книги из ГПНТБ / Актуальные проблемы аналитической теории чисел [сборник]

шего целого», т. е. ||а|| = тіп|ос—а\,

где а пробегает все целые

числа.

монотонно

Т е о р е м а 1*. Пусть f(q) — положительная

убывающая функция натурального

аргумента q.

Если ряд

бега. Условие

монотонного убывания

функции

f(q)

нельзя

снять: без этого условия первая

часть

теоремы

1*

(случай

расходящегося

ряда) становится

неверной [28, 29].

В то же

равенстве ( 1) числа q

могут пробегать

лишь

некоторое

подмножество натурального ряда. Первую

теорему такого

рода доказал А. Вальфиш [51]: если интеграл (2)

расходится

и отношение f(x)/f(2x)

ограничено при х>с, то для почти всех

держит бесконечное множество

чисел qn= qn{a). П. Эрдеш

[36] получил

окончательный результат в этом направлении.

Т е о р е м а

2. Необходимое

и достаточное условие того,

произвольной

последовательности натуральных

чисел щ <

< п 2<..., состоит в том, что ряд

с о

V

ер (//.,) пт2, ф (/г) — функция Эйлера,

(3)

і=і

Т е о р е м а

3. Пусть е>0 и. ряд (3) расходится. Тогда для

почти

всех а

неравенство

а

а

(а, п,) = 1,

'h

имеет

бесконечное число

решений.

а

а

^

б;

(а, щ) = 1,

-------- <

—

,

п-і

по­

max (М |, . . . , 1К<?||) < Ш

(4)

] f n (X) dx

(5)

—0

(х оо). Тогда система неравенств:

ІК А

-I------I- “ /А І

< / (а).

« = max \at| (1 < і ~< г) (6)

■для

почти

всех точек

а =

г

гs-мерного

эвклидова

/=і’.2,. . s

решений

в целых-

пространства имеет бесконечное

число

числах аI,

as, если интеграл

f A's_1f (A) dx

(7)

С

расходится;

напротив, неравенство (6) имеет для почти всех а

грал

(7)

сходится.

то

неравенство

|а!) < К означает,

что а ле­

Если 0 <

X .< 1/2,

жит

в одном

из

интервалов

(О, К)

пли

(1 — к,

1) с точностью

до целого

слагаемого.

Теоремы

1

и

4

уточнялись

за

счет

рас­

смотрения

односторонних

неравенств

О <

а г<7— а-, <

/ (q)

(г = 1, 2,

. . .)

(8)

и чисел г/, пробегающих некоторые

подмножества

натураль­

ных чисел

[28, 38, 48]. В частности,

Галлагер

[38]

показал,

что никаких условий монотонности на

f(q)

налагать не сле­

дует, если рассматривать (8) с п ^ 2

и предполагать, что н.о.д.

(q, а \,..., а„) —1. Это позволяет рассматривать

(8) для q,

про­

бегающих любую последовательность

П\<по<... натуральных

чисел, и вопрос о том, когда будет

бесконечное

или только

конечное число решений

(8) для

почти всех

(а ь ..., а п),

ре­

шается утвердительно

или

отрицательно

в зависимости от

того,

расходится

или сходится

ряд

Efn (/Zf).

[44]

В. Шмидт [47], продолжая и развивая работы Левека

и Эрдеша [35], вывел асимптотику числа

решений

(8)

при

q ^ Q

для

почти

всех (а\,...,ап).

Т е о р е м а

6.

Пусть

!\{q), ■■■, fn{q)— положительные

функции натурального аргумента q. Положим.

Ф(?) =

f l

fi (?),

F( Q) =

У

Ф(?).

Й (Q) =

2 (р (?) 9-1'

;=1

q- Q

q<Q

причем ф (q) монотонно убывает. Обозначим N (Q;

аѵ

. . . .

а п)

число решений

неравенств

О

<

o4q — a t <k fi (q)

(i =

1 , 2 , . . . ,

n)

(9)

Во-вторых,

для линейно

независимых

целочисленных

векторов

аг,

а2 ( R'1 множества

Т~ХА стохастически независимы:

если

Аѵ

А

6 Älm,

=

Т (aj),

Т, =

Т (а.,), то

\ТГ'А1(]Т7'А„\ = \А1\\А.І

(12)

Соотношения (11), (12) позволяют доказать следующие утверж­

дения [19].

7.

Пусть

S — бесконечный набор целочисленных

Т е о р е м а

векторов а £ R" и каждому а Ф (0) соответствует множество

А (а) £ А1т. Если ряд

2\ А H I

(13)

сходится,

то условия

aes

(

ш ѵ

..

.,

aw,,,) £ Л (a) mod 1,

a^S,

(14)

для почти

всех со £ Qmn

выполняются лишь

конечное число раз.

Если же ряд (13) расходится и любые два вектора из S линей­

но независимы, то для

почти всех со ( Qmn условия (14) выпол­

няются бесконечно часто.

пусть

N (Q;

со) — число

Т е о р е м а

8 .

При данном со £ й пш

тех а = (аѵ

. . . ,

an) £ S

с условием,

max (|а1|,

. . .,

|а„|)

Q,

из S линейно независимы,

то для почти всех со £ Qmn

N (Q; со) = Ф (Q) + О [ Ф1/2(Q) (In Ф (Ql)3-'-+e),

где г >• 0 — произвольно,ѵ

ф (Q)=

2

И (а)і-

S

max(|a,|......

Предположение, что любые два вектора S линейно незави­

симы, по необходимости требует я ^ 2 ,

так что теоремы 7 и 8

были только примитивные а = (аь ..., ап),

т. е. чтобы н.о.д.

(а і,.... ап) = 1, и если a£S, то —agS. Тогда

мы удовлетворим

ров, что сводится к предыдущему

случаю разбиением

всех

таких векторов на подмножества

[16].

Из теорем 7 и 8 вытекают интересные следствия о нелиней­

ных диофантовых приближениях,

получаемых за счет

спе­

Т е о р е м а 9. Пусть n ^ i2 и

каждому

целочисленному

вектору а = (а\ , .... ап) с условием

н.о.д. (аи

ап) = 1 постав­

Пусть

теперь

М — произвольное

множество

целочисленных

примитивных векторов а £ R", ср(а)>0 — функция, определенная

на М,

2

Ф(а) = со -

аеМ

Тогда из теоремы

9 легко получаем,

что

неравенство

{ « А + '' Ч

«пап> <

Ф (а),

а € М,

где {а} — дробная часть а,

выполняется

бесконечно часто

для

почти всех

(ах..........а п) £ R”.

Мы можем

взять

в

качестве

М

множество

всех векторов

вида

(bsv . . . ,

М),

где

s > 0 — целое,

bv . . . , bn— целые числа

с

условием

н.о.д. (Ьѵ

. . . ,

bn).=

1,

а в качестве ср(а) взять /Г", где

й =

піах([61|,

. . . ,

|ön|) =

0.

Следовательно, получаем: для почти всех

(a',

.. .,

а Л) £ R'!

нера­

венство

--------г сепЬ$КЬ~я

(15)

выполняется бесконечно часто. Аналогичное верно

для

неравен­

ства

(“ iff}-!----- + angln} < r \

(16)

где g],...,gn, / — натуральные

числа,

(g i,..., gn) = 1.

Факти­

решений (15),

(16). Вывод таких теорем для «индивидуаль­

ных» наборов

(ось ..., ап) — «непостижимая»

задача для

современных

аналитических методов.

Мы закончим

этот параграф формулировкой

еще одного

Т е о р е м а

10. Пусть

г, s, п — натуральные

числа с усло­

вием 1 -і;; /' < s

и. При

любых <2; (1 і *С и, і ф г, s) и поч­

ти всех (ап as) неравенство

{«і<7 + аа<7я Н------- Ь anq"} < q~*

(17)

теме предыдущих параграфов.

п > 0 — це­

Пусть со — вещественное трансцендентное число,

лое,

Н > 0 — любое. Положим

wn (со,

Н) — min |а0 -Ь аусо + • • • — я„соп|,

где

минимум берется

по

всем целым я0,

cZj, . . .,

ап с условием

h =

max |а;! -< Н

(1

<

і .< п).

Функция

wn (со,

Н)

называется

мерой трансцендентности

числа

со, и одна из главнейших задач

дентности чисел определенных классов, состоит в том,

чтобы

дать по возможности лучшую оценку снизу для функции

wn (со,

ном Н, то для

некоторых со

удается

получить

удовлетворитель­

ную информацию (например,

для

со =

ег,

г — рациональное чис­

ло). Положим

— In ш„ (со,

Н)

wn (со) = Пт

\пН

Н -*■ с

о

или,

что

то же

самое, обозначим через wn (w)

точную

верхнюю

грань

тех

ш >

0, для которых неравенство

Iа0-f fljCo 4 - • ■• ч- апсо"| <

ä ~w,

а — max |яг| Ф 0,

(18)

(О

величины wn (со), и доказал,

что почти

все

числа попадают в

один класс (S-числа). Он доказал,

что почти все со удовлетво­

ряют неравенствам п < wn (со) -С 4/г.

(п = 1,

2,

.. .)

и

высказал

гипотезу, что почти

всегда wn (со) =

п

(п = 1,

2,

. ..).

Сравни­

тельно недавно эта

гипотеза

была доказана

[13 — 15].

Аналогично

можно

определить шп(и)

для комплексных

чисел. Для

них также известно, что

почти

всегда

шп (и) =

= (/і— 1)/2

(и = 2, 3,

...).

Т е о р е м а

11.

Пусть ну„ (со) — точная верхняя грань тех

w > 0, для

которых

(18)

имеет бесконечное

число

решений.

Тогда

(п =

1,

2,

. . .) для почти всех вещественных со,

wn(w) = In — 1

(н =

2,

3, . . .) для почти всех комплексных со.

Рассмотрим

вместо

неравенства

(18)

родственное нера­

венство:

|со — х |<

h~w- [,

(19)

где к — алгебраическое число

степени

не

более /г, Ііх — его

Т е о р е м а

12.

п

(п= 1, 2,

. . .)

для почти всех вещественных со,

И.'* (со) =

/?. — 1

(п = 2, 3,

. . .)

-

11

-------

для почти всех комплексных со.

“»*(«>) >

- у Ип И + 1).

(20)

(/г= 1, 2, ...)

К (со) >

wn (со)

(21)

wn (со) — /г-1-1

(22)

(/г = 2, 3,

...)

w*(co) >

wn И

(23)

24, И — п + 2

Соотношения (21)

и (23) показывают, что теорема 12 следует

из теоремы 11. Из

«принципа ящиков» Дирихле легко следует,

и а>„(со) ^

(п—1)/2 для всех комплексных. Поэтому из

(20),

(22)

получаем:

. . .

п + 1

для

всех вещественных трансцендентных

со,

ш*(со) >

—-—

^

,

п — 1

для

всех комплексных трансцендентных

со.

ву*(со) > —-—

а также то, что в

случае

вещественных

чисел оц (с о )^ 1,

Ш з(со)^2 [32] и в

случае

комплексных

чисел

w* (со) ^ 1 /2

(очевидно). Мы сталкиваемся здесь с интересной

ситуацией,

более тонкие

неравенства.

монотонно

Т е о р е м а

13. Пусть f (а ) — положительная

убывающая функция натурального аргумента

а,

ряд

Zf (а)

сходится. Тогда для почти всех вещественных

чисел со

нера­

венства

< f“(а), а = max \at\ ф 0,

К -г а1м -Г • • • ~

(24)

(£)

а 'п+1 f (а),

и в случае комплексных чисел на a~n/~+l f ,2(a).

При

я = 1, 2,

3 это

верно.

Вернемся к

рассмотрению величин wn (со) и wn (со). До

по­

функций, в частности, существуют ли такие числа со, что wn (со)

или Wn{со)

принимают заданное значение.

Недавно

Бэйкер и

Шмидт [25]

полностью решили этот вопрос

в

случае

функции

w*n(со), что

в силу неравенств (20) — (23) дает

информацию и о

Т е о р е м а

14. Для любого оу>

я

размерность

Хаусдорфа

множества тех вещественных чисел со,

для которых да,] (со) = да,

есть (я -f 1)/(да - fl) .

Следовательно, да„(со) принимает все значения от я до беско­

нечности без

пропусков.

Вероятно,

утверждение,

аналогичное

теореме 14, верно для функции да„(со).

Интересно

заметить,

что в доказательстве теоремы 14 су­

щее в основе доказательства теоремы

14.

Р(х) = a 0- f a 1A:+ ...

В левой части (18)

стоит многочлен

...+ апхп от одной переменной х. Рассмотрим

аналогичное не­

равенство, где вместо Р(х)

стоит квадратичный многочлен от

переменных х\, ..., х п:

P(xlt . . . , * „ ) =

2

аихіхі +

2

аіхі

(ап = ал')-

К і, /</і

Т е о р е м а

15

[12,

16].

Пусть сох,

.. . ,

соіг — вещественные

числа, ш0(со1,

. . .

, соп) — точная верхняя грань

тех да > О, для

тичных многочленов

Р (лу,

. . . ,

хп),

удовлетворяющих неравен­

ству

h =

І ^ К - . . . ,

юп)|| <

/Г®,

max (|ягф

|oft|) # 0 .

(£. /, k)

Тогда для почти всех (сох,

.. . , соп) верны равенства

,

/I (я -f 3)

,

о

Q

\

Щ (аѵ ... , con) =

------

2--------

(я =

2,

3,

. . .).

§ 5. Приближения зависимых величин

Пусть аѵ . . . , ап — вещественные

числа. Обозначим

через

да(аѵ . .. , ап) точную верхнюю грань

тех w > 0, для которых

неравенство

ІІа А + • • • "г а п.апІІ< a~w> а = max |а,| =f=0,

(25)

(£)