Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Актуальные проблемы аналитической теории чисел [сборник]

..pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
24.10.2023
Размер:
11.95 Mб
Скачать

если I А I > г.,7, где с.,7 — вычислимая величина, зависящая толь­ ко от f; g степень поля разложения формы /.

Так как

по неравенству Чебышева можно оценить s величи­

ной порядка

P' ln Р,

то из

(27)

следует

 

 

 

Р >

с№ln ln X,

(28)

где Р — наибольший

простой

делитель A — f(x,

у) \ с28>0 —

вычислимая величина, зависящая только от f. Если известна

какая-либо определенная

информация об s (скажем,

s = l

пли 2), то неравенство (27) дает много больше, чем (28):

 

Р > (ln

I А

(29).

В частности, если известно, что А является степенью простогочисла, то это простое число должно иметь порядок степени логарифма |Л|.

Подобные утверждения верны также и для приводимых бинарных форм с естественным (необходимым) условием, что форма f имеет по крайней мере три различных корня [13].

Т е о р е м а 7. Если / — произвольная целочисленная би­ нарная форма, имеющая по крайней мере три различных кор­ ня, то вместо неравенства (27) имеем

s~ ln Р > с29 ln ln I Л I

(| Л і >

10),

(30)

где с,9 > 0 — вычислимая величина,

зависящая только от /.

Следовательно, в общем случае имеем вместо (28)

 

Р > с30 (ln ln X • ln ln ln X)1/2 .

 

(31)

Вероятно, это неравенство можно усилить до

(28),

но это по­

требует иного перехода от приводимых форм к неприводимым, чем тот, который использован в работе [13]. Такой переход является непростым делом, так как в разложении произволь­ ной бинарной формы на неприводимые множители могут встретиться линейные и квадратичные формы, а для них утверждение типа теорем 5 или б не имеет места. В работе [13], делая такой переход, мы рассматривали уравнение типа

(3) в относительном поле, что выходит за пределы действия теоремы 6. Возможен другой переход, описанный в работе Малера [38].

В частности, все указанные выше неравенства справедливы для целочисленных многочленов, при этом (27) — для непри­ водимых многочленов не менее чем 2-й степени, а (30) — для любых многочленов, имеющих по крайней мере два различных корня (см. [3, 36, 54]).

Тот факт, что наибольший простой делитель квадратичного многочлена с двумя различными корнями неограниченно воз­

210

растает с ростом аргумента, был предсказан Гауссом и дока­ зан Пойа [52] неэффективным рассуждением. Зигель [56], также неэффективным рассуждением, доказал аналогичный факт для многочленов любой степени (не менее 2). Затем Малер [38], доказав, что уравнение (2) имеет лишь конечное число решений, получил подобное утверждение для бинарных форм, имеющих по крайней мере три различных корня. Одна­ ко установить скорость возрастания наибольшего простого делителя методами, примененными в этих работах, было в принципе невозможно в силу логической структуры этих ме­ тодов.

Малер [42] и Нагель [49] специальными методами для многочленов вида ах2± \ , ± 2 , ± 4 и ах3±1, ± 3 соответственно доказали неравенства вида (28). Это были первые эффектив­ ные оценки наибольшего простого делителя многочлена. Такое же неравенство с Сг8^3=2/7 получил Шницель [54] для любых квадратичных полиномов без кратного корня, а Китие [36] — для кубических полиномов. Но Китие вывел это нера­ венство как простое следствие из работы Бэйкера [26], т. е. его результат относится к новейшему периоду.

Во всех этих случаях поражает удивительное постоянство

результата: несмотря на различные подходы к задаче — ре­

зультат один, неравенство (28). Возникает

естественный

во­

прос: можно ли улучшить неравенство (28)

хотя бы для

спе­

циальных многочленов или форм? Если это неравенство не-

улучшаемо хотя

бы для какого-нибудь многочлена,

то полу­

чаются интересные и важные выводы в, проблеме

величины

чисел классов идеалов алгебраических полей (см. § 8).

 

Для многочленов вида ах71-\-Ь Шинцель [54]

установил,

что неравенство

 

 

 

 

где Сзі зависит

только от п, выполняется

бесконечно

часто.

Таким образом,

P<.c32Xe при любом е> 0

бесконечно

часто.

Конечно, это неравенство сильно отличается от (28) и неясно, какое из них ближе к истине.

Малер [43] доказал, что наибольший простой делитель мно­

гочлена ах1’1+

by'1 (т > 2 ,

п >

3, а у= О, b =

0 — целые)

не­

ограниченно возрастает при

X =

max (| х |,

|у])-ѵ оо, где х,

у

взаимно простые целые. Коутес [35] дал эффективное

усиление

этой теоремы в случае т =

2, п = 3,

а =

b =

1.

наиболь­

Т е о р е м а

8.

Если х,

у целые,

(х,

у) =

1, то

ший простой делитель числа х3 — уг не меньше

 

 

 

 

 

ІО“ 3 (ln ln Х)т ,

 

 

 

(32)

где X = m ax(|x|,

|г/|) > 10.

 

 

 

 

 

 

211

Для доказательства этой теоремы Коутес [35] рассматривает уравнение

л-3 — у0- = i4pf»

. . . pf»,

(33>

где .V, у, г і ^ О , zs^ 0 — неизвестные; /1=Л=0— целое,

рь ...

..., ps — различные простые числа.

Такое уравнение сводится

к уравнению вида. (3) методом Морделла [45, 48], и на осно­ вании теоремы 3 получается явная оценка для величины его' решений. Коутес [35] замечает, что этот результат позволяет решить важную задачу: эффективно определить все эллипти­ ческие кривые с заданным кондуктором.

Соображения, использованные для доказательства теоре­ мы 7, позволяют дать эффективное усиление теоремы Малера

онаибольшем простой делителе Р многочлена ахт-\-Ьуп\ для

Рверна оценка вида (31). В частности, показатель 1/4 в (32) можно заменить на 1/2. Как и в случае бинарных форм, здесьможно ожидать оценку вида (28). Дальнейшее улучшение,

если оно возможно, является сложным

делом.

 

 

В заключение поясним,

как

уравнение

 

(33), в котором

(.V, у) = \, сводится к уравнению

Малера

(2) с кубической

формой /.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как заметил Морделл [45, 48], все решения уравнения

 

X2 + kY2 = Z3,

(X,

Z) =

1,

 

(34)

получаются по формулам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

-^-G («, ѵ),

Y = f (и,

v),

Z =

H (и, v),

 

(35)

где и, V —целые;

f — целочисленная бинарная кубическая

фор­

ма дискриминанта

4k\ G (и,

ѵ) и Я (и, о) — кубический

и квад­

ратичный коварианты этой формы.

 

 

 

 

 

0 < z". <

 

 

Переходя

к (33), положим z;- =

2z'. -f- z",

 

2

(1 .<1

< i < s), k =

Ap*1 .. . р Д

X = y,

Y =

р,г'

. .. р Д

Z = X .

Мы видим, что выполняется (34).

В

силу

(35)

получаем

урав­

нение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(u, V)

= р,*1 . . . р Д

 

 

 

 

 

в котором (и, ѵ) = 1. Так как дискриминант f равен 4k и по' абсолютной величине не превосходит 4 |Л |р 1 . . . рл, то форму / можно перевести унимодулярной подстановкой в форму высо­

ты

не более 2 ([Л |р 1

. . . ps)1/2

(см. [25]). Определяя через эту

величину границы для

\и\, |о |,

из (35) получаем границы для

И -

І1/І-

 

 

212

Возможен и другой подход, основанный на разложении ле­

вой части (34) на два'линейных множителя в K = Q(]/"— А) с последующим разложением на простые идеалы в этом поле, что

дает X -j- Y \ r — k

= XI3, где X — число

поля

К,

определяемое

через А; I — неопределенное число из

этого

поля, при этом

gl — целое, где g

определяется через

А. Взяв

представление

gl через базис кольца целых чисел поля К, получим для Y

представление

бинарной кубической формой [14]. Можно ограни­

читься

представлением

 

 

 

 

 

 

2g*Y V = k =

X (gif -

X' (gl')3,

(36)

где

X',

l' — сопряженные с X,

Это уравнение того же

типа

что

и

(3), но

его коэффициенты и

неизвестные лежат

не в

кольце целых рациональных чисел, а в кольце целых чисел квадратичного поля К.

Ясно, что второй подход более общий. Он позволяет анали­ зировать уравнения типа (33), в которых левая часть замене­ на многочленом вида ахт-\-Ьуп, и, следовательно, оценивать

снизу наибольший

простой

делитель такого многочлена.

§ 7. Обобщения

на относительные поля

Рассмотренные

нами теоремы об уравнениях (1) — (3)

допускают обобщения на случай уравнений с алгебраическими коэффициентами и относительно неизвестных, лежащих в. кольце целых чисел некоторого поля К> алгебраических чисел конечной степени. Мы уже замечали, что подобные уравнения возникают даже при анализе уравнений с целыми рациональ­ ными коэффициентами, как, например, (36). Построение яв­ ных границ для целых точек, лежащих на эллиптической кри­ вой f{x, у) = 0, где f{x,y) — целочисленный многочлен, для решений гиперэллиптического уравнения и других уравнений естественно приводит к рассмотрению обобщенного уравнения Туэ [27, 30].

Анализ обобщенного уравнения Туэ проводится по обыч­ ной схеме, в частности, годятся рассуждения, описанные в § 2. Обобщенное уравнение Малера (и Туэ — Малера) также ана­ лизируется по общей схеме, однако нужно привлечь новые технические приемы, если в основном поле есть хоть одна еди­

ница бесконечного порядка.

 

 

достаточно ярко,

Особенность этого явления выражается

если попытаться доказать аналоги теорем

5—7

для относи­

тельных полей. То, что такие аналоги имеют место,

следует

из обобщения

результатов

Малера

[38]

на относительные

поля (Парри [50, 51]).

В частности,

методом

Туэ — Зигеля

доказывается,

что если

f(x,

у) — бинарная

форма

не менее

213.

чем 3-й степени с целыми алгебраическими коэффициентами из поля К и с отличным от нуля дискриминантом, 5 — любое фиксированное конечное множество простых идеалов поля К,

а Ф 0 — целое, то существует лишь

конечное

множество ие-

ассоциированных

пар

целых

чисел х, у

из

К, для которых

f(x, у) делится только на простые идеалы

pgS,

(х, у)\а

[51].

Иными

словами,

если

pi,...,

ps — простые идеалы из S, то

уравнение

 

У)) = 1і‘

 

 

(-V, у) I а,

 

 

 

 

 

 

(/ (*,

• ■• Ps1-

 

 

 

(37)

в

целых

.V, у g К

и

целых

рациональных

 

'' 0, . . . ,

г3ф О

имеет лишь конечное число решений,

если

не

различать

пары

л,

у, отличающиеся

на алгебраическую единицу

из

К-

Ясно,

что последнее условие является

существенным

для

заключения

о конечности числа «решений», так как если пара х, у удовлет­ воряет (37), то любая ассоциированная с ней пара также удов­ летворяет (37). В частности, нельзя утверждать, что норма наи­

большего простого делителя f (,ѵ, у) возрастает с ростом max (|х| ,

|г/{), где |х[ для х g К обозначает максимум модуля величин, со­ пряженных с X (обобщение |х| дтя целых рациональных х).

Тем не менее обобщенное уравнение Туэ — Малера

f (х, у) ^ аа\' . . .

а(>, (х, у) \ а,

(38)

где а, ссі, a.s — целые числа из К, («;) — степени простых идеалов, допускает эффективное определение всех его реше­ ний [6]. Исходным пунктом в анализе этого уравнения явля­ ется следующее замечание. Уравнение (38) есть частный слу­ чай уравнения

/ (х, у) = ІааѴ . . .

ats, (х, у) \ а,

(39)

где £ — единица поля К (новая неизвестная). Это уравнение сво­ дится к уравнению вида (37). Анализируя последнее, можно до­ казать, что для каждого решения х, у, хъ .. ., zs уравнения (39) существует единица eg К с условием

 

max (jex|, |ег/І,

zly . . .,

zs) < с33,

 

 

 

(40)

где

с33 — эффективно

определяемая

величина,

зависящая

от

Nm(a), Nm(a1), . . . , Nm(ag),

от коэффициентов

и степени фор­

мы /(х, у), а также от

поля

К.

В частности,

мы

видим,

что

для показателей zlt . . ., zs в

(38)

существует

лишь

конечное

число

возможностей. Следовательно, это уравнение

сводится к

конечному числу обобщенных уравнений Туэ, откуда

выводится

граница для тах(|х|, |у)).

 

 

неравенства

(28) на

би­

Таким путем получается обобщение

нарные формы с алгебраическими коэффициентами [51.

214

Т е о р е м а 9. Пусть f = f (х, у )бинарная форма не ме­ нее чем 5-й степени с целыми коэффициентами из поля К и не­ приводимая над К, а ф 0 — целое. Если х, у любые целые чис­

ла

поля К с условием (х, у)\а,

Р наибольшее простое число-

с

условием (/ (х, у), Р )ф 1,

то Р > сЗІ ln ln N,

где N =

=

max(!Nm (а') |, !Nm )\)— эффективно определяемая

величина,

зависящая от коэффициентов и степени формы f и от поля К, но не зависящая от N.

Из

предыдущих рассуждений ясно,

почему в этой теореме

величина Р связывается с нормами чисел х, у, а не с

шах (|.\'| ,

|(/|). В

связи

с этим интересно

отметить

следующий

результат

Котова

[4].

10. Пусть f(x,

у )— бинарная форма

не менее

Т е о р е м а

чем 5-й степени с целыми коэффициентами из К. и без кратных

корней.

Если X, у любые целые числа из

К

с условием

\у\ N

-С|.ѵ|І—е,

где Епроизвольное фиксированное число из интервала

(0, 1), f (х, у) Ф 0, Р наибольшее

простое

число

с условием

(Ңх, у),

Р)Ф 1, то Р > сТаln ln (|л'[

10),

где с35>

0 — эффек­

тивно определяемая величина, зависящая

от

коэффициентов и

степени формы f, от поля К а от е, но не

зависящая

от х.

В частности, эта теорема распространяется на многочлены с алгебраическими коэффициентами = 1). В неэффективной фор­ ме (без возможности вычислить нижнюю границу для Р) слу­ чай многочленов был рассмотрен Зигелем [56] в его диссерта­ ции.

§ 8. Связь с проблемой величины числа классов идеалов

Пусть

К — поле алгебраических чисел степени п, h и -D

его число

классов и дискриминант. Известно, что

 

 

/ K c 36)D|1/2(ln|Di)'1- 1,

(41)

где Сзв зависит только от п [37]. Известно также, что при лю­ бом п существует бесконечное множество полей К степени п с заданным числом вещественных (и комплексных) сопряжен­ ных полей, для которых

h > c 31[Dl1- - 8

(42)

где Сз7>0 зависит только от п и е> 0 [17]. Следовательно, по­ казатель 1/2 в правой части (41) является, вообще говоря, иаилучшим. Однако неизвестно, существует ли бесконечное число полей ограниченной степени, для которых при какомлибо 6 ( 0 < 6 < 1/2)

(43)

215

Широко распространена гипотеза о том, что вещественных квадратичных полей с условием h — 1 бесконечное множество, а имеющиеся таблицы вещественных квадратичных полей, до­ статочно обширные, определенно указывают на то, что поля с Ji— 1 составляют «подавляющее большинство». Гаусс поста­ вил проблему статистического распределения дискриминантов вещественных квадратичных полей с одним классом идеалов в каждом роде и склонялся к тому, что таких полей бесконеч­ ное множество.

«Было бы красивой и достойной

внимания

математиков

задачей — определить, по какому

закону все

реже и реже

встречаются определители, обладающие в каждом роде толь­ ко одним классом; до сих про мы не можем ни теоретически •определить, ни индуктивно с достаточной уверенностью пред­ положить, обрываются ли совершенно в конце концов такие определители (что, однако, представляется мало вероятным), или они становятся по крайней мере бесконечно редкими, или же их частота все ближе подходит к постоянному преде­ лу» ([2], раздел 304).

Хотя еще классиками теории чисел (Дирихле, Куммер, Кронекер, Хассе и др.) было получено много результатов о числах классов, в частности явные формулы для их вычисле­ ния, фундаментальные вопросы, касающиеся как арифмети­ ческой структуры этих чисел, так и их величины, остаются не­ решенными.

Мы касаемся здесь этой труднейшей математической про­ блемы по той причине, что она тесно связана с проблемой по­ строения истинных границ для решений диофантовых уравне­ ний рассмотренного нами типа, а также более общих уравне­

ний, но сводящихся к рассмотренным

[11, 12].

Например,

из теоремы 2 следует, что границы для решений

уравнения

Туэ существенно зависят от величины

регулятора

R поля К,

а это значит, и от числа классов h поля К, так как в силу фор­

мулы Зигеля— Брауэра [7, 32, 58] 1п(/гй) ln|D| (|D|->oo),

при этом замена R величиной Сі9|0|Ѵгй_1(1п|Д|) "_1 в силу (19) оставляет неравенство (18) эффективным. Если h удовлетво­ ряет неравенству (42), то R можно заменить величиной поряд­ ка \D\S, следовательно, также величиной порядка Hf' . Приме­ нив эти соображения к уравнению x2n—Dy2n= ± 1, мы найдем, что если это уравнение, имеет нетривиальное решение, то

■основная единица квадратичного поля QQ/D) должна быть «не слишком большой», следовательно, число классов этого поля — «не слишком малым». Мы видим, таким образом, что теорема 2 показывает содержательную зависимость границ для решений уравнения Туэ от величины числа классов поля К.

216

В теореме 2 поле K = Q (0 ), где 0 — корень формы f- Между тем, как это видно из рассуждений, описанных в § 2„ можно оценивать границы для решений уравнения (1) через, параметры любого поля, содержащего Q (0),

Зависимость между величиной решений гиперэллиптиче­ ского уравнения f ( x ) — Ay2, где f(x) — целочисленный много­ член, имеющий по крайней мере три различных корня, и вели­ чиной чисел классов некоторых полей алгебраических чисел проявляется еще более отчетливо. Читателю, интересующему­ ся этой темой, мы рекомендуем статью [12], а здесь огра­ ничимся лишь несколькими замечаниями и формулировками.

Т е о р е м а 11. Свободное от квадратов ядро D(m) числа /(ш ), где j (х) — целочисленный многочлен, имеющий по край­

ней мере три простых

корня, т Ф 0 — целое,

удовлетворяет

неравенству

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р('Щ\ > Сз8(1п|/н|)(2"гѵз ,

 

 

 

(44)

где с33 > 0 — величина,

эффективно определяемая

через

высоту

и степень п многочлена / (х).

 

 

много­

Т е о р е м а

12.

Пусть g (x )— такой целочисленный

член, что g- (х) — 1

имеет по крайней мере три

простых кор­

ня,

D = D(m) свободное от квадратов ядро числа

g2(m) — 1

при

целом т у

0,

б — произвольное число интервала

(0,

1/2),

М. > 0 — целое. Число тех целых т интервала 1 ф т У. М,

для

которых числа классов идеалов h = hK полей К = Q (V

удов­

летворяют неравенству h.<Dö, оценивается величиной 0((ІпМ)а),

а =

2 (10 (4/г)1

2

1)/(1— 26'),

п степень

g (х), б' — любое чис­

ло с условием б <

б' <

1/2.

 

 

целое,

ах, . . .

Т е о р е м а

13.

Пусть п . у Ъ произвольное

•••> ап~і произвольные различные целые числа,

М т >- 0 —

целые,

fm (х) = (х — ах) . . . (х — ап_х) (л- — т) -f 1.

Пусть

Кт

поле

 

алгебраических

чисел,

порожденное

корнем многочлена

fm(x),

D = Dm и h = hmего дискриминант и

число

классов,

б — произвольное число интервала (0, 1/2). Тогда

число тех т,

для

которых hm~<\Dm\6 , оценивается величиной О((In /И)Р), где

ß =

20 (224 (п — I)12 -(- 1) (п — 1)/(1 — 26'), б' — любое число

с ус­

ловием б < б' <

1/2.

 

 

 

 

 

 

Всвязи с теоремами 11 и 12 заметим, что если неравенство

(44)допускает существенное усиление в том смысле, что по­ казатель в правой части (44) можно заменить произвольно

большим (фиксированным) числом, то в теореме 12 величину 0((1пМ )а) можно заменить на 0(1). Иными словами, тогда лишь конечное число полей К имеет число классов h ^ .D 6 с любым б, в частности, среди них будет лишь конечное число полей с одним классом идеалов в каждом роде. Точно так же

217

в теореме

13 величину О ((1 пМ) (*)

можно будет заменить на

0 ( 1).

 

 

Если же существует хотя бы один многочлен f(x), удовлет­

воряющий

условиям теоремы 11

и для которого неравенство

(44) является принципиально неулучшаемым, т. е. при некото­ ром В <оо для бесконечного множества т будет \D(m)\< < (ln |/n |)B, то существует бесконечное множество полей алгеб­ раических чисел степени не более 8/і.3, числа классов Іг и ди­ скриминанты D которых связаны неравенством /і<ІОІ1'2- 6, 6=

= (6В(2/і)9)-'.

Какая из этих двух исключающих одна другую возмож­ ностей имеет место на самом деле, автор не знает в настоящий момент. Конечно, первая возможность интереснее, и не только потому, что она открывает «совершенно неожиданный» факт, но и потому, что она дает достаточно полный результат. Вто­ рая возможность больше соответствует традиционному пред­ ставлению о величинах чисел классов. Она имела бы место, в частности, если бы неравенство (28) было неулучшаемым для какого-либо многочлена /(.ѵ), т. е. если бы существовало бесконечное множество таких целых т, что Я<£іІп1п|/и|, где В х не зависит от т: тогда

I D (т) I <

П

р <

ехр ln ln j) = (ln | m |)ß .

 

p<B iln] n;m|

 

 

Теорема 12 наводит

на

мысль рассмотреть вещественные

квадратичные поля, основные единицы которых не превосхо­ дят заданной границы, скажем ,ѵ>0, и среди таких полей оце­ нить число тех из них, у которых число классов и дискрими­ нант связаны неравенством h ^ .D 6. Эта задача легко решается,

и результат аналогичен теореме 12

[14]: если Е(х) — число

основных единиц, не превосходящих

х. Ее(х) — число тех из

них, которые порождают поля с h ^ D 6, то

Е (X) = 2х -г О (х'/2), Е6(.г) -

О ((In .ѵГ/(1- 26 )).

Мы снова видим, что «подавляющее большинство» составля­ ют поля с большим числом классов, в частности «весьма ред­ ко» встречаются поля с одним классом идеалов в каждом роде. Мы предоставляем читателю возможность самому по­ размыслить над тем, как согласовать этот факт с упомянуты­ ми выше данными, полученными из рассмотрения таблиц ве­ щественных квадратичных полей. Заметим только, что если показатель 2/(1—26') в оценке Е6(х) не является наилучшим для б вблизи нуля, то дискриминанты полей с одним классом идеалов в каждом роде имеют нулевую асимптотическую плотность.

218

Для функции Е(х) справедливо асимптотическое разло­ жение

k=1

так что поля с большим числом классов составляют большин­ ство и в том случае, если брать основные единицы из интерва­ лов относительно малой длины.

Поля, о которых идет речь в теореме 13, рассматривалиАнкени, Брауэр и Чоула [17] и доказали, что среди них встре­ чается бесконечное множество таких, которые удовлетворяют (42). Мы видим, что «почти все» поля обладают этим свой­ ством, и есть шанс, что все, кроме конечного числа.

Фф *

Мы закончим наш краткий обзор несколькими замечания­ ми о смежных вопросах. Работам Бэйкера [24, 25] об эффек­ тивном анализе уравнения Туэ предшествовали его работы о рациональных приближениях к специальным алгебраическим числам и об эффективных границах для решений специальных уравнений вида ахп-\-Ьуп= с [18, 19]. Метод, примененный в этих работах, существенно отличается от того, который был использован в анализе общего уравнения и который мы опи­ сали в § 2. Хотя он применим к узкому классу уравнений, но дает более сильные результаты. Вероятно, его можно исполь­ зовать для эффективного построения полей алгебраических чисел с «весьма большим» числом клаосов идеалов.

На международной конференции в Обервольфахе (ФРГ, июль 1972 г.) Старк [62] сообщил интересную оценку для ре­ шений уравнения (1):

max (I X|, I у I) < ехр { сзя [(In \A\~- ln Hf -f D1/2) D'/2]'+e},

где c39 эффективно определяется через п и е > 0; D — абсолют­ ная величина дискриминанта поля K = Q (0 ); Ѳ — корень многочлена f(x, 1). В качестве следствия он получил оценку

max (j а- I,

I у I) <

сіоет 1+8

 

(4 5)

для решений уравнения х3 — уп- ~

k

(с40 эффективно определяет­

ся через е > 0 ) , что сильнее

результата Бэйкера

[25].

 

Большинство рассмотренных

нами

теорем

получает су­

щественное усиление, если

верна

 

следующая

гипотеза

[12]:

Всякое поле алгебраических чисел К

степени

п > 2

можно

погрузить в такое поле алгебраических чисел L, что степень L

над К не превышает сп , а регулятор R L поля

L и дискрими­

нант DK поля К связаны неравенством R L < с431DK|E,

где са

зависит только от п, сі2 от п и е.

 

 

 

219

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ