Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Актуальные проблемы аналитической теории чисел [сборник]

..pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
24.10.2023
Размер:
11.95 Mб
Скачать

имеет бесконечное число решений. РІз «принципа

ящиков» Ди­

рихле следует, что аДо^,

а п) > п.

Эта

нижняя граница

является достижимой: из теоремы 5 следует, что w (а1, . .. ,

ап) —

= п для почти всех (аа, . . . ,

ап) £ R".

 

 

 

 

Вместо неравенства (25) можно рассматривать

систему

нера­

венств

||а„<7(|) < q~'°,

v >

 

 

 

шах (1,'а.Д . . . ,

0.

 

(26)

Пусть ü(<xi,an) — точная верхняя грань тех п>0, для ко­ торых система неравенств (26) имеет бесконечное число реше­

ний в целых q > 0.

В силу

«принципа

переноса»

Хинчина

[8, 43] между величинами w(au

ап) и ц ( а ь ..., ап) сущест­

вуют определенные

соотношения,

в

частности,

равенства

ау(аі, .... ос,г) =/г и ѵ{а\, .... а„) = 1/п

равносильны.

Нас

будут

интересовать только

такие

наборы

чисел ось ап,

для

кото­

рых выполняются эти равенства. Мы называем такие числа плохо аппроксимируемыми числами, имея в виду, что на са­

мом деле

они

«плохо»

аппроксимируются

рациональными

числами,

что видно из

(26).

 

 

почти все

точки

R"

Мы уже обратили внимание на то, что

являются

системами плохо аппроксимируемых чисел. Обращаясь

к теореме

11, мы видим,

что почти все

точки

/г-мерной

кривой

Г = (со, со2,

. . . ,

со"), со £ R,

плохо аппроксимируемы. Следователь­

но, в R" есть подмногообразия размерности

1

с тем

же

свой­

ством аппроксимации рациональными числами,

что

и

все

про­

странство.

Аналогичный

смысл

имеет

и

теорема

15: в Rw с

N = п {п — 3)/2

выделено подмногообразие

 

 

 

 

 

 

 

Г =

. . . ,

соп, со?,

. . . , со;соj,

. ..

, со2„)

 

 

 

размерности п,

почти все точки

которого

обладают

тем

же

свойством

аппроксимации,

что

и почти

все точки

всего про­

странства

RjV.

возникает

следующая

 

 

 

 

 

 

 

Естественно

 

 

 

 

 

 

 

П р о б л е м а . Пусть Г — многообразие в Rn размерности

меньше п. Каким условиям должно удовлетворять

Г,

чтобы

почти все его точки были плохо аппроксимируемыми числами?

Многообразие с таким

свойством

назовем экстремаль­

ным

[50].

 

 

Тот факт, что мы ставим вопрос не о всем пространстве R"-

(или

фактор-пространстве

R "inodl),

а о некотором его под­

многообразии меньшей размерности,

существенно выделяет

эту задачу из подобных задач, рассмотренных в § 3, где речь шла об аппроксимации чисел, не связанных никакими функ­ циональными соотношениями, откуда и происходит название этого параграфа. Рассмотрение же в R" подмногообразий Г меньшей размерности неизбежно указывает на то, что между точками Г существуют функциональные связи.

193

Для простоты формулировок последующих результатов мы иногда считаем, что Г определено в Rm+" к имеет размерность т, причем

 

 

Г = (tv

. . . , tm, Л........../„),

(27)

где tv

. . . ,

іт— независимые переменные,

определенные в не­

которой

области

Q g R '",

fv . . . .

/„ — непрерывные функции

от (tlt ... ,

/,,,) £ Q. Эго предположение не

является

каким-либо

ограничением, так

как на

Г всегда

можно

выбрать

локальные

координаты,

чтобы

получить представление

(27).

 

Первую теорему об экстремальных многообразиях, задан­ ных аналитическими условиями, доказал Шмидт [49, 50].

Т е о р е м а

16. Пусть Г — кривая в

R2,

Г = (t, f(t)), где f(t)

трижды дифференцируема на интервале

/,

/" (I) Ф 0 почти вез­

де на I. Тогда

кривая Г экстремальна.

 

 

Следовательно, достаточная «искривленность» кривой на плоскости обеспечивает ее экстремальность. Вместе с тем су­ ществуют экстремальные прямые, и не только на плоскости,

но и в Rn с любым п [50].

 

Г = {(., аxt -j- ßlt . . .

Т е о р е м а 17. Пусть Г — прямая в R",

. . ■, a„_i* + ßn-i). где или (av . . . ,

а п_г),

или

(ßx, . . . , ß„_x)—

/іугол'о аппроксимируемые числа. Тогда Г экстремальна.

Сравнение теорем

16 и 17 показывает, что сформулирован­

ная нами проблема

отыскания

условий,

обеспечивающих

экстремальность многообразия в Rn, содержательна: пытаясь описывать экстремальные многообразия аналитическими условиями (как в теореме 16), мы рискуем упустить из виду многообразия, экстремальность которых обусловлена какимилибо арифметическими условиями (как в теореме 17). Не ясно, молено ли найти единый способ описания экстремальных многообразий, который охватывал бы эти две возможности.

Недавно были получены общие теоремы об экстремальных подмногообразиях в R11 с любым п [20, 21].

Т е о р е м а 18. Пусть пг,

п целые, l^ L n ^ m ,

fj = «лФі (*і) + ■• ■+

«WPm ( t j • (1 < / < n),

где срг ■— вещественные функции, трижды непрерывно дифферен­ цируемые на интервалах / г, ср; ф 0 почти везде на / г, aji ра­

циональные

числа,

ранг матрицы

(а;-;)

равен

п

(1 <.

т,

1 .< / Д п).

Тогда

Г, определяемое

по

(27) в

области

Q =

= / х X . .. X Іт, экстремально.

 

 

(при

т = п=\).

Эта теорема содержит в себе теорему 16

Неравенство п ^ т

и требование ранг (<Xij)=n нельзя исклю­

чить или ослабить, так как тогда между функциями fj будет линейная зависимость над полем рациональных чисел, и мно­ гообразие Г не может быть экстремальным, что видно из рас­ смотрения (25) или (26) для точек многообразия.

191

Т е о р е м а

19. Пусть

т, п целые, 1 <. /?• < т, й — область

в R"1,

fj ==

. .. , tm)

 

(1 < ]

< tri) — вещественные функции,

определенные в й и удовлетворяющие условиям:

а) частные производные d2fj/dtidth непрерывны в Q (1 <

1 i,

т),

 

 

2

п¥=0 почти везде в Й,

б)

det(d2fj/dt1dth) . k=i

в) любая целочисленная линейная комбинация

 

 

Ф (к) =

схdt1dth +

д%

 

 

• ■• + с« dt1dth

рассматриваемая как

функция

от одной переменной th (1 ^

 

при фиксированных остальных переменных, облада­

ет тем свойством, что любой интервал, где она определена, можно разбить на ограниченное, не зависящее от с\, ..., сп число подынтервалов, на которых ср(4) монотонна. Тогда Г, определяемое по (27), экстремально.

В этой теореме экстремальность Г определяется общими аналитическими предпосылками. Условие в), имеющее столь многословную формулировку, просто по содержанию и выпол­ няется для «обычных» функций fj, т. е. для линейных комби­ наций многочленов, экспонент, логарифмов и т. д. Его можно заменить конструктивным условием, потребовав более высо­ кой гладкости функций fj и необращения в нуль почти везде в й некоторой системы вронскианов от частных производных

dfj/dtI как функций от

[21].

Неравенство п<пг если

и можно ослабить, то только до

ti^tn , так как под условия теоремы попадают многообразия того же типа, что и в теореме 18, где неравенство n^Zni необ­ ходимо. Это замечание показывает, что общие аналитические условия могут охватывать специальные многообразия, -экстре­

мальность которых возможна

лишь тогда, когда они имеют

большую размерность. Следовательно,

стремление описать

экстремальные многообразия

достаточно

малой размерности

с помощью только общих аналитических

условий — «риско­

ванное предприятие». Напротив, обратившись к специальным многообразиям, заданным с помощью арифметических усло­

вий, имеем больше шансов достичь успеха.

s >

3, т >

2s“1,

Т е о р е м а

 

20. Пусть s,

 

т,

п — целые,

fj

v-j/i

+

• • • +

a-jrrfin +

ф; (tv ■■■ ,

tm)

(1 <

/ -< n),

 

где cpj (tlt

.. . ,

tm) многочлены степеней

не более

s — 1

с ве­

щественными

коэффициентами, aJt Ф 0 — вещественные числа,

подчиненные условиям

апі

\

 

 

 

 

 

 

 

 

а ,;

<

т + ѣ

(1 <

і -< in).

(28)

 

 

----- , ..

. , --------

)

 

 

(Xu

axi

 

 

 

 

 

 

Тогда Г, определяемое по (27), экстремально.

192

В этой теореме нет ограничений на связь

между

in и п,

следовательно, мы получаем в Rm+n с любым

сколь

угодно

большим it

экстремальные многообразия любой

заданной

размерности

4. Эта теорема имеет некоторое

сходство с

теоремой 17

в силу индуктивного перехода от предпосылки к

выводу: экстремальность многообразия обеспечивается ариф­ метическими свойствами параметров, определяющих эти мно­ гообразия. Если допустить, что oc.ji — рациональные числа, то

необходимо потребовать,

как и в теореме 18, п ^ т , ранг

(ал) =п (условие (28),

конечно, снимается).

Мы использовали язык и образы геометрии для наглядной

постановки и обсуждения одной из основных задач метриче­ ской теории диофантовых приближений зависимых величин. Такой язык не всегда удобен, особенно если речь идет о спе­ циальных задачах. Чтобы сформулировать следующую теоре­ му [9], мы вернемся к терминологии предыдущего параграфа.

Т е о р е м а

21.

Пусть

 

kv

. . . , kmнатуральные

числа,

К = шахkj,

k = minkj,

Я1 Ф 0,

. .. ,

Хт=фОвещественные

числа. Обозначим для

данных

вещественных чисел

со1,

. .. ,

©

через wx — wx (alt . ..

,

com)

 

точную верхнюю грань

тех

w >. О,

для которых существует бесконечное число

систем целочислен­

ных многочленов Рх(х),

. ..

,

Рт (х)

степеней не выше Ігѵ ... , km

соответственно и без

свободных

членов, удовлетворяющих

не­

равенству

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UV3! («о ч- . . . +

ХтРт(®m)f< h~w,

h = max h (Pj),

(29)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(/)

 

 

 

где h (Pj) высота

 

многочлена Pj (x),

m. e. наибольший то мо­

дулю его коэффициент. Тогда

для

почти всех (щ,

. .. ,

ют ) 6 R^

 

 

 

 

Щ =

К

 

... + km,

 

 

 

(30>

если только т >

2 при К =

1

и

 

 

 

 

 

 

т > (2/С -

I)2 In (К (К -

 

1)12) + К(К* + К + 1)/2 -

2)fk (31)

при К >2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогичная теорема верна в случае

многочленов P j ( x )

со свободными

членами,

 

но

 

тогда

на

результат

влияют

аппроксимационные

 

свойства

 

чисел

Аь ...,Хп [9].

 

 

Т е о р е м а

22.

Пусть в обозначениях предыдущей теоре­

мы числа Л|, ...,

Ап

таковы, что неравенство

 

 

 

№ія 1 +

• • • +

^7пат (К

(а\ ■■■ßm)-1-v.

ас = |аг| +

1,

 

с каким-либо фиксированным

у

в

интервале 0 <

у <; (kx -+- .. _

. . . Кі)І'п" имеет лишь конечное число решений в целых аѵ . ..

. . . , ат. Обозначим через w2 = w.2(av . .. , © J точную верхнюю' грань тех w > 0, для которых существует бесконечное число

13. За к. 1065

193-

систем целочисленных многочленов Рх (л), . . .

, Рт (х) степеней

не выше къ . .. , km соответственно,

удовлетворяющих неравен­

ству (29). Тогда для почти всех (соа,

 

, com) £ R"1

 

^2 = +

•••+ k,n+ /77,

(32)

если только т > 2

при К =

1, а при

К )> 2

удовлетворяет не­

равенству вида (31)

с заменой k на k -j -

1.

 

Э ти теоремы родственны теоремам

11 и

15, но были под­

сказаны общим взглядом на проблему аппроксимации зави­ симых величин. Вероятно, равенства (30), (32) остаются в силе для любых значений т, независимо от того, каковы k\, ...

..., /г,„,-т. е. без ограничений типа (31).

Все теоремы, приведенные в этом параграфе, допускают некоторые усиления, например, такого типа, как теорема 13 по сравнению с теоремой 11. Это в какой-то степени сближает утверждения этого параграфа с теоремами о приближениях независимых величин (§ 3). Однако в теории приближения независимых величин вопрос о конечном пли бесконечном числе решений определенной системы неравенств решается в зависимости от того, сходится или расходится некоторый ряд. При этом наиболее содержательным является утверждение о бесконечности числа решений в случае расходимости ряда, так как конечность числа решений в случае сходимости ряда сле­ дует непосредственно из равенства (11) и леммы Бореля— Кантелли.

Интересно было выяснить, справедливо ли что-либо подоб­ ное теореме 4 в случае приближений зависимых величин. Недавно В. И. Берник [3] провел такое исследование. Для многообразий, представляющих собой топологическое произ­ ведение не менее чем 4 плоских кривых, он доказал аналог теоремы 4, фактически даже его усиление, так как вывел асимптотику для числа решений системы неравенств типа (4).

 

Т е о р е м а

23.

Пусть ф(р) — монотонно убывающая функция

целочисленного

аргумента

 

q > 0 ,

0 <

ф (q) К 1/2,

. . .

--•>

fm( 0 — трижды непрерывно

дифференцируемые

функции,

определенные

 

на

интервале

/,

f'] (/) =j=0

почти везде на I

( К

/

< т ) .

Пусть N (Q; а ъ

.. . , а т) для данных вещественных

а.х,

.. . , ат

обозначает число решений системы неравенств

 

 

т а х (||а Д

. . . , jamq\\,

Ц/у (а,) р||, . . . .

[І/т (ат) 9||) <

ф (q)

в натуральных числах q -< Q. Тогда при

т >

4 для почти всех

К ..........

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N (Q;

«],

. . • , О

= (4"‘ -1- о(1))

2

'Г '. (Я).

194

если ряд

Еф2"1(q)

расходится. Если

же ряд

сходится, то

N (Q;

ос1,

. . . , ат) для почти всех (ах.......... а т )£ R'" — конечная

величина.

 

 

 

 

 

Нетрудно видеть, что эта теорема является усилением тео­

ремы

18

в случае,

когда n = ni^zz4,

а

матрица

(от,-,-) — единич­

ная.

Вероятно, верны аналогичные

усиления теорем 19 и 20.

§ 6. Заключительные замечания

Объем этой статьи не позволяет проанализировать методы доказательств приведенных теорем. Заметим только, что до­ казательства теорем 18—22 были получены методом тригоно­ метрических сумм, а основу доказательства теоремы 23 со­ ставляет дисперсионный метод, в котором для решения про­ межуточных вопросов использован метод тригонометрических сумм. Неравенство в теореме 20 появилось в силу того, что для оценки кратной экспоненциальной суммы Г. Вей­ ля использован метод самого Г. Вейля, а неравенство (31) в теореме 21 получено на основе оценок сумм Г. Вейля методом И. М. Виноградова.

Без сомнения, методом тригонометрических сумм может быть получено еще много различных фактов о приближениях 'зависимых величин. Однако применение этого метода стано­ вится затруднительным, когда исследуется «диофантова струк­ тура» многообразия Г в Rn, размерность которого значитель­ но меньше п. Даже предъявление самых высоких требований к оценкам возникающих тригонометрических сумм оставляет мало надежды па далекое продвижение в этом вопросе, так как детальный анализ показывает, что необходимо учитывать изменения модуля и аргумента тригонометрической суммы в. зависимости от многих параметров.

Напротив, метод «существенных» и «несущественных» об­ ластей, позволивший доказать теоремы 11 и 13, а также ана­ логи этих теорем для локально-компактных полей с неархи­ медовским нормированием [16], имеет большие перспективы быть эффективным при анализе многообразий малой размер­ ности. В частности, таким путем анализируется аналог гипоте­

зы Малера для

кубических полиномов от двух

переменных

[11]. Таким же

путем

получается

простое доказательство

теоремы 16. Интересно

проанализировать этим

методом во­

прос об экстремальности кривых Г =

 

fs(t)) в Rn на

основе

предположения,

что

 

 

почти

везде.

d e t f / P ^ ^ O (t, / = 1 , 2 , 3 )

 

 

 

будет достичь сочетанием

Вероятно, еще большего можно

метода тригонометрических сумм с методом «существенных» и «несущественных» областей.

13*

195

Однако есть задачи, близкие к рассмотренным выше, но не поддающиеся анализу упомянутыми методами. Одной из ин­ тересных задач такого рода является гипотеза о том, что для почти всех вещественных чисел и неравенство

К ® + o2®a +

аІІсол||< (а\ . ..

а'і = |а,| + 1,

при любом е> 0

имеет лишь конечное число решений в целых

ал, ..., ап. При п = 2 эта гипотеза легко доказывается, а при п—

= 3 ее, вероятно,

можно

доказать

на основе

результатов

X. Давенпорта [30, 31]

о бинарных кубических формах, но не

ясно,

можно ли

перенести

эти

рассуждения

на

 

случай лю­

бого

п.

 

 

 

 

 

 

 

 

нее можно

Если гипотеза справедлива, то ках следствие из

доказать, что дробные

доли ({щ},

{огг/},

{<s>’‘q})

( q = \ ,

2, .. .) для почти всех

со весьма равномерно распределяются в

единичном п-мерном кубе

Е":

если

I — произвольный

«прямо­

угольник» в Е'1, то число тех q^. Q,

для

которых

эти

дробные

доли

лежат в /,

равно

|/| Q -'-г О (Qe) для

почти

всех

со

(е > 0—

произвольно).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интересно заметить, что из результатов о равномерном распределении последовательностей чисел (или векторов) вы­ текают результаты об асимптотике числа решений некоторых неравенств, которым должны удовлетворять члены последова­ тельности (см. [18, 2]). Этот подход позволяет доказывать не только метрические теоремы об асимптотике числа решений систем диофантовых неравенств как дисперсионный метод, а получать такую асимптотику в «индивидуальных» предполо­ жениях об аппроксимируемых числах. Задачи такого типа активно пропагандировал С. Ленг ([10], см. также [23]).

Вероятно, А. Я. Хиичин был первым, кто пытался синтези­ ровать идеи метрической теории линейных диофантовых при­ ближений и теории трансцендентных чисел [41].

Мы закончим этот краткий обзор упоминанием о том, что подобные рассмотренным результаты метрической теории дио­ фантовых приближений составляют ключевую основу многих глубоких теорем математической физики. Читателю, интере­ сующемуся содержанием таких теорем, мы рекомендуем рабо­ ты К. Л. Зигеля [7], В. И. Арнольда [1], Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского и А. М. Самойлеико [4]. Естественно­ научные основы применений метрической теории чисел к ана­

лизу уравнений

математической физики

ясно

показывает

Л. Бриллюэн

[5].

 

 

 

Л И Т Е Р А Т У Р А

 

 

1. В. И. А р н о л ь д . Малые знаменатели и

проблема

устойчивости

движения в классической и небесной механике. УМН, 18, .№ 6, 1963, 91— 192.

2. В. И. Б е р н и к. Асимптотика числа решении некоторых систем дп-

196

офаитовых

неравенств. Матем. заметки,

11, № 6, 1972, 619—623.

3. В.

I I. Б е р н it к. Асимптотика числа

решении некоторых систем не­

равенств в теории диофаитовых приближений зависимых величин. Изв. АН БССР, сер. фнз.-мат. н., № 1, 1973, 10— 17.

4. Н. Н. Б о г о л ю б о в , Ю. А. М и т р о п о л ь с к и й, А. М. С а м о й- л е и к о. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев, «Нау-

кова думка», 1969.

Научная

неопределенность

и информация. М.,

 

5. Л. Б р п л л ю э н .

«Мир», 1966.

Теорема

о системе

линейных

форм. ДАН СССР,

 

6. А. В. Г р о ш е в .

19,

1938,

151— 152.

 

 

механике. М., ИЛ, 1959.

 

7. К. Л. З и г е л ь . Лекции по небесной

8.Дж. В. С. К а с с е л е . Введение в теорию диофаитовых приближе­ ний. М., ИЛ, 1961.

9.Э. И. К о в а л е в с к а я . .Метрические теоремы о приближении нуля линейной комбинацией целочисленных многочленов. ДАН БССР, 17, № 12, 1973.

10. С. Л е и г. Введение

в теорию

диофаитовых

приближений. М.,

«Мир», 1970.

 

 

 

 

 

11. Р. С л е с о р а й т е и е. Теорема Малера—Спрпнджука

для полино­

мов третьей степени от двух переменных (II). Лит. матем. сб„

10, Л'г 4, 1970,

791—814.

 

 

 

 

 

12. В. Г. С п р и н д ж у к. О теоремах А. Я. Хинчина и й . П. Кубнлюса.

Лит. матем. сб., 2, № 1, 1962, 147— 152.

 

 

 

 

13. В. Г. С п р и н д ж ѵ к .

О гипотезе

Малера. ДАН

СССР,

154, № 4,

1964, 783—786.

 

 

 

 

 

14. В. Г. С п р II и д ж у к.

Еще о гипотезе Малера.

ДАН

СССР, 155,

1, 1964, 54—56.

15.В. Г. С п р и и д ж у к. Доказательство гипотезы Малера о мере мно­ жества 5-чисел. Изв. АН СССР, сер. матем., 29, № 2, 1965, 379—436.

16. В. Г. С п р и н д ж у к. Проблема Малера в метрической теории чи­ сел. Минск, «Наука и техника», 1967.

17.В. Г. С п р и и д ж у к. К метрической теории линейных диофаитовых приближений. ДАН СССР, 17(1, № 1, 1967, 43—45.

18.В. Г. С пр и н д жук. Асимптотика числй решений некоторых днофантовых неравенств. ДАН СССР, 173, № 4, 1967, 770—772.

19.В. Г. С п р и и д ж у к. К метрической теории «нелинейных» диофан-

товых приближений. ДАН БССР, 13, № 4, 1969, 298—301.

20.В. Г. С п р и н д ж у к . Новые применения аналитического и р-адн- ческого методов в теории диофаитовых приближений. Международный кон­

гресс математиков в Ницце, 1970. Доклады советских математиков. М„ «На­ ука», 1972, 301—306.

21.В. Г. С п р и н д ж у к . Метод тригонометрических сумм в метриче­ ской теории диофаитовых приближений зависимых величин. Труды МИАН

СССР

им. В. А. Стеклова, 128. Сборник статей, вып. 2,

1972,

212—228.

Поев. акад. И. М. Виноградову к его 80-летню.

 

 

 

22.

А. Я. X и и ч и и. Цепные дроби. М„ Фпзматгиз, 1961.

approximations.

23.

W. A d a m s .

Simultaneous

asymptotic cliophantine

Mathematika, 14, 1967, 173—180.

ol Sprindzuk. Proc. Royal Soc., A,

292.

24.

А. B a k e r .

On

a theorem

№ 1428, 1966, 92—104.

 

 

 

 

 

25.

A. B a k e r and W. S c h m i d t . Diophantine approximation and Haus-

dorlf dimension. Proc. London Math. Soc., 21, 1970, 1—11.

 

und

über

26.

F. B e r n s t e i n ,

über geometrische Wahrscheinlichkeit

das Axiom der Beschränkten Arithmetisierbarkeit der Beobachtungen. Math. Ann., 72, 1912, 585—587.

27. É. B o r el. Sur un Probleme de probabilités relatives aux fractions continues. Math. Ann., 72, 1912, 578—584.

197

28.

J. W. S. C a s s e l

s. Some metrical theorems in diophantine approxi­

mation. 1. Proc. Cambridge Philos. Soc., 46, № 2, 1950, 209—218.

in met­

29.

R. J. D и f f i n and A. C. S c h a e f f e r . Khintchine’s problem

ric diophantine approximation. Duke Math. J., 8, 1941, 243—255.

Гоппэ.

30.

H. D a v e n p o r t .

On the class-numbers

ol binary cubic

J. London Math. Soc., 26(3), № 103, 1951, 183— 198.

forms. Mathematika, 8,

31

H. D a v e n p o r t .

A note on binary cubic

1961, 58- -62.

and W. S c h m i d t . Approximation to real numbers

32.

H . D a v e n p o r t

by quadratic irrationals. Acta Arithmelica, 13, 1967, 169—176.

 

33.

H. D a v e n p o r t

and W. S c h m i d t. Approximation to real numbers

by algebraic integers. Acta Arithinetica, 15, 1969, 393—416.

 

34.V. E n n о 1a. On metric diophantine approximation. Turun yliopiston julk., A f, № 113, 1967, 3—8.

35.P. E r d o s . Some results on diophantine approximations. Acta Arilh-

metica, 5, № 4, 1959. 359—369.

36.P. E r d o s . On the distribution of the convergenls оГ almost all real numbers. J. Number Theory, 2, 1970, 425—441.

37.P. X. G a l l a g h e r . Metric simultaneous diophantine approximation.

J.London Math. Soc., 37, 1962, 387—390.

38.P. X. G a l l a g h e r . Metric simultaneous diophantine approximation

(II). Mathematika, 12. 1965. 123—127.

39. S. H a r t m a n and P. S z i i s z .

On congruence classes of denomina­

tors of convergents. Acta Arithmetica, 6,

1960, 179—184.

40.A. К h i n t c h i n e. Einige Sätze über Keltenbrüche, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen. Math. Ann., 92, 1924, 115— 125.

41.А. K h i n l c h i n e . Zur metrischen Theorie der diophantischen Appro­ ximationen. Math. Zeitschr., 24, 1926, 706—714.

42. А. К h i n t c h i n e.

Zwei Bemerkungen zu einer Arbeit des Herrn

Perron. Math. Zeitschr., 22,

1925, 274—284.

43. А. К h i n t c h i n e. Über eine Klasse linearer Diophantischer Approxi­ mationen. Rend. Circolo mat. Palermo, 50, 1926, 175— 195.

44.

\V. J. L e V e q u e .

On the frequency of small fraction parts in cer­

tain real sequences, III. J.

reine und angew. Math., 202, 1959, 215—220.

45.

K. M a h l e r . Zur

Approximation der Exponentialfunktion und des

Logarithmus. J. reine und angew. Math., 166, 1932, 118—150.

46.K. M a h 1e r. über das Mass der Menge aller S-Zahlen. Math. Ann., 106, 1932. 131—139.

47.W. S c h m i d t . A metrical theorem in diophantine approximation. Canad. J. Math.. 12. 1960, 619—631.

48. W. S c h m i d t. Metrical theorems

on

fractional

parts of

sequences.

Trans. Amer. Math. Soc., 110, 1964, № 3, 493—518.

Flächen.

Monatsh.

49. W. S c h m i d t . Uber Gitterpunkte

auf

gewissen

Math., 68. № I, 1964. 59—74.

 

 

 

 

50.W. S c h m i d t . Metrische Sätze über simultane Approximation abhän­ giger Grössen. Monatsh. Math., 63. № 2, 1964, 154— 166.

51.A. W a 1 f i s z. Ein metrischer Satz über Diophantische Approximatio­

nen. Fundam. Math., 16, 1930, 361 385.

52. E. W i r s i n g . Approximation mit algerbaischen Zahlen beschrankten Grades. J. reine und angew. Math., 206, № 1—2, 1961. 67—77.

В. Г. Спринджук

ЭФФЕКТИВНЫЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ТУЭ И ТУЭ — МАЛЕРА

§ 1. Введение

 

Пусть / (х, у) — целочисленная неприводимая

бинарная фор­

ма степени п > 3, А ф 0 — целое. Уравнение

 

f(x, у) = А

(1)

называется уравнением Туэ в честь Акселя Туэ, доказавшего в 1908 г. знаменитую теорему о том, чго оно имеет лишь ко­ нечное число решении в целых х, у [60. 61]. Уравнение Туэ сыграло определяющую роль в развитии теории диофантовых уравнений в 20-х годах, когда было установлено, что многие уравнения от двух неизвестных к нему сводятся. Это привело Морделла [46, 47]к фундаментальной теореме о конечном базисе группы рациональных точек на эллиптической кривой, а Зигеля [57] — к знаменитой теореме о конечности числа целых точек на алгебраических кривых рода больше пуля.

Важное обобщение теоремы Туэ дал Малер [38—40], рас­ смотревший уравнение

fix, У) = PY ■■■Pls> іх, у) = ]>

(2)

где р 1, ..., ps — фиксированные простые числа, г і^О , ..., z i ^ 0— неизвестные целые. Малер доказал, что в условиях теоремы Туэ уравнение (2) имеет лишь конечное число решений в це­ лых X , у, z u ..., zs. Из этого непосредственно следует, что наи­ больший простой делитель числа f(x, у) неограниченно воз­ растает с ростом max (|х|, |г/|) при (х, у) = 1. В иной формули­ ровке теорема Малера утверждает, что на кривой (1) лёжнт лишь конечное число рациональных точек, в знаменатели ко­ торых входят только простые числа из фиксированного мно­ жества. Малер [41] доказал аналогичную теорему для более общих кривых (по крайней мере для эллиптических кривых).

Все упомянутые выше результаты были получены неэффек­ тивными методами. По этой причине нельзя было • (даже в принципе) построить границу для решений уравнений. (1) или

199

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ