алгебраических чисел с «весьма большим» числом клаосов идеалов.

На международной конференции в Обервольфахе (ФРГ, июль 1972 г.) Старк [62] сообщил интересную оценку для ре­ шений уравнения (1):

max (I X|, I у I) < ехр { сзя [(In \A\~- ln Hf -f D1/2) D'/2]'+e},

где c39 эффективно определяется через п и е > 0; D — абсолют­ ная величина дискриминанта поля K = Q (0 ); Ѳ — корень многочлена f(x, 1). В качестве следствия он получил оценку

219