
книги из ГПНТБ / Актуальные проблемы аналитической теории чисел [сборник]
..pdfесли I А I > г.,7, где с.,7 — вычислимая величина, зависящая толь ко от f; g — степень поля разложения формы /.
Так как |
по неравенству Чебышева можно оценить s величи |
||||
ной порядка |
P' ln Р, |
то из |
(27) |
следует |
|
|
|
Р > |
с№ln ln X, |
(28) |
|
где Р — наибольший |
простой |
делитель A — f(x, |
у) \ с28>0 — |
вычислимая величина, зависящая только от f. Если известна
какая-либо определенная |
информация об s (скажем, |
s = l |
пли 2), то неравенство (27) дает много больше, чем (28): |
|
|
Р > (ln |
I А |
(29). |
В частности, если известно, что А является степенью простогочисла, то это простое число должно иметь порядок степени логарифма |Л|.
Подобные утверждения верны также и для приводимых бинарных форм с естественным (необходимым) условием, что форма f имеет по крайней мере три различных корня [13].
Т е о р е м а 7. Если / — произвольная целочисленная би нарная форма, имеющая по крайней мере три различных кор ня, то вместо неравенства (27) имеем
s~ ln Р > с29 ln ln I Л I |
(| Л і > |
10), |
(30) |
где с,9 > 0 — вычислимая величина, |
зависящая только от /. |
||
Следовательно, в общем случае имеем вместо (28) |
|
||
Р > с30 (ln ln X • ln ln ln X)1/2 . |
|
(31) |
|
Вероятно, это неравенство можно усилить до |
(28), |
но это по |
требует иного перехода от приводимых форм к неприводимым, чем тот, который использован в работе [13]. Такой переход является непростым делом, так как в разложении произволь ной бинарной формы на неприводимые множители могут встретиться линейные и квадратичные формы, а для них утверждение типа теорем 5 или б не имеет места. В работе [13], делая такой переход, мы рассматривали уравнение типа
(3) в относительном поле, что выходит за пределы действия теоремы 6. Возможен другой переход, описанный в работе Малера [38].
В частности, все указанные выше неравенства справедливы для целочисленных многочленов, при этом (27) — для непри водимых многочленов не менее чем 2-й степени, а (30) — для любых многочленов, имеющих по крайней мере два различных корня (см. [3, 36, 54]).
Тот факт, что наибольший простой делитель квадратичного многочлена с двумя различными корнями неограниченно воз
210
растает с ростом аргумента, был предсказан Гауссом и дока зан Пойа [52] неэффективным рассуждением. Зигель [56], также неэффективным рассуждением, доказал аналогичный факт для многочленов любой степени (не менее 2). Затем Малер [38], доказав, что уравнение (2) имеет лишь конечное число решений, получил подобное утверждение для бинарных форм, имеющих по крайней мере три различных корня. Одна ко установить скорость возрастания наибольшего простого делителя методами, примененными в этих работах, было в принципе невозможно в силу логической структуры этих ме тодов.
Малер [42] и Нагель [49] специальными методами для многочленов вида ах2± \ , ± 2 , ± 4 и ах3±1, ± 3 соответственно доказали неравенства вида (28). Это были первые эффектив ные оценки наибольшего простого делителя многочлена. Такое же неравенство с Сг8^3=2/7 получил Шницель [54] для любых квадратичных полиномов без кратного корня, а Китие [36] — для кубических полиномов. Но Китие вывел это нера венство как простое следствие из работы Бэйкера [26], т. е. его результат относится к новейшему периоду.
Во всех этих случаях поражает удивительное постоянство
результата: несмотря на различные подходы к задаче — ре |
||
зультат один, неравенство (28). Возникает |
естественный |
во |
прос: можно ли улучшить неравенство (28) |
хотя бы для |
спе |
циальных многочленов или форм? Если это неравенство не-
улучшаемо хотя |
бы для какого-нибудь многочлена, |
то полу |
||
чаются интересные и важные выводы в, проблеме |
величины |
|||
чисел классов идеалов алгебраических полей (см. § 8). |
|
|||
Для многочленов вида ах71-\-Ь Шинцель [54] |
установил, |
|||
что неравенство |
|
|
|
|
где Сзі зависит |
только от п, выполняется |
бесконечно |
часто. |
|
Таким образом, |
P<.c32Xe при любом е> 0 |
бесконечно |
часто. |
Конечно, это неравенство сильно отличается от (28) и неясно, какое из них ближе к истине.
Малер [43] доказал, что наибольший простой делитель мно
гочлена ах1’1+ |
by'1 (т > 2 , |
п > |
3, а у= О, b = |
0 — целые) |
не |
||||
ограниченно возрастает при |
X = |
max (| х |, |
|у])-ѵ оо, где х, |
у — |
|||||
взаимно простые целые. Коутес [35] дал эффективное |
усиление |
||||||||
этой теоремы в случае т = |
2, п = 3, |
а = |
— b = |
1. |
наиболь |
||||
Т е о р е м а |
8. |
Если х, |
у — целые, |
(х, |
у) = |
1, то |
|||
ший простой делитель числа х3 — уг не меньше |
|
|
|
||||||
|
|
ІО“ 3 (ln ln Х)т , |
|
|
|
(32) |
|||
где X = m ax(|x|, |
|г/|) > 10. |
|
|
|
|
|
|
211
Для доказательства этой теоремы Коутес [35] рассматривает уравнение
л-3 — у0- = i4pf» |
. . . pf», |
(33> |
где .V, у, г і ^ О , zs^ 0 — неизвестные; /1=Л=0— целое, |
рь ... |
|
..., ps — различные простые числа. |
Такое уравнение сводится |
к уравнению вида. (3) методом Морделла [45, 48], и на осно вании теоремы 3 получается явная оценка для величины его' решений. Коутес [35] замечает, что этот результат позволяет решить важную задачу: эффективно определить все эллипти ческие кривые с заданным кондуктором.
Соображения, использованные для доказательства теоре мы 7, позволяют дать эффективное усиление теоремы Малера
онаибольшем простой делителе Р многочлена ахт-\-Ьуп\ для
Рверна оценка вида (31). В частности, показатель 1/4 в (32) можно заменить на 1/2. Как и в случае бинарных форм, здесьможно ожидать оценку вида (28). Дальнейшее улучшение,
если оно возможно, является сложным |
делом. |
|
|
||||||||
В заключение поясним, |
как |
уравнение |
|
(33), в котором |
|||||||
(.V, у) = \, сводится к уравнению |
Малера |
(2) с кубической |
|||||||||
формой /. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как заметил Морделл [45, 48], все решения уравнения |
|||||||||||
|
X2 + kY2 = Z3, |
(X, |
Z) = |
1, |
|
(34) |
|||||
получаются по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X = |
-^-G («, ѵ), |
Y = f (и, |
v), |
Z = |
H (и, v), |
|
(35) |
||||
где и, V —целые; |
f — целочисленная бинарная кубическая |
фор |
|||||||||
ма дискриминанта |
4k\ G (и, |
ѵ) и Я (и, о) — кубический |
и квад |
||||||||
ратичный коварианты этой формы. |
|
|
|
|
|
0 < z". < |
|
|
|||
Переходя |
к (33), положим z;- = |
2z'. -f- z", |
|
2 |
(1 .<1 |
||||||
< i < s), k = |
Ap*1 .. . р Д |
X = y, |
Y = |
р,г' |
. .. р Д |
Z = X . |
|||||
Мы видим, что выполняется (34). |
В |
силу |
(35) |
получаем |
урав |
||||||
нение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(u, V) |
= р,*1 . . . р Д |
|
|
|
|
|
в котором (и, ѵ) = 1. Так как дискриминант f равен 4k и по' абсолютной величине не превосходит 4 |Л |р 1 . . . рл, то форму / можно перевести унимодулярной подстановкой в форму высо
ты |
не более 2 ([Л |р 1 |
. . . ps)1/2 |
(см. [25]). Определяя через эту |
величину границы для |
\и\, |о |, |
из (35) получаем границы для |
|
И - |
І1/І- |
|
|
212
Возможен и другой подход, основанный на разложении ле
вой части (34) на два'линейных множителя в K = Q(]/"— А) с последующим разложением на простые идеалы в этом поле, что
дает X -j- Y \ r — k |
= XI3, где X — число |
поля |
К, |
определяемое |
через А; I — неопределенное число из |
этого |
поля, при этом |
||
gl — целое, где g |
определяется через |
А. Взяв |
представление |
gl через базис кольца целых чисел поля К, получим для Y
представление |
бинарной кубической формой [14]. Можно ограни |
|||||
читься |
представлением |
|
|
|
||
|
|
|
2g*Y V = k = |
X (gif - |
X' (gl')3, |
(36) |
где |
X', |
l' — сопряженные с X, |
Это уравнение того же |
типа |
||
что |
и |
(3), но |
его коэффициенты и |
неизвестные лежат |
не в |
кольце целых рациональных чисел, а в кольце целых чисел квадратичного поля К.
Ясно, что второй подход более общий. Он позволяет анали зировать уравнения типа (33), в которых левая часть замене на многочленом вида ахт-\-Ьуп, и, следовательно, оценивать
снизу наибольший |
простой |
делитель такого многочлена. |
§ 7. Обобщения |
на относительные поля |
|
Рассмотренные |
нами теоремы об уравнениях (1) — (3) |
допускают обобщения на случай уравнений с алгебраическими коэффициентами и относительно неизвестных, лежащих в. кольце целых чисел некоторого поля К> алгебраических чисел конечной степени. Мы уже замечали, что подобные уравнения возникают даже при анализе уравнений с целыми рациональ ными коэффициентами, как, например, (36). Построение яв ных границ для целых точек, лежащих на эллиптической кри вой f{x, у) = 0, где f{x,y) — целочисленный многочлен, для решений гиперэллиптического уравнения и других уравнений естественно приводит к рассмотрению обобщенного уравнения Туэ [27, 30].
Анализ обобщенного уравнения Туэ проводится по обыч ной схеме, в частности, годятся рассуждения, описанные в § 2. Обобщенное уравнение Малера (и Туэ — Малера) также ана лизируется по общей схеме, однако нужно привлечь новые технические приемы, если в основном поле есть хоть одна еди
ница бесконечного порядка. |
|
|
достаточно ярко, |
||||
Особенность этого явления выражается |
|||||||
если попытаться доказать аналоги теорем |
5—7 |
для относи |
|||||
тельных полей. То, что такие аналоги имеют место, |
следует |
||||||
из обобщения |
результатов |
Малера |
[38] |
на относительные |
|||
поля (Парри [50, 51]). |
В частности, |
методом |
Туэ — Зигеля |
||||
доказывается, |
что если |
f(x, |
у) — бинарная |
форма |
не менее |
213.
чем 3-й степени с целыми алгебраическими коэффициентами из поля К и с отличным от нуля дискриминантом, 5 — любое фиксированное конечное множество простых идеалов поля К,
а Ф 0 — целое, то существует лишь |
конечное |
множество ие- |
|||||||||||
ассоциированных |
пар |
целых |
чисел х, у |
из |
К, для которых |
||||||||
f(x, у) делится только на простые идеалы |
pgS, |
(х, у)\а |
[51]. |
||||||||||
Иными |
словами, |
если |
pi,..., |
ps — простые идеалы из S, то |
|||||||||
уравнение |
|
У)) = 1і‘ |
|
|
(-V, у) I а, |
|
|
|
|
||||
|
|
(/ (*, |
• ■• Ps1- |
|
|
|
(37) |
||||||
в |
целых |
.V, у g К |
и |
целых |
рациональных |
|
'' 0, . . . , |
г3ф О |
|||||
имеет лишь конечное число решений, |
если |
не |
различать |
пары |
|||||||||
л, |
у, отличающиеся |
на алгебраическую единицу |
из |
К- |
Ясно, |
||||||||
что последнее условие является |
существенным |
для |
заключения |
о конечности числа «решений», так как если пара х, у удовлет воряет (37), то любая ассоциированная с ней пара также удов летворяет (37). В частности, нельзя утверждать, что норма наи
большего простого делителя f (,ѵ, у) возрастает с ростом max (|х| ,
|г/{), где |х[ для х g К обозначает максимум модуля величин, со пряженных с X (обобщение |х| дтя целых рациональных х).
Тем не менее обобщенное уравнение Туэ — Малера
f (х, у) ^ аа\' . . . |
а(>, (х, у) \ а, |
(38) |
где а, ссі, a.s — целые числа из К, («;) — степени простых идеалов, допускает эффективное определение всех его реше ний [6]. Исходным пунктом в анализе этого уравнения явля ется следующее замечание. Уравнение (38) есть частный слу чай уравнения
/ (х, у) = ІааѴ . . . |
ats, (х, у) \ а, |
(39) |
где £ — единица поля К (новая неизвестная). Это уравнение сво дится к уравнению вида (37). Анализируя последнее, можно до казать, что для каждого решения х, у, хъ .. ., zs уравнения (39) существует единица eg К с условием
|
max (jex|, |ег/І, |
zly . . ., |
zs) < с33, |
|
|
|
(40) |
||
где |
с33 — эффективно |
определяемая |
величина, |
зависящая |
от |
||||
Nm(a), Nm(a1), . . . , Nm(ag), |
от коэффициентов |
и степени фор |
|||||||
мы /(х, у), а также от |
поля |
К. |
В частности, |
мы |
видим, |
что |
|||
для показателей zlt . . ., zs в |
(38) |
существует |
лишь |
конечное |
|||||
число |
возможностей. Следовательно, это уравнение |
сводится к |
|||||||
конечному числу обобщенных уравнений Туэ, откуда |
выводится |
||||||||
граница для тах(|х|, |у)). |
|
|
неравенства |
(28) на |
би |
||||
Таким путем получается обобщение |
нарные формы с алгебраическими коэффициентами [51.
214
Т е о р е м а 9. Пусть f = f (х, у )— бинарная форма не ме нее чем 5-й степени с целыми коэффициентами из поля К и не приводимая над К, а ф 0 — целое. Если х, у — любые целые чис
ла |
поля К с условием (х, у)\а, |
Р — наибольшее простое число- |
|
с |
условием (/ (х, у), Р )ф 1, |
то Р > сЗІ ln ln N, |
где N = |
= |
max(!Nm (а') |, !Nm (у)\)— эффективно определяемая |
величина, |
зависящая от коэффициентов и степени формы f и от поля К, но не зависящая от N.
Из |
предыдущих рассуждений ясно, |
почему в этой теореме |
|||
величина Р связывается с нормами чисел х, у, а не с |
шах (|.\'| , |
||||
|(/|). В |
связи |
с этим интересно |
отметить |
следующий |
результат |
Котова |
[4]. |
10. Пусть f(x, |
у )— бинарная форма |
не менее |
|
Т е о р е м а |
чем 5-й степени с целыми коэффициентами из К. и без кратных
корней. |
Если X, у — любые целые числа из |
К |
с условием |
\у\ N |
||
-С|.ѵ|І—е, |
где Е— произвольное фиксированное число из интервала |
|||||
(0, 1), f (х, у) Ф 0, Р — наибольшее |
простое |
число |
с условием |
|||
(Ңх, у), |
Р)Ф 1, то Р > сТаln ln (|л'[ |
10), |
где с35> |
0 — эффек |
||
тивно определяемая величина, зависящая |
от |
коэффициентов и |
||||
степени формы f, от поля К а от е, но не |
зависящая |
от х. |
В частности, эта теорема распространяется на многочлены с алгебраическими коэффициентами (у = 1). В неэффективной фор ме (без возможности вычислить нижнюю границу для Р) слу чай многочленов был рассмотрен Зигелем [56] в его диссерта ции.
§ 8. Связь с проблемой величины числа классов идеалов
Пусть |
К — поле алгебраических чисел степени п, h и -D — |
|
его число |
классов и дискриминант. Известно, что |
|
|
/ K c 36)D|1/2(ln|Di)'1- 1, |
(41) |
где Сзв зависит только от п [37]. Известно также, что при лю бом п существует бесконечное множество полей К степени п с заданным числом вещественных (и комплексных) сопряжен ных полей, для которых
h > c 31[Dl1- - 8 |
(42) |
где Сз7>0 зависит только от п и е> 0 [17]. Следовательно, по казатель 1/2 в правой части (41) является, вообще говоря, иаилучшим. Однако неизвестно, существует ли бесконечное число полей ограниченной степени, для которых при какомлибо 6 ( 0 < 6 < 1/2)
(43)
215
Широко распространена гипотеза о том, что вещественных квадратичных полей с условием h — 1 бесконечное множество, а имеющиеся таблицы вещественных квадратичных полей, до статочно обширные, определенно указывают на то, что поля с Ji— 1 составляют «подавляющее большинство». Гаусс поста вил проблему статистического распределения дискриминантов вещественных квадратичных полей с одним классом идеалов в каждом роде и склонялся к тому, что таких полей бесконеч ное множество.
«Было бы красивой и достойной |
внимания |
математиков |
задачей — определить, по какому |
закону все |
реже и реже |
встречаются определители, обладающие в каждом роде толь ко одним классом; до сих про мы не можем ни теоретически •определить, ни индуктивно с достаточной уверенностью пред положить, обрываются ли совершенно в конце концов такие определители (что, однако, представляется мало вероятным), или они становятся по крайней мере бесконечно редкими, или же их частота все ближе подходит к постоянному преде лу» ([2], раздел 304).
Хотя еще классиками теории чисел (Дирихле, Куммер, Кронекер, Хассе и др.) было получено много результатов о числах классов, в частности явные формулы для их вычисле ния, фундаментальные вопросы, касающиеся как арифмети ческой структуры этих чисел, так и их величины, остаются не решенными.
Мы касаемся здесь этой труднейшей математической про блемы по той причине, что она тесно связана с проблемой по строения истинных границ для решений диофантовых уравне ний рассмотренного нами типа, а также более общих уравне
ний, но сводящихся к рассмотренным |
[11, 12]. |
Например, |
из теоремы 2 следует, что границы для решений |
уравнения |
|
Туэ существенно зависят от величины |
регулятора |
R поля К, |
а это значит, и от числа классов h поля К, так как в силу фор
мулы Зигеля— Брауэра [7, 32, 58] 1п(/гй) ln|D| (|D|->oo),
при этом замена R величиной Сі9|0|Ѵгй_1(1п|Д|) "_1 в силу (19) оставляет неравенство (18) эффективным. Если h удовлетво ряет неравенству (42), то R можно заменить величиной поряд ка \D\S, следовательно, также величиной порядка Hf' . Приме нив эти соображения к уравнению x2n—Dy2n= ± 1, мы найдем, что если это уравнение, имеет нетривиальное решение, то
■основная единица квадратичного поля QQ/D) должна быть «не слишком большой», следовательно, число классов этого поля — «не слишком малым». Мы видим, таким образом, что теорема 2 показывает содержательную зависимость границ для решений уравнения Туэ от величины числа классов поля К.
216
В теореме 2 поле K = Q (0 ), где 0 — корень формы f- Между тем, как это видно из рассуждений, описанных в § 2„ можно оценивать границы для решений уравнения (1) через, параметры любого поля, содержащего Q (0),
Зависимость между величиной решений гиперэллиптиче ского уравнения f ( x ) — Ay2, где f(x) — целочисленный много член, имеющий по крайней мере три различных корня, и вели чиной чисел классов некоторых полей алгебраических чисел проявляется еще более отчетливо. Читателю, интересующему ся этой темой, мы рекомендуем статью [12], а здесь огра ничимся лишь несколькими замечаниями и формулировками.
Т е о р е м а 11. Свободное от квадратов ядро D(m) числа /(ш ), где j (х) — целочисленный многочлен, имеющий по край
ней мере три простых |
корня, т Ф 0 — целое, |
удовлетворяет |
||||||
неравенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р('Щ\ > Сз8(1п|/н|)(2"гѵз , |
|
|
|
(44) |
|
где с33 > 0 — величина, |
эффективно определяемая |
через |
высоту |
|||||
и степень п многочлена / (х). |
|
|
много |
|||||
Т е о р е м а |
12. |
Пусть g (x )— такой целочисленный |
||||||
член, что g- (х) — 1 |
имеет по крайней мере три |
простых кор |
||||||
ня, |
D = D(m) — свободное от квадратов ядро числа |
g2(m) — 1 |
||||||
при |
целом т у |
0, |
б — произвольное число интервала |
(0, |
1/2), |
|||
М. > 0 — целое. Число тех целых т интервала 1 ф т У. М, |
для |
|||||||
которых числа классов идеалов h = hK полей К = Q (V"Щ |
удов |
летворяют неравенству h.<Dö, оценивается величиной 0((ІпМ)а),
а = |
2 (10 (4/г)1 |
2 |
1)/(1— 26'), |
п — степень |
g (х), б' — любое чис |
|||||
ло с условием б < |
б' < |
1/2. |
|
|
целое, |
ах, . . . |
||||
Т е о р е м а |
13. |
Пусть п . у Ъ — произвольное |
||||||||
•••> ап~і — произвольные различные целые числа, |
М т >- 0 — |
|||||||||
целые, |
fm (х) = (х — ах) . . . (х — ап_х) (л- — т) -f 1. |
Пусть |
Кт — |
|||||||
поле |
|
алгебраических |
чисел, |
порожденное |
корнем многочлена |
|||||
fm(x), |
D = Dm и h = hm— его дискриминант и |
число |
классов, |
|||||||
б — произвольное число интервала (0, 1/2). Тогда |
число тех т, |
|||||||||
для |
которых hm~<\Dm\6 , оценивается величиной О((In /И)Р), где |
|||||||||
ß = |
20 (224 (п — I)12 -(- 1) (п — 1)/(1 — 26'), б' — любое число |
с ус |
||||||||
ловием б < б' < |
1/2. |
|
|
|
|
|
|
Всвязи с теоремами 11 и 12 заметим, что если неравенство
(44)допускает существенное усиление в том смысле, что по казатель в правой части (44) можно заменить произвольно
большим (фиксированным) числом, то в теореме 12 величину 0((1пМ )а) можно заменить на 0(1). Иными словами, тогда лишь конечное число полей К имеет число классов h ^ .D 6 с любым б, в частности, среди них будет лишь конечное число полей с одним классом идеалов в каждом роде. Точно так же
217
в теореме |
13 величину О ((1 пМ) (*) |
можно будет заменить на |
0 ( 1). |
|
|
Если же существует хотя бы один многочлен f(x), удовлет |
||
воряющий |
условиям теоремы 11 |
и для которого неравенство |
(44) является принципиально неулучшаемым, т. е. при некото ром В <оо для бесконечного множества т будет \D(m)\< < (ln |/n |)B, то существует бесконечное множество полей алгеб раических чисел степени не более 8/і.3, числа классов Іг и ди скриминанты D которых связаны неравенством /і<ІОІ1'2- 6, 6=
= (6В(2/і)9)-'.
Какая из этих двух исключающих одна другую возмож ностей имеет место на самом деле, автор не знает в настоящий момент. Конечно, первая возможность интереснее, и не только потому, что она открывает «совершенно неожиданный» факт, но и потому, что она дает достаточно полный результат. Вто рая возможность больше соответствует традиционному пред ставлению о величинах чисел классов. Она имела бы место, в частности, если бы неравенство (28) было неулучшаемым для какого-либо многочлена /(.ѵ), т. е. если бы существовало бесконечное множество таких целых т, что Я<£іІп1п|/и|, где В х не зависит от т: тогда
I D (т) I < |
П |
р < |
ехр (В ln ln \ш j) = (ln | m |)ß . |
|
p<B iln] n;m| |
|
|
Теорема 12 наводит |
на |
мысль рассмотреть вещественные |
квадратичные поля, основные единицы которых не превосхо дят заданной границы, скажем ,ѵ>0, и среди таких полей оце нить число тех из них, у которых число классов и дискрими нант связаны неравенством h ^ .D 6. Эта задача легко решается,
и результат аналогичен теореме 12 |
[14]: если Е(х) — число |
основных единиц, не превосходящих |
х. Ее(х) — число тех из |
них, которые порождают поля с h ^ D 6, то |
|
Е (X) = 2х -г О (х'/2), Е6(.г) - |
О ((In .ѵГ/(1- 26 )). |
Мы снова видим, что «подавляющее большинство» составля ют поля с большим числом классов, в частности «весьма ред ко» встречаются поля с одним классом идеалов в каждом роде. Мы предоставляем читателю возможность самому по размыслить над тем, как согласовать этот факт с упомянуты ми выше данными, полученными из рассмотрения таблиц ве щественных квадратичных полей. Заметим только, что если показатель 2/(1—26') в оценке Е6(х) не является наилучшим для б вблизи нуля, то дискриминанты полей с одним классом идеалов в каждом роде имеют нулевую асимптотическую плотность.
218
Для функции Е(х) справедливо асимптотическое разло жение
k=1
так что поля с большим числом классов составляют большин ство и в том случае, если брать основные единицы из интерва лов относительно малой длины.
Поля, о которых идет речь в теореме 13, рассматривалиАнкени, Брауэр и Чоула [17] и доказали, что среди них встре чается бесконечное множество таких, которые удовлетворяют (42). Мы видим, что «почти все» поля обладают этим свой ством, и есть шанс, что все, кроме конечного числа.
Фф *
Мы закончим наш краткий обзор несколькими замечания ми о смежных вопросах. Работам Бэйкера [24, 25] об эффек тивном анализе уравнения Туэ предшествовали его работы о рациональных приближениях к специальным алгебраическим числам и об эффективных границах для решений специальных уравнений вида ахп-\-Ьуп= с [18, 19]. Метод, примененный в этих работах, существенно отличается от того, который был использован в анализе общего уравнения и который мы опи сали в § 2. Хотя он применим к узкому классу уравнений, но дает более сильные результаты. Вероятно, его можно исполь зовать для эффективного построения полей алгебраических чисел с «весьма большим» числом клаосов идеалов.
На международной конференции в Обервольфахе (ФРГ, июль 1972 г.) Старк [62] сообщил интересную оценку для ре шений уравнения (1):
max (I X|, I у I) < ехр { сзя [(In \A\~- ln Hf -f D1/2) D'/2]'+e},
где c39 эффективно определяется через п и е > 0; D — абсолют ная величина дискриминанта поля K = Q (0 ); Ѳ — корень многочлена f(x, 1). В качестве следствия он получил оценку
max (j а- I, |
I у I) < |
сіоет 1+8 |
|
(4 5) |
||
для решений уравнения х3 — уп- ~ |
k |
(с40 эффективно определяет |
||||
ся через е > 0 ) , что сильнее |
результата Бэйкера |
[25]. |
|
|||
Большинство рассмотренных |
нами |
теорем |
получает су |
|||
щественное усиление, если |
верна |
|
следующая |
гипотеза |
[12]: |
|
Всякое поле алгебраических чисел К |
степени |
п > 2 |
можно |
|||
погрузить в такое поле алгебраических чисел L, что степень L |
||||||
над К не превышает сп , а регулятор R L поля |
L и дискрими |
|||||
нант DK поля К связаны неравенством R L < с431DK|E, |
где са |
|||||
зависит только от п, сі2 — от п и е. |
|
|
|
219