книги из ГПНТБ / Актуальные проблемы аналитической теории чисел [сборник]

Пусть ü(<xi,an) — точная верхняя грань тех п>0, для ко­ торых система неравенств (26) имеет бесконечное число реше­

рых выполняются эти равенства. Мы называем такие числа плохо аппроксимируемыми числами, имея в виду, что на са­

почти все его точки были плохо аппроксимируемыми числами?

эту задачу из подобных задач, рассмотренных в § 3, где речь шла об аппроксимации чисел, не связанных никакими функ­ циональными соотношениями, откуда и происходит название этого параграфа. Рассмотрение же в R" подмногообразий Г меньшей размерности неизбежно указывает на то, что между точками Г существуют функциональные связи.

193

Для простоты формулировок последующих результатов мы иногда считаем, что Г определено в Rm+" к имеет размерность т, причем

Первую теорему об экстремальных многообразиях, задан­ ных аналитическими условиями, доказал Шмидт [49, 50].

Следовательно, достаточная «искривленность» кривой на плоскости обеспечивает ее экстремальность. Вместе с тем су­ ществуют экстремальные прямые, и не только на плоскости,

экстремальность многообразия в Rn, содержательна: пытаясь описывать экстремальные многообразия аналитическими условиями (как в теореме 16), мы рискуем упустить из виду многообразия, экстремальность которых обусловлена какимилибо арифметическими условиями (как в теореме 17). Не ясно, молено ли найти единый способ описания экстремальных многообразий, который охватывал бы эти две возможности.

Недавно были получены общие теоремы об экстремальных подмногообразиях в R11 с любым п [20, 21].

где срг ■— вещественные функции, трижды непрерывно дифферен­ цируемые на интервалах / г, ср; ф 0 почти везде на / г, aji — ра­

чить или ослабить, так как тогда между функциями fj будет линейная зависимость над полем рациональных чисел, и мно­ гообразие Г не может быть экстремальным, что видно из рас­ смотрения (25) или (26) для точек многообразия.

191

ет тем свойством, что любой интервал, где она определена, можно разбить на ограниченное, не зависящее от с\, ..., сп число подынтервалов, на которых ср(4) монотонна. Тогда Г, определяемое по (27), экстремально.

В этой теореме экстремальность Г определяется общими аналитическими предпосылками. Условие в), имеющее столь многословную формулировку, просто по содержанию и выпол­ няется для «обычных» функций fj, т. е. для линейных комби­ наций многочленов, экспонент, логарифмов и т. д. Его можно заменить конструктивным условием, потребовав более высо­ кой гладкости функций fj и необращения в нуль почти везде в й некоторой системы вронскианов от частных производных

ti^tn , так как под условия теоремы попадают многообразия того же типа, что и в теореме 18, где неравенство n^Zni необ­ ходимо. Это замечание показывает, что общие аналитические условия могут охватывать специальные многообразия, -экстре­

ванное предприятие». Напротив, обратившись к специальным многообразиям, заданным с помощью арифметических усло­

Тогда Г, определяемое по (27), экстремально.

192

выводу: экстремальность многообразия обеспечивается ариф­ метическими свойствами параметров, определяющих эти мно­ гообразия. Если допустить, что oc.ji — рациональные числа, то

постановки и обсуждения одной из основных задач метриче­ ской теории диофантовых приближений зависимых величин. Такой язык не всегда удобен, особенно если речь идет о спе­ циальных задачах. Чтобы сформулировать следующую теоре­ му [9], мы вернемся к терминологии предыдущего параграфа.

. . . -г Кі)І'п" имеет лишь конечное число решений в целых аѵ . ..

. . . , ат. Обозначим через w2 = w.2(av . .. , © J точную верхнюю' грань тех w > 0, для которых существует бесконечное число

сказаны общим взглядом на проблему аппроксимации зави­ симых величин. Вероятно, равенства (30), (32) остаются в силе для любых значений т, независимо от того, каковы k\, ...

..., /г,„,-т. е. без ограничений типа (31).

Все теоремы, приведенные в этом параграфе, допускают некоторые усиления, например, такого типа, как теорема 13 по сравнению с теоремой 11. Это в какой-то степени сближает утверждения этого параграфа с теоремами о приближениях независимых величин (§ 3). Однако в теории приближения независимых величин вопрос о конечном пли бесконечном числе решений определенной системы неравенств решается в зависимости от того, сходится или расходится некоторый ряд. При этом наиболее содержательным является утверждение о бесконечности числа решений в случае расходимости ряда, так как конечность числа решений в случае сходимости ряда сле­ дует непосредственно из равенства (11) и леммы Бореля— Кантелли.

Интересно было выяснить, справедливо ли что-либо подоб­ ное теореме 4 в случае приближений зависимых величин. Недавно В. И. Берник [3] провел такое исследование. Для многообразий, представляющих собой топологическое произ­ ведение не менее чем 4 плоских кривых, он доказал аналог теоремы 4, фактически даже его усиление, так как вывел асимптотику для числа решений системы неравенств типа (4).

194

§ 6. Заключительные замечания

Объем этой статьи не позволяет проанализировать методы доказательств приведенных теорем. Заметим только, что до­ казательства теорем 18—22 были получены методом тригоно­ метрических сумм, а основу доказательства теоремы 23 со­ ставляет дисперсионный метод, в котором для решения про­ межуточных вопросов использован метод тригонометрических сумм. Неравенство в теореме 20 появилось в силу того, что для оценки кратной экспоненциальной суммы Г. Вей­ ля использован метод самого Г. Вейля, а неравенство (31) в теореме 21 получено на основе оценок сумм Г. Вейля методом И. М. Виноградова.

Без сомнения, методом тригонометрических сумм может быть получено еще много различных фактов о приближениях 'зависимых величин. Однако применение этого метода стано­ вится затруднительным, когда исследуется «диофантова струк­ тура» многообразия Г в Rn, размерность которого значитель­ но меньше п. Даже предъявление самых высоких требований к оценкам возникающих тригонометрических сумм оставляет мало надежды па далекое продвижение в этом вопросе, так как детальный анализ показывает, что необходимо учитывать изменения модуля и аргумента тригонометрической суммы в. зависимости от многих параметров.

Напротив, метод «существенных» и «несущественных» об­ ластей, позволивший доказать теоремы 11 и 13, а также ана­ логи этих теорем для локально-компактных полей с неархи­ медовским нормированием [16], имеет большие перспективы быть эффективным при анализе многообразий малой размер­ ности. В частности, таким путем анализируется аналог гипоте­

метода тригонометрических сумм с методом «существенных» и «несущественных» областей.

Однако есть задачи, близкие к рассмотренным выше, но не поддающиеся анализу упомянутыми методами. Одной из ин­ тересных задач такого рода является гипотеза о том, что для почти всех вещественных чисел и неравенство

ал, ..., ап. При п = 2 эта гипотеза легко доказывается, а при п—

Интересно заметить, что из результатов о равномерном распределении последовательностей чисел (или векторов) вы­ текают результаты об асимптотике числа решений некоторых неравенств, которым должны удовлетворять члены последова­ тельности (см. [18, 2]). Этот подход позволяет доказывать не только метрические теоремы об асимптотике числа решений систем диофантовых неравенств как дисперсионный метод, а получать такую асимптотику в «индивидуальных» предполо­ жениях об аппроксимируемых числах. Задачи такого типа активно пропагандировал С. Ленг ([10], см. также [23]).

Вероятно, А. Я. Хиичин был первым, кто пытался синтези­ ровать идеи метрической теории линейных диофантовых при­ ближений и теории трансцендентных чисел [41].

Мы закончим этот краткий обзор упоминанием о том, что подобные рассмотренным результаты метрической теории дио­ фантовых приближений составляют ключевую основу многих глубоких теорем математической физики. Читателю, интере­ сующемуся содержанием таких теорем, мы рекомендуем рабо­ ты К. Л. Зигеля [7], В. И. Арнольда [1], Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского и А. М. Самойлеико [4]. Естественно­ научные основы применений метрической теории чисел к ана­

движения в классической и небесной механике. УМН, 18, .№ 6, 1963, 91— 192.

2. В. И. Б е р н и к. Асимптотика числа решении некоторых систем дп-

196

равенств в теории диофаитовых приближений зависимых величин. Изв. АН БССР, сер. фнз.-мат. н., № 1, 1973, 10— 17.

4. Н. Н. Б о г о л ю б о в , Ю. А. М и т р о п о л ь с к и й, А. М. С а м о й- л е и к о. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев, «Нау-

8.Дж. В. С. К а с с е л е . Введение в теорию диофаитовых приближе­ ний. М., ИЛ, 1961.

9.Э. И. К о в а л е в с к а я . .Метрические теоремы о приближении нуля линейной комбинацией целочисленных многочленов. ДАН БССР, 17, № 12, 1973.

№1, 1964, 54—56.

15.В. Г. С п р и и д ж у к. Доказательство гипотезы Малера о мере мно­ жества 5-чисел. Изв. АН СССР, сер. матем., 29, № 2, 1965, 379—436.

16. В. Г. С п р и н д ж у к. Проблема Малера в метрической теории чи­ сел. Минск, «Наука и техника», 1967.

17.В. Г. С п р и и д ж у к. К метрической теории линейных диофаитовых приближений. ДАН СССР, 17(1, № 1, 1967, 43—45.

18.В. Г. С пр и н д жук. Асимптотика числй решений некоторых днофантовых неравенств. ДАН СССР, 173, № 4, 1967, 770—772.

19.В. Г. С п р и и д ж у к. К метрической теории «нелинейных» диофан-

товых приближений. ДАН БССР, 13, № 4, 1969, 298—301.

20.В. Г. С п р и н д ж у к . Новые применения аналитического и р-адн- ческого методов в теории диофаитовых приближений. Международный кон­

гресс математиков в Ницце, 1970. Доклады советских математиков. М„ «На­ ука», 1972, 301—306.

21.В. Г. С п р и н д ж у к . Метод тригонометрических сумм в метриче­ ской теории диофаитовых приближений зависимых величин. Труды МИАН

das Axiom der Beschränkten Arithmetisierbarkeit der Beobachtungen. Math. Ann., 72, 1912, 585—587.

27. É. B o r el. Sur un Probleme de probabilités relatives aux fractions continues. Math. Ann., 72, 1912, 578—584.

197

В. Г. Спринджук

ЭФФЕКТИВНЫЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ТУЭ И ТУЭ — МАЛЕРА

называется уравнением Туэ в честь Акселя Туэ, доказавшего в 1908 г. знаменитую теорему о том, чго оно имеет лишь ко­ нечное число решении в целых х, у [60. 61]. Уравнение Туэ сыграло определяющую роль в развитии теории диофантовых уравнений в 20-х годах, когда было установлено, что многие уравнения от двух неизвестных к нему сводятся. Это привело Морделла [46, 47]к фундаментальной теореме о конечном базисе группы рациональных точек на эллиптической кривой, а Зигеля [57] — к знаменитой теореме о конечности числа целых точек на алгебраических кривых рода больше пуля.

Важное обобщение теоремы Туэ дал Малер [38—40], рас­ смотревший уравнение

где р 1, ..., ps — фиксированные простые числа, г і^О , ..., z i ^ 0— неизвестные целые. Малер доказал, что в условиях теоремы Туэ уравнение (2) имеет лишь конечное число решений в це­ лых X , у, z u ..., zs. Из этого непосредственно следует, что наи­ больший простой делитель числа f(x, у) неограниченно воз­ растает с ростом max (|х|, |г/|) при (х, у) = 1. В иной формули­ ровке теорема Малера утверждает, что на кривой (1) лёжнт лишь конечное число рациональных точек, в знаменатели ко­ торых входят только простые числа из фиксированного мно­ жества. Малер [41] доказал аналогичную теорему для более общих кривых (по крайней мере для эллиптических кривых).

Все упомянутые выше результаты были получены неэффек­ тивными методами. По этой причине нельзя было • (даже в принципе) построить границу для решений уравнений. (1) или

199