книги из ГПНТБ / Актуальные проблемы аналитической теории чисел [сборник]

Сумма в правой части равенства (15) выражает суммар­ ное количество решений всех уравнении (13), т. е. совпадает

счислом решений одного уравнения

а-г ß-г у = п-і

счетырьмя переменными а, ß, у и я,-. Поскольку квазипростые числа хорошо распределены в арифметических прогрессиях, асимптотический расчет указанной выше суммы обычно не представляет труда.

Врезультате из (15) выводим асимптотическую формулу для числа решений уравнения (3).

Схема с использованием когерентных чисел удобна тем, что не требует конструирования ожидаемых чисел решений исследуемых уравнении. В то же время эта схема применима только в том случае, когда п в уравнении (3) будет квазипростым числом.

Вданной работе мы отдаем предпочтение более удобной схеме в ущерб ее общности. Поэтому, иллюстрируя в после дующих параграфах наш метод на примере тернарной пробле­ мы Гольдбаха, ограничимся рассмотрением чисел я, не имею­ щих малых простых делителей.

§2. Леммы о простых числах

Вдальнейшем нам придется использовать некоторые свой­ ства простых чисел, выражаемые следующими леммами.

Оценка (16) является следствием теоремы А. И. Виногра­ дова [7] о числах с малыми простыми делителями. Эта оцен­ ка может быть доказана вполне элементарно.

10

Элементарное доказательство оценки (17) с помощью метода Бруна содержится в работе [8]. В частности, если р'> /гІ/(1п1пп)г, получаем оценку

О (— . (1п 1п,г)5 \

Л е м м а 3. Пусть л' (/?.) — количество квазипростых чисел

1)Пусть С > 0 — любая константа, q 5Д (In х)с, я (х, q, I)—

количество простых чисел р = 1(mod q) и не превосходящих х,

(I, Я) = 1. Тогда

2) Пусть при тех же условиях

р/(modi/)

Тогда

ф(<?)

Оценки (19) II (20), составляющие содержание теоремы Зигеля—Вальфиша, не могут быть получены известными в настоящее время элементарными средствами.

Ле м м а 5 (см. [10]).

1)Пусть С > 0 — любая константа.

Тогда существует положительная константа В — В (С),

где X = x/(ln х)в.

11

2) Имеет место аналогичная оценка:

о распределении простых чисел в арифметических прогресси­ ях в среднем (см. [4, 10, 11]), по-видимому, могут быть выве­ дены элементарными средствами. Разумеется, при этом дол­ жна быть использована неэлементарпая теорема Зигеля — Вальфиша, оценки которой входят составной частью в оценки леммы 5. Поскольку в этой лемме усреднение ведется и по модулям II по начальным членам прогрессий, мы будем называть ее теоремой о двойном усреднении.

§ 3. Тернарная проблема Гольдбаха

Тернарная проблема Гольдбаха состоит в утверждении, что всякое нечетное число, большее 7, можно представить в виде суммы трех простых нечетных чисел. В 1937 г. И. М. Ви­ ноградов вывел асимптотическую формулу для числа Q(u) решений уравнения

Мы покажем, что теорему Виноградова можно доказать на основе общей схемы решения тернарных задач, изложенной в § 1. При этом ограничимся случаем, когда в уравнении (24) п будет квазипростым числом. Особый ряд а (и) для таких п будет равен, с допустимой погрешностью, произведению

п (1+ (7 Г 7 ]г ) ■

р

не зависящему от п. Остаточный член достаточно получить в ви­ де О (п2!\пп)4~е).

12

Итак, нашей целью является доказательство с помощью ме­ тода из § 1 следующего частного случая теоремы Виноградова:

Т е о р е м а А. Пусть п. — квазипростое число, такое, кото­ рое не содержит в каноническом разложении простых чисел

^^ l/ d n ln n )2

Тогда

При изложении доказательства формулы (25) методом ко­ герентных чисел мы будем опускать некоторые не очень слож­ ные, по громоздкие вычисления.

Рассмотрим s уравнений вида

р < п 1/(1п1пи)

13

Аналогичные равенства справедливы для рх и р„.

Поэтому число решений уравнения (30) выражается формулой

интервал разобьем справа налево на частичные интервалы (р0) =

14

Применяя неравенство Коши — Буняковского и лемму 5, 2), выводим оценку

Сумму S2(я) приводим сначала к первоначальной области изме­

P i+ P 2 -; 0(mod6)

пДІгш)^1 Pt+Pi • n+«,,(lnn)*'1

Модули 6 > (1 п я)2С' вносят в S2 (я) допустимую погрешность.

Часть суммы S2(я), соответствующая модулям б.< (Іпя)2Сі, вы­ числяется с помощью теоремы Зигеля — Вальфиша (см. лемму 4, 2)) и теоремы о простых числах. После применения этих тео­ рем ограничение, наложенное на б, можно снять с допустимой погрешностью. В итоге получаем оценку

Поскольку числа d состоят из простых множителей < яІ/(І,ІІп,І)' ,

мы можем отбросить в (35) условие d < п 1п|пл. Теперь из (33) — (35) выводим формулу

16

Однако в каждой из указанных выше сумм имеется пере­ менная, пробегающая квазипростые значения. В сумме Ві(п) таких переменных две (£і и t2). Поэтому асимптотический рас­ чет сумм Аі(п) и Ві(а) в принципе проводится так же, как и

расчет суммы Qi(n).

Например, применяя последовательно элементарное реше­

Асимптотический расчет суммы Сі(п) является централь­ ным пунктом доказательства, поэтому мы остановимся на нем подробнее.

Наличие в сумме Сі(п) множителей р(Ѵ/|) и ц (d2) позво­ ляет считать числа d{.и d2 бесквадратными. Эти числа одно­ значно представляются в виде

dx = vxd' и d2 — Vjd' ,

где Vj— наименьший простой делитель числа d2; р2—такой же делитель числа d.2.

Значения ѵх и р1( по крайней мере одно из которых принад-

18

где л’о = v0/(lnп)к, ро = p0/(ln п.)к. Последние интервалы указан­ ных разбиений могут быть неполными. Числа ѵі и рь принад­ лежащие неполным интервалам, будут вносить в С;(я) допу­ стимую погрешность.

Положим

Вариация условий, наложенных на Д и Do, позволяет осво­ бодиться (с допустимой погрешностью) от зависимости лр от DJ

и рх от Do. В результате получим