
книги из ГПНТБ / Актуальные проблемы аналитической теории чисел [сборник]
..pdfимеет бесконечное число решений. РІз «принципа |
ящиков» Ди |
||||
рихле следует, что аДо^, |
а п) > п. |
Эта |
нижняя граница |
||
является достижимой: из теоремы 5 следует, что w (а1, . .. , |
ап) — |
||||
= п для почти всех (аа, . . . , |
ап) £ R". |
|
|
|
|
Вместо неравенства (25) можно рассматривать |
систему |
нера |
|||
венств |
||а„<7(|) < q~'°, |
v > |
|
|
|
шах (1,'а.Д . . . , |
0. |
|
(26) |
Пусть ü(<xi,an) — точная верхняя грань тех п>0, для ко торых система неравенств (26) имеет бесконечное число реше
ний в целых q > 0. |
В силу |
«принципа |
переноса» |
Хинчина |
||
[8, 43] между величинами w(au |
ап) и ц ( а ь ..., ап) сущест |
|||||
вуют определенные |
соотношения, |
в |
частности, |
равенства |
||
ау(аі, .... ос,г) =/г и ѵ{а\, .... а„) = 1/п |
равносильны. |
Нас |
будут |
|||
интересовать только |
такие |
наборы |
чисел ось ап, |
для |
кото |
рых выполняются эти равенства. Мы называем такие числа плохо аппроксимируемыми числами, имея в виду, что на са
мом деле |
они |
«плохо» |
аппроксимируются |
рациональными |
||||||||
числами, |
что видно из |
(26). |
|
|
почти все |
точки |
R" |
|||||
Мы уже обратили внимание на то, что |
||||||||||||
являются |
системами плохо аппроксимируемых чисел. Обращаясь |
|||||||||||
к теореме |
11, мы видим, |
что почти все |
точки |
/г-мерной |
кривой |
|||||||
Г = (со, со2, |
. . . , |
со"), со £ R, |
плохо аппроксимируемы. Следователь |
|||||||||
но, в R" есть подмногообразия размерности |
1 |
с тем |
же |
свой |
||||||||
ством аппроксимации рациональными числами, |
что |
и |
все |
про |
||||||||
странство. |
Аналогичный |
смысл |
имеет |
и |
теорема |
15: в Rw с |
||||||
N = п {п — 3)/2 |
выделено подмногообразие |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Г = |
. . . , |
соп, со?, |
. . . , со;соj, |
. .. |
, со2„) |
|
|
|
|||
размерности п, |
почти все точки |
которого |
обладают |
тем |
же |
|||||||
свойством |
аппроксимации, |
что |
и почти |
все точки |
всего про |
|||||||
странства |
RjV. |
возникает |
следующая |
|
|
|
|
|
|
|
||
Естественно |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
П р о б л е м а . Пусть Г — многообразие в Rn размерности |
||||||||||||
меньше п. Каким условиям должно удовлетворять |
Г, |
чтобы |
почти все его точки были плохо аппроксимируемыми числами?
Многообразие с таким |
свойством |
назовем экстремаль |
|
ным |
[50]. |
|
|
Тот факт, что мы ставим вопрос не о всем пространстве R"- |
|||
(или |
фактор-пространстве |
R "inodl), |
а о некотором его под |
многообразии меньшей размерности, |
существенно выделяет |
эту задачу из подобных задач, рассмотренных в § 3, где речь шла об аппроксимации чисел, не связанных никакими функ циональными соотношениями, откуда и происходит название этого параграфа. Рассмотрение же в R" подмногообразий Г меньшей размерности неизбежно указывает на то, что между точками Г существуют функциональные связи.
193
Для простоты формулировок последующих результатов мы иногда считаем, что Г определено в Rm+" к имеет размерность т, причем
|
|
Г = (tv |
. . . , tm, Л........../„), |
(27) |
|||
где tv |
. . . , |
іт— независимые переменные, |
определенные в не |
||||
которой |
области |
Q g R '", |
fv . . . . |
/„ — непрерывные функции |
|||
от (tlt ... , |
/,,,) £ Q. Эго предположение не |
является |
каким-либо |
||||
ограничением, так |
как на |
Г всегда |
можно |
выбрать |
локальные |
||
координаты, |
чтобы |
получить представление |
(27). |
|
Первую теорему об экстремальных многообразиях, задан ных аналитическими условиями, доказал Шмидт [49, 50].
Т е о р е м а |
16. Пусть Г — кривая в |
R2, |
Г = (t, f(t)), где f(t) |
трижды дифференцируема на интервале |
/, |
/" (I) Ф 0 почти вез |
|
де на I. Тогда |
кривая Г экстремальна. |
|
|
Следовательно, достаточная «искривленность» кривой на плоскости обеспечивает ее экстремальность. Вместе с тем су ществуют экстремальные прямые, и не только на плоскости,
но и в Rn с любым п [50]. |
|
Г = {(., аxt -j- ßlt . . . |
||
Т е о р е м а 17. Пусть Г — прямая в R", |
||||
. . ■, a„_i* + ßn-i). где или (av . . . , |
а п_г), |
или |
(ßx, . . . , ß„_x)— |
|
/іугол'о аппроксимируемые числа. Тогда Г экстремальна. |
||||
Сравнение теорем |
16 и 17 показывает, что сформулирован |
|||
ная нами проблема |
отыскания |
условий, |
обеспечивающих |
экстремальность многообразия в Rn, содержательна: пытаясь описывать экстремальные многообразия аналитическими условиями (как в теореме 16), мы рискуем упустить из виду многообразия, экстремальность которых обусловлена какимилибо арифметическими условиями (как в теореме 17). Не ясно, молено ли найти единый способ описания экстремальных многообразий, который охватывал бы эти две возможности.
Недавно были получены общие теоремы об экстремальных подмногообразиях в R11 с любым п [20, 21].
Т е о р е м а 18. Пусть пг, |
п — целые, l^ L n ^ m , |
fj = «лФі (*і) + ■• ■+ |
«WPm ( t j • (1 < / < n), |
где срг ■— вещественные функции, трижды непрерывно дифферен цируемые на интервалах / г, ср; ф 0 почти везде на / г, aji — ра
циональные |
числа, |
ранг матрицы |
(а;-;) |
равен |
п |
(1 <. |
т, |
1 .< / Д п). |
Тогда |
Г, определяемое |
по |
(27) в |
области |
Q = |
|
= / х X . .. X Іт, экстремально. |
|
|
(при |
т = п=\). |
|||
Эта теорема содержит в себе теорему 16 |
|||||||
Неравенство п ^ т |
и требование ранг (<Xij)=n нельзя исклю |
чить или ослабить, так как тогда между функциями fj будет линейная зависимость над полем рациональных чисел, и мно гообразие Г не может быть экстремальным, что видно из рас смотрения (25) или (26) для точек многообразия.
191
Т е о р е м а |
19. Пусть |
т, п — целые, 1 <. /?• < т, й — область |
||||
в R"1, |
fj == |
. .. , tm) |
|
(1 < ] |
< tri) — вещественные функции, |
|
определенные в й и удовлетворяющие условиям: |
||||||
а) частные производные d2fj/dtidth непрерывны в Q (1 < |
||||||
1 i, |
т), |
|
|
2 |
п¥=0 почти везде в Й, |
|
б) |
det(d2fj/dt1dth) . k=i |
|||||
в) любая целочисленная линейная комбинация |
||||||
|
|
Ф (к) = |
схdt1dth + |
д% |
||
|
|
• ■• + с« dt1dth ’ |
||||
рассматриваемая как |
функция |
от одной переменной th (1 ^ |
||||
|
при фиксированных остальных переменных, облада |
ет тем свойством, что любой интервал, где она определена, можно разбить на ограниченное, не зависящее от с\, ..., сп число подынтервалов, на которых ср(4) монотонна. Тогда Г, определяемое по (27), экстремально.
В этой теореме экстремальность Г определяется общими аналитическими предпосылками. Условие в), имеющее столь многословную формулировку, просто по содержанию и выпол няется для «обычных» функций fj, т. е. для линейных комби наций многочленов, экспонент, логарифмов и т. д. Его можно заменить конструктивным условием, потребовав более высо кой гладкости функций fj и необращения в нуль почти везде в й некоторой системы вронскианов от частных производных
dfj/dtI как функций от |
[21]. |
Неравенство п<пг если |
и можно ослабить, то только до |
ti^tn , так как под условия теоремы попадают многообразия того же типа, что и в теореме 18, где неравенство n^Zni необ ходимо. Это замечание показывает, что общие аналитические условия могут охватывать специальные многообразия, -экстре
мальность которых возможна |
лишь тогда, когда они имеют |
|
большую размерность. Следовательно, |
стремление описать |
|
экстремальные многообразия |
достаточно |
малой размерности |
с помощью только общих аналитических |
условий — «риско |
ванное предприятие». Напротив, обратившись к специальным многообразиям, заданным с помощью арифметических усло
вий, имеем больше шансов достичь успеха. |
s > |
3, т > |
2s“1, |
||||||||
Т е о р е м а |
|
20. Пусть s, |
|
т, |
п — целые, |
||||||
fj |
v-j/i |
+ |
• • • + |
a-jrrfin + |
ф; (tv ■■■ , |
tm) |
(1 < |
/ -< n), |
|
||
где cpj (tlt |
.. . , |
tm) — многочлены степеней |
не более |
s — 1 |
с ве |
||||||
щественными |
коэффициентами, aJt Ф 0 — вещественные числа, |
||||||||||
подчиненные условиям |
апі |
\ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
а ,; |
< |
т + ѣ |
(1 < |
і -< in). |
(28) |
||||
|
|
----- , .. |
. , -------- |
) |
|||||||
|
|
(Xu |
axi |
|
|
|
|
|
|
Тогда Г, определяемое по (27), экстремально.
192
В этой теореме нет ограничений на связь |
между |
in и п, |
||
следовательно, мы получаем в Rm+n с любым |
сколь |
угодно |
||
большим it |
экстремальные многообразия любой |
заданной |
||
размерности |
4. Эта теорема имеет некоторое |
сходство с |
||
теоремой 17 |
в силу индуктивного перехода от предпосылки к |
выводу: экстремальность многообразия обеспечивается ариф метическими свойствами параметров, определяющих эти мно гообразия. Если допустить, что oc.ji — рациональные числа, то
необходимо потребовать, |
как и в теореме 18, п ^ т , ранг |
(ал) =п (условие (28), |
конечно, снимается). |
Мы использовали язык и образы геометрии для наглядной |
постановки и обсуждения одной из основных задач метриче ской теории диофантовых приближений зависимых величин. Такой язык не всегда удобен, особенно если речь идет о спе циальных задачах. Чтобы сформулировать следующую теоре му [9], мы вернемся к терминологии предыдущего параграфа.
Т е о р е м а |
21. |
Пусть |
|
kv |
. . . , km— натуральные |
числа, |
|||||||||
К = шахkj, |
k = minkj, |
Я1 Ф 0, |
. .. , |
Хт=фО— вещественные |
|||||||||||
числа. Обозначим для |
данных |
вещественных чисел |
со1, |
. .. , |
© |
||||||||||
через wx — wx (alt . .. |
, |
com) |
|
точную верхнюю грань |
тех |
w >. О, |
|||||||||
для которых существует бесконечное число |
систем целочислен |
||||||||||||||
ных многочленов Рх(х), |
. .. |
, |
Рт (х) |
степеней не выше Ігѵ ... , km |
|||||||||||
соответственно и без |
свободных |
членов, удовлетворяющих |
не |
||||||||||||
равенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UV3! («о ч- . . . + |
ХтРт(®m)f< h~w, |
h = max h (Pj), |
(29) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(/) |
|
|
|
где h (Pj) — высота |
|
многочлена Pj (x), |
m. e. наибольший то мо |
||||||||||||
дулю его коэффициент. Тогда |
для |
почти всех (щ, |
. .. , |
ют ) 6 R^ |
|||||||||||
|
|
|
|
Щ = |
К |
|
... + km, |
|
|
|
(30> |
||||
если только т > |
2 при К = |
1 |
и |
|
|
|
|
|
|
||||||
т > (2/С (К - |
I)2 In (К (К - |
|
1)12) + К(К* + К + 1)/2 - |
2)fk (31) |
|||||||||||
при К >2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогичная теорема верна в случае |
многочленов P j ( x ) |
||||||||||||||
со свободными |
членами, |
|
но |
|
тогда |
на |
результат |
влияют |
|||||||
аппроксимационные |
|
свойства |
|
чисел |
Аь ...,Хп [9]. |
|
|
||||||||
Т е о р е м а |
22. |
Пусть в обозначениях предыдущей теоре |
|||||||||||||
мы числа Л|, ..., |
Ап |
таковы, что неравенство |
|
|
|
||||||||||
№ія 1 + |
• • • + |
^7пат (К |
(а\ ■■■ßm)-1-v. |
ас = |аг| + |
1, |
|
|||||||||
с каким-либо фиксированным |
у |
в |
интервале 0 < |
у <; (kx -+- .. _ |
. . . -г Кі)І'п" имеет лишь конечное число решений в целых аѵ . ..
. . . , ат. Обозначим через w2 = w.2(av . .. , © J точную верхнюю' грань тех w > 0, для которых существует бесконечное число
13. За к. 1065 |
193- |
систем целочисленных многочленов Рх (л), . . . |
, Рт (х) степеней |
||||
не выше къ . .. , km соответственно, |
удовлетворяющих неравен |
||||
ству (29). Тогда для почти всех (соа, |
|
, com) £ R"1 |
|||
|
^2 = + |
•••+ k,n+ /77, |
(32) |
||
если только т > 2 |
при К = |
1, а при |
К )> 2 |
удовлетворяет не |
|
равенству вида (31) |
с заменой k на k -j - |
1. |
|
||
Э ти теоремы родственны теоремам |
11 и |
15, но были под |
сказаны общим взглядом на проблему аппроксимации зави симых величин. Вероятно, равенства (30), (32) остаются в силе для любых значений т, независимо от того, каковы k\, ...
..., /г,„,-т. е. без ограничений типа (31).
Все теоремы, приведенные в этом параграфе, допускают некоторые усиления, например, такого типа, как теорема 13 по сравнению с теоремой 11. Это в какой-то степени сближает утверждения этого параграфа с теоремами о приближениях независимых величин (§ 3). Однако в теории приближения независимых величин вопрос о конечном пли бесконечном числе решений определенной системы неравенств решается в зависимости от того, сходится или расходится некоторый ряд. При этом наиболее содержательным является утверждение о бесконечности числа решений в случае расходимости ряда, так как конечность числа решений в случае сходимости ряда сле дует непосредственно из равенства (11) и леммы Бореля— Кантелли.
Интересно было выяснить, справедливо ли что-либо подоб ное теореме 4 в случае приближений зависимых величин. Недавно В. И. Берник [3] провел такое исследование. Для многообразий, представляющих собой топологическое произ ведение не менее чем 4 плоских кривых, он доказал аналог теоремы 4, фактически даже его усиление, так как вывел асимптотику для числа решений системы неравенств типа (4).
|
Т е о р е м а |
23. |
Пусть ф(р) — монотонно убывающая функция |
|||||||||
целочисленного |
аргумента |
|
q > 0 , |
0 < |
ф (q) К 1/2, |
. . . |
||||||
--•> |
fm( 0 — трижды непрерывно |
дифференцируемые |
функции, |
|||||||||
определенные |
|
на |
интервале |
/, |
f'] (/) =j=0 |
почти везде на I |
||||||
( К |
/ |
< т ) . |
Пусть N (Q; а ъ |
.. . , а т) для данных вещественных |
||||||||
а.х, |
.. . , ат |
обозначает число решений системы неравенств |
||||||||||
|
|
т а х (||а Д |
. . . , jamq\\, |
Ц/у (а,) р||, . . . . |
[І/т (ат) 9||) < |
ф (q) |
||||||
в натуральных числах q -< Q. Тогда при |
т > |
4 для почти всех |
||||||||||
К .......... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
N (Q; |
«], |
. . • , О |
= (4"‘ -1- о(1)) |
2 |
'Г '. (Я). |
194
если ряд |
Еф2"1(q) |
расходится. Если |
же ряд |
сходится, то |
||
N (Q; |
ос1, |
. . . , ат) для почти всех (ах.......... а т )£ R'" — конечная |
||||
величина. |
|
|
|
|
|
|
Нетрудно видеть, что эта теорема является усилением тео |
||||||
ремы |
18 |
в случае, |
когда n = ni^zz4, |
а |
матрица |
(от,-,-) — единич |
ная. |
Вероятно, верны аналогичные |
усиления теорем 19 и 20. |
§ 6. Заключительные замечания
Объем этой статьи не позволяет проанализировать методы доказательств приведенных теорем. Заметим только, что до казательства теорем 18—22 были получены методом тригоно метрических сумм, а основу доказательства теоремы 23 со ставляет дисперсионный метод, в котором для решения про межуточных вопросов использован метод тригонометрических сумм. Неравенство в теореме 20 появилось в силу того, что для оценки кратной экспоненциальной суммы Г. Вей ля использован метод самого Г. Вейля, а неравенство (31) в теореме 21 получено на основе оценок сумм Г. Вейля методом И. М. Виноградова.
Без сомнения, методом тригонометрических сумм может быть получено еще много различных фактов о приближениях 'зависимых величин. Однако применение этого метода стано вится затруднительным, когда исследуется «диофантова струк тура» многообразия Г в Rn, размерность которого значитель но меньше п. Даже предъявление самых высоких требований к оценкам возникающих тригонометрических сумм оставляет мало надежды па далекое продвижение в этом вопросе, так как детальный анализ показывает, что необходимо учитывать изменения модуля и аргумента тригонометрической суммы в. зависимости от многих параметров.
Напротив, метод «существенных» и «несущественных» об ластей, позволивший доказать теоремы 11 и 13, а также ана логи этих теорем для локально-компактных полей с неархи медовским нормированием [16], имеет большие перспективы быть эффективным при анализе многообразий малой размер ности. В частности, таким путем анализируется аналог гипоте
зы Малера для |
кубических полиномов от двух |
переменных |
|||
[11]. Таким же |
путем |
получается |
простое доказательство |
||
теоремы 16. Интересно |
проанализировать этим |
методом во |
|||
прос об экстремальности кривых Г = |
|
fs(t)) в Rn на |
|||
основе |
предположения, |
что |
|
|
|
почти |
везде. |
d e t f / P ^ ^ O (t, / = 1 , 2 , 3 ) |
|
||
|
|
будет достичь сочетанием |
|||
Вероятно, еще большего можно |
метода тригонометрических сумм с методом «существенных» и «несущественных» областей.
13* |
195 |
Однако есть задачи, близкие к рассмотренным выше, но не поддающиеся анализу упомянутыми методами. Одной из ин тересных задач такого рода является гипотеза о том, что для почти всех вещественных чисел и неравенство
К ® + o2®a + |
аІІсол||< (а\ . .. |
а'і = |а,| + 1, |
при любом е> 0 |
имеет лишь конечное число решений в целых |
ал, ..., ап. При п = 2 эта гипотеза легко доказывается, а при п—
= 3 ее, вероятно, |
можно |
доказать |
на основе |
результатов |
|||||||
X. Давенпорта [30, 31] |
о бинарных кубических формах, но не |
||||||||||
ясно, |
можно ли |
перенести |
эти |
рассуждения |
на |
|
случай лю |
||||
бого |
п. |
|
|
|
|
|
|
|
|
нее можно |
|
Если гипотеза справедлива, то ках следствие из |
|||||||||||
доказать, что дробные |
доли ({щ}, |
{огг/}, |
{<s>’‘q}) |
( q = \ , |
|||||||
2, .. .) для почти всех |
со весьма равномерно распределяются в |
||||||||||
единичном п-мерном кубе |
Е": |
если |
I — произвольный |
«прямо |
|||||||
угольник» в Е'1, то число тех q^. Q, |
для |
которых |
эти |
дробные |
|||||||
доли |
лежат в /, |
равно |
|/| Q -'-г О (Qe) для |
почти |
всех |
со |
(е > 0— |
||||
произвольно). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интересно заметить, что из результатов о равномерном распределении последовательностей чисел (или векторов) вы текают результаты об асимптотике числа решений некоторых неравенств, которым должны удовлетворять члены последова тельности (см. [18, 2]). Этот подход позволяет доказывать не только метрические теоремы об асимптотике числа решений систем диофантовых неравенств как дисперсионный метод, а получать такую асимптотику в «индивидуальных» предполо жениях об аппроксимируемых числах. Задачи такого типа активно пропагандировал С. Ленг ([10], см. также [23]).
Вероятно, А. Я. Хиичин был первым, кто пытался синтези ровать идеи метрической теории линейных диофантовых при ближений и теории трансцендентных чисел [41].
Мы закончим этот краткий обзор упоминанием о том, что подобные рассмотренным результаты метрической теории дио фантовых приближений составляют ключевую основу многих глубоких теорем математической физики. Читателю, интере сующемуся содержанием таких теорем, мы рекомендуем рабо ты К. Л. Зигеля [7], В. И. Арнольда [1], Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского и А. М. Самойлеико [4]. Естественно научные основы применений метрической теории чисел к ана
лизу уравнений |
математической физики |
ясно |
показывает |
Л. Бриллюэн |
[5]. |
|
|
|
Л И Т Е Р А Т У Р А |
|
|
1. В. И. А р н о л ь д . Малые знаменатели и |
проблема |
устойчивости |
движения в классической и небесной механике. УМН, 18, .№ 6, 1963, 91— 192.
2. В. И. Б е р н и к. Асимптотика числа решении некоторых систем дп-
196
офаитовых |
неравенств. Матем. заметки, |
11, № 6, 1972, 619—623. |
3. В. |
I I. Б е р н it к. Асимптотика числа |
решении некоторых систем не |
равенств в теории диофаитовых приближений зависимых величин. Изв. АН БССР, сер. фнз.-мат. н., № 1, 1973, 10— 17.
4. Н. Н. Б о г о л ю б о в , Ю. А. М и т р о п о л ь с к и й, А. М. С а м о й- л е и к о. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев, «Нау-
кова думка», 1969. |
Научная |
неопределенность |
и информация. М., |
|||
|
5. Л. Б р п л л ю э н . |
|||||
«Мир», 1966. |
Теорема |
о системе |
линейных |
форм. ДАН СССР, |
||
|
6. А. В. Г р о ш е в . |
|||||
19, |
1938, |
151— 152. |
|
|
механике. М., ИЛ, 1959. |
|
|
7. К. Л. З и г е л ь . Лекции по небесной |
8.Дж. В. С. К а с с е л е . Введение в теорию диофаитовых приближе ний. М., ИЛ, 1961.
9.Э. И. К о в а л е в с к а я . .Метрические теоремы о приближении нуля линейной комбинацией целочисленных многочленов. ДАН БССР, 17, № 12, 1973.
10. С. Л е и г. Введение |
в теорию |
диофаитовых |
приближений. М., |
||
«Мир», 1970. |
|
|
|
|
|
11. Р. С л е с о р а й т е и е. Теорема Малера—Спрпнджука |
для полино |
||||
мов третьей степени от двух переменных (II). Лит. матем. сб„ |
10, Л'г 4, 1970, |
||||
791—814. |
|
|
|
|
|
12. В. Г. С п р и н д ж у к. О теоремах А. Я. Хинчина и й . П. Кубнлюса. |
|||||
Лит. матем. сб., 2, № 1, 1962, 147— 152. |
|
|
|
|
|
13. В. Г. С п р и н д ж ѵ к . |
О гипотезе |
Малера. ДАН |
СССР, |
154, № 4, |
|
1964, 783—786. |
|
|
|
|
|
14. В. Г. С п р II и д ж у к. |
Еще о гипотезе Малера. |
ДАН |
СССР, 155, |
№1, 1964, 54—56.
15.В. Г. С п р и и д ж у к. Доказательство гипотезы Малера о мере мно жества 5-чисел. Изв. АН СССР, сер. матем., 29, № 2, 1965, 379—436.
16. В. Г. С п р и н д ж у к. Проблема Малера в метрической теории чи сел. Минск, «Наука и техника», 1967.
17.В. Г. С п р и и д ж у к. К метрической теории линейных диофаитовых приближений. ДАН СССР, 17(1, № 1, 1967, 43—45.
18.В. Г. С пр и н д жук. Асимптотика числй решений некоторых днофантовых неравенств. ДАН СССР, 173, № 4, 1967, 770—772.
19.В. Г. С п р и и д ж у к. К метрической теории «нелинейных» диофан-
товых приближений. ДАН БССР, 13, № 4, 1969, 298—301.
20.В. Г. С п р и н д ж у к . Новые применения аналитического и р-адн- ческого методов в теории диофаитовых приближений. Международный кон
гресс математиков в Ницце, 1970. Доклады советских математиков. М„ «На ука», 1972, 301—306.
21.В. Г. С п р и н д ж у к . Метод тригонометрических сумм в метриче ской теории диофаитовых приближений зависимых величин. Труды МИАН
СССР |
им. В. А. Стеклова, 128. Сборник статей, вып. 2, |
1972, |
212—228. |
||||
Поев. акад. И. М. Виноградову к его 80-летню. |
|
|
|
||||
22. |
А. Я. X и и ч и и. Цепные дроби. М„ Фпзматгиз, 1961. |
approximations. |
|||||
23. |
W. A d a m s . |
Simultaneous |
asymptotic cliophantine |
||||
Mathematika, 14, 1967, 173—180. |
ol Sprindzuk. Proc. Royal Soc., A, |
292. |
|||||
24. |
А. B a k e r . |
On |
a theorem |
||||
№ 1428, 1966, 92—104. |
|
|
|
|
|
||
25. |
A. B a k e r and W. S c h m i d t . Diophantine approximation and Haus- |
||||||
dorlf dimension. Proc. London Math. Soc., 21, 1970, 1—11. |
|
und |
über |
||||
26. |
F. B e r n s t e i n , |
über geometrische Wahrscheinlichkeit |
das Axiom der Beschränkten Arithmetisierbarkeit der Beobachtungen. Math. Ann., 72, 1912, 585—587.
27. É. B o r el. Sur un Probleme de probabilités relatives aux fractions continues. Math. Ann., 72, 1912, 578—584.
197
28. |
J. W. S. C a s s e l |
s. Some metrical theorems in diophantine approxi |
||
mation. 1. Proc. Cambridge Philos. Soc., 46, № 2, 1950, 209—218. |
in met |
|||
29. |
R. J. D и f f i n and A. C. S c h a e f f e r . Khintchine’s problem |
|||
ric diophantine approximation. Duke Math. J., 8, 1941, 243—255. |
Гоппэ. |
|||
30. |
H. D a v e n p o r t . |
On the class-numbers |
ol binary cubic |
|
J. London Math. Soc., 26(3), № 103, 1951, 183— 198. |
forms. Mathematika, 8, |
|||
31 |
H. D a v e n p o r t . |
A note on binary cubic |
||
1961, 58- -62. |
and W. S c h m i d t . Approximation to real numbers |
|||
32. |
H . D a v e n p o r t |
|||
by quadratic irrationals. Acta Arithmelica, 13, 1967, 169—176. |
|
|||
33. |
H. D a v e n p o r t |
and W. S c h m i d t. Approximation to real numbers |
||
by algebraic integers. Acta Arithinetica, 15, 1969, 393—416. |
|
34.V. E n n о 1a. On metric diophantine approximation. Turun yliopiston julk., A f, № 113, 1967, 3—8.
35.P. E r d o s . Some results on diophantine approximations. Acta Arilh-
metica, 5, № 4, 1959. 359—369.
36.P. E r d o s . On the distribution of the convergenls оГ almost all real numbers. J. Number Theory, 2, 1970, 425—441.
37.P. X. G a l l a g h e r . Metric simultaneous diophantine approximation.
J.London Math. Soc., 37, 1962, 387—390.
38.P. X. G a l l a g h e r . Metric simultaneous diophantine approximation
(II). Mathematika, 12. 1965. 123—127.
39. S. H a r t m a n and P. S z i i s z . |
On congruence classes of denomina |
tors of convergents. Acta Arithmetica, 6, |
1960, 179—184. |
40.A. К h i n t c h i n e. Einige Sätze über Keltenbrüche, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen. Math. Ann., 92, 1924, 115— 125.
41.А. K h i n l c h i n e . Zur metrischen Theorie der diophantischen Appro ximationen. Math. Zeitschr., 24, 1926, 706—714.
42. А. К h i n t c h i n e. |
Zwei Bemerkungen zu einer Arbeit des Herrn |
Perron. Math. Zeitschr., 22, |
1925, 274—284. |
43. А. К h i n t c h i n e. Über eine Klasse linearer Diophantischer Approxi mationen. Rend. Circolo mat. Palermo, 50, 1926, 175— 195.
44. |
\V. J. L e V e q u e . |
On the frequency of small fraction parts in cer |
tain real sequences, III. J. |
reine und angew. Math., 202, 1959, 215—220. |
|
45. |
K. M a h l e r . Zur |
Approximation der Exponentialfunktion und des |
Logarithmus. J. reine und angew. Math., 166, 1932, 118—150.
46.K. M a h 1e r. über das Mass der Menge aller S-Zahlen. Math. Ann., 106, 1932. 131—139.
47.W. S c h m i d t . A metrical theorem in diophantine approximation. Canad. J. Math.. 12. 1960, 619—631.
48. W. S c h m i d t. Metrical theorems |
on |
fractional |
parts of |
sequences. |
Trans. Amer. Math. Soc., 110, 1964, № 3, 493—518. |
Flächen. |
Monatsh. |
||
49. W. S c h m i d t . Uber Gitterpunkte |
auf |
gewissen |
||
Math., 68. № I, 1964. 59—74. |
|
|
|
|
50.W. S c h m i d t . Metrische Sätze über simultane Approximation abhän giger Grössen. Monatsh. Math., 63. № 2, 1964, 154— 166.
51.A. W a 1 f i s z. Ein metrischer Satz über Diophantische Approximatio
nen. Fundam. Math., 16, 1930, 361 385.
52. E. W i r s i n g . Approximation mit algerbaischen Zahlen beschrankten Grades. J. reine und angew. Math., 206, № 1—2, 1961. 67—77.
В. Г. Спринджук
ЭФФЕКТИВНЫЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ТУЭ И ТУЭ — МАЛЕРА
§ 1. Введение |
|
Пусть / (х, у) — целочисленная неприводимая |
бинарная фор |
ма степени п > 3, А ф 0 — целое. Уравнение |
|
f(x, у) = А |
(1) |
называется уравнением Туэ в честь Акселя Туэ, доказавшего в 1908 г. знаменитую теорему о том, чго оно имеет лишь ко нечное число решении в целых х, у [60. 61]. Уравнение Туэ сыграло определяющую роль в развитии теории диофантовых уравнений в 20-х годах, когда было установлено, что многие уравнения от двух неизвестных к нему сводятся. Это привело Морделла [46, 47]к фундаментальной теореме о конечном базисе группы рациональных точек на эллиптической кривой, а Зигеля [57] — к знаменитой теореме о конечности числа целых точек на алгебраических кривых рода больше пуля.
Важное обобщение теоремы Туэ дал Малер [38—40], рас смотревший уравнение
fix, У) = PY ■■■Pls> іх, у) = ]> |
(2) |
где р 1, ..., ps — фиксированные простые числа, г і^О , ..., z i ^ 0— неизвестные целые. Малер доказал, что в условиях теоремы Туэ уравнение (2) имеет лишь конечное число решений в це лых X , у, z u ..., zs. Из этого непосредственно следует, что наи больший простой делитель числа f(x, у) неограниченно воз растает с ростом max (|х|, |г/|) при (х, у) = 1. В иной формули ровке теорема Малера утверждает, что на кривой (1) лёжнт лишь конечное число рациональных точек, в знаменатели ко торых входят только простые числа из фиксированного мно жества. Малер [41] доказал аналогичную теорему для более общих кривых (по крайней мере для эллиптических кривых).
Все упомянутые выше результаты были получены неэффек тивными методами. По этой причине нельзя было • (даже в принципе) построить границу для решений уравнений. (1) или
199