книги из ГПНТБ / Актуальные проблемы аналитической теории чисел [сборник]

Jm

l= D n

к

V

*

и

р t

1 1 р

~

о

ЬО„,

-і- о { м ( к - Dm

+ 1)

Ѳ,

= ( k - D m + 1) X

Ѳі

X

■(t,

s) ds -)- 0

f M

ln Hh

-I- H„

Ѳі

где

Hh— произвольное

число с

отрезка

[2, k — Dm\.

Вставив

полученное выражение в равенство (13), получим

Dт- 1

А„

У ]

ф к (0 g

It,

0 (t -г k) J l - ) 0

0i

k= D ..„

1

Dm—1

=

'•

(b — Dm +

1) (Фк (t) — Ф*+1 (/)■) I g (t,

s) ds +

~J—

У

fc=Dr

M

Dm—1

0

У

(& — Dm -f 1) I Ф#і (Л — ф,,+1 (0 1 X

ѳ 'Г

—

k= D „

X

-ь я *

ѳ,

(14)

Яь

0,

Но,

по определению ФЛ(t), при

k < Dm— 1

|Ф/Л0 “

ФА+і(*)І =

Л я

Ф

\Я

t -г k У'

— ф \Я

і у k -I- 1

Л„

л „

л „ ,

і - 4 к - Ф ' ( , - ( - І ± А

1 —

Л,„

гп>( „-! j t+ k + 1

л „

-Ф [Я

л „

л

т

\

\

л

т

Оба множителя в знаменателе не менее

чем е2/2 при т > т 0,

а функция

cp' (q"1(2)) удовлетворяет

условию Липшица, так как

ср(ё) дважды

дифференцируема. Поэтому

|Фй( 0 - Ф й+і (0| =

О

2 fl'7*

80Ü1

н остаточный

член

в равенстве (13) будет иметь порядок

М

ln HD._,

Ѳ.

in

2

£2

м

D

—2

Ѳ.

1

2 r\2tn

= Qm-

е2Ѳі

ft=D„

®і

Выбрав

здесь

Hh = k — Dm + 1,

к — Dm.< |

|"! и Яй =

Ѳі

, k - D m>

,

получим

для

Qm оценку,.

0О

0,

имеющую

порядок

/Ие2'/л 102/Ѳ1 ] " . Равенство

(14)

примет те­

перь

вид

1

D — 1

/

^

P (^ -/e)h

- О

02

Ф* (Qg'U,

л„

01

£> —1

ТП

лп

Ѵ і

— Dm +

1) (Фл (0 — Ф/і+1 (*))

£ (*. s) ds ■+

ft=Dr

-I-

О

Л4/П

02

л„

Ф0(*)£(*.

s) ds +

9

e2

Ѳі

л„

dt

g (t,

s) ds

л » =

■**jn

+ ОІМ

82 ' öl

mzn

02

0!

Сделав здесь в интеграле

по t

замену

переменной t —>- tAm —

— cp (t) Ат и заметив,

что

=

I detV/ I 2

1Ѳх Г"1

I Ѳх Г ,п,

мы получим

1

ъ

Мт

g{tAm —Л ’ ф (t),

S) ds О

5

■ " 1 * 1

ео

О

а

Для завершения

доказательства

следует

воспользоваться

лем­

мой 2, положив в ней

p(t) = t -----ф (0,

F ( t ) = g (t,

s),

А =

Am,

В = М.

**тп

З а м е ч а н и е

1.

Если в основной лемме /

считать

|0 J >

> | Ѳ а| > 1 ,

то справедливо следующее утверждение.

Предположим, что на отрезке [а, Ь] у

нас w.zl— ау22ф' (§) =

= 0, т. е.

ф (I) =

§

— р с,

где с ■— некоторая постоянная.

^22

a

Q

JW"1 =

(5) wa> % (I) - -•а,» - « ,11Ф(|)_ ,

— w

ь

о

I r a = j g № т )

=

(Ѳ?Ч2 т wiv e?!Tj)2 (ё) Ш22) dl =

1

W.22

Рл) dr\,

Р =

®2іѲ2Ч 2 (5)

W.21

Применив к сумме под знаком

интеграла

лемму

1, убедимся в

справедливости замечания.

ф (£)

в

основной лемме I

О с н о в н а я

л е м м а

II. Пусть

такова, что на отрезке [а, Ь]

ф" © > е3 >

0

(ф" (I) <

— е3 <

0).

Тогда

ь

j g Р П dl = (b - а) J £ ( X ) dx + О ^y L I 0J

а

£2

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно провести для случая т=

— 2и. Если т — 2п -'г 1,

то

вместо функции g (х)

следует

взять

g (хІЕ), которая будет удовлетворять

условию

Липшица

с кон­

стантой О(-М). Обозначим

Ѳ= Ѳг

Как

легко видеть,

можно

взять Wj = (а21,

0 — аи)

и

w2 =

(о21, — 0 — ац)

и мы

будем

иметь Л2п = Ѳ2я,

Л2п = М2п =

0,

Моп =

— Ѳ2". Поэтому

ь

ъ

I2п

g (iw*") dl =

j g (£02",

Ѳ2пф © ) dl =

bQ-n

а

1

g

( Л>

02,ІФ

11

0 2 «

02«

= i'

S 'g (

ѳ‘"ф(

) d4 + 0 ( т ~г%

о

ь5іп

где Qn

----- [аѲ2"],

Qn = [6Ѳ2л]. Взяв

в лемме 3 Q =

Ѳ2л, D =

QH,

D-'r P — Qn, F (x) = g (4, x),

а = 1

и

заметив,

что PQ-1 =

b —

— a -f- О(Ѳ_2л), получим для

суммы

под знаком

интеграла

вы­

ражение

1

21

( -4L- 10 j

Ф — а)

Г g (л,

x) dx -j- 0

3

J

VV e3

о

откуда

и следует требуемое.

З а м е ч а н и е

2. Положительность ср"(|) (отрицательность)—

существенное условие. Если

взять

ср (|) = Ipq'1,

где р, с/ — це­

лые числа, q -ф 0,

то при т —>- оо

не

будет даже иметь место

j

g (ë№m) d l ^ -ф — а) J g (x) dx.

a

О

ь

f g{lW2n)dl =

ф — а) j

g(x)dx

ОфгМГ^).

(15)

а

Q

Доказательство получается с применением леммы 1.

О с н о в н а я

л е м м а

III.

В

условиях

основной леммы II

имеет место равенство

ь

“g(JWm) dl = ф -

а) j g (х) dx

- О (

I 0

а

Р

где 0 наименьший по модулю

корень

характеристического мно­

гочлена матрицы W.

(Напомним,

что 0 — целое число,

0 Ф

=7^0,

±1).

1°. Предположим, что матрица W та­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

кова: а12а.п — 0,

а12+

а.п =^0.

Тогда у нас Ѳ1 = а1ѵ

0.2 =

а22.

Для

определенности будем считать

|01| > | 0 2|. Имеем

в

этом

случае

Іт =

J g

dl =

j g ( QTq(ё),

0 2 !Ф(£)) dl,

а

а

1 —

Ѳ2 \т

ф(£)-

Ѳ, - 0

2

1 Г

Предположим сперва, что на отрезке

[а, Ь]

J _ ,,Q12 ■ °21 ф/ ф

[

1 _

Ѳ.

> 6 > 0 . (16)

0і — Ѳ2

ѳ,

Тогда в интеграле Іт можно

сделать замену переменной л =

= Wq Й):

&"q(b)

ф*

= ф/,(л) =

(q' [q 1

(J L ± J L

0 ,< k < D„

ѲГ

« V

=

< V (Л) =

0,

F(f)

=

g (л,

t),

мы для

суммы под знаком

интеграла

в (17)

будем иметь вы­

ражение

D

—I

Ѳ'Г

ф „F

ѲГф

q 1 (

Л +

k

—

Ф(q~l (Ю) =

—p ^ 1Ф)-

63

dl*

1

]

(q'(q-4D))3 >

если ф "

(ё )

>• е3>

0.

(Случай

ф "

— е3 < 0 аналогичен).

По­

этому к

внутренней

сумме в правой

части

равенства (17)

мы

.вправе применить лемму 3, взяв в ней

ьз

D =

Dm, D

Р = k, Q — Ѳ'Г,

а

=

ln IѲ, I

б3

" Щ і

Лемма

3 дает

F

ѲГф q-1

/'J l + A

= (k

~ D m Т

І )

F(x) dx --

1= D „

0

Мб3/2

2—a

(■--у)

ІѲ,

/ё 'з

D„ 4-

1

Так как

|Ф,( — ФА+1| — О (б 1Ѳі "!),

Д„,

то, подставляя

это выражение для суммы в равенство (18), будем иметь

D

—1

Подставив это выражение для sm в

(17) и сделав там в интегра­

ле обратную

замену переменной

т] -- Ѳ”'< (ё),

получим

1

ь

О

m(2—a)

Іп = f dx Гg(QTq(£), X) dl -f

( ~ Mr~

(10i I

ma

63l/e

4- 10,

3

) ■

М

rni'2—a)

т а

Іт = Ф — а)

g (х) сі\ -!- О

~~

б3

—

№

I0J

°)

(19)

Это равенство получено в

предположении

условия

(16).

Пусть

теперь (16) не имеет места. Но ср"(£) >

е3> 0

(cp"(s) <

е3 <-'

< 0 ) . Поэтому

^12 "Т ^21

в,

у»

q' (І) = 1-

1 —

Ф' (ь)

Ѳ.-Ѳ*

0х

I

Іо от­

может обратиться в нуль лишь в единственной точке | =

резка [а,

Ь].

По формуле конечных приращений Лагранжа имеем

где I* лежит между £ и £0. Отсюда

следует,

что при j £ — g01>

> б х

будет

I q' (£) | >

с б ^ ,

О

0, и на

отрезках

[«, £0 — 6J,

[£0 +

öp

b] мы вправе

применить оценку

(19). А

так как

I

j

g ( P 'm) ^

| <

2УИб15

IS-ІоКб.

то в

нашем случае

!т = ф

— а )

f g (х) dx +

й

ш(2—а )

т а

О

М

б.

16J-

3

+ ] Ѳ і Г 3~

(20)

б Ь 3зК е 3

Так

как

а =

1п | Ѳ3 j/ln I Ѳх j,

то

m i 2—а )

т а

т а

2т (1—а)

| ѳ . Г

3

-L | 0 . Г

3

= |0.|

3

(1 +

IBJ

3

) =

=

о ((Ѳ31

3),

7

tu

положив

в (20) бх =

е3

8 | Ѳ2 1

12,

получим утверждение

основ­

ной леммы III в случае 1°.

2°. Матрица

W такова, что а^агі^О . В этом случае выра­

1°. При

а12а.21 = О

Ат =

(а12 + ап) тВ'".

Лт

= — Мт =

Ѳ"!, Мт = 0,

2°. При

а12а.21 Ф О будем иметь

Ат = (mön — Ѳ(т — 1))Ѳ'"-\

Ат = — т а 12Ѳш_1,

Mm =

— (б — 0ц)2

т

Ѳ"'-1,

Mm =

— (0 (in + 1 ) — тап ) Вт 1.

О с н о в н а я

л е м м а V.

В этом случае

характеристиче­

ский многочлен

имеет

корни

0: = Ве2л,ѵ, 0., =

Ве~2ліу. Выраже­

ния для компонент lW'n

имеют вид

sin 2лу

Am = -

sin 2лmy

0"‘- Ч 2

sin 2лу

м

=

_

дш-1

лт-

. Ѳ3 +

2Ѳац cos 2лу -j- а\{

sin 2яту

sin 2лу

^12

лі'

_

a m - i

an sin2nmy — 0 sin 2л (m

1) у

sin 2ny

Рассуждая,

как и в основной лемме III

(условия на ср(|)

те

же

самые),

получим равенство

ь

т

g

=

( b - a ) \ g(x)dx

+

0 \

.

(21)

§ 3. Доказательства

теорем

Д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы 2. Во

всех вариантах основной

леммы при условии ср" (£) > е >

0 (cp" (g) <

— е <

0) гарантировано

утверждение: существует

столь малая

постоянная с1> 0 ,

что

j

g (W m) dl = (b -

fl) j* g ( X ) dx -!- 0

e -c'mj .

(22)

а

£2

Возьмем

6 > 0

и выбросим из отрезка

[а, Ь]

интервалы

(|;- — б,

lj + б),

где

— нули

ф"(ё).

На

отрезках

[^-+6, | ;+1 — б],

1 - < /< > ,

у нас

ср" (I)

не

меняет

знака,

и,

согласно

условию

теоремы

1,

на

них

| ср" (£) | >

Яб“ =

е.

Применив к каждому из

отрезков

оценку (22),

будем

иметь

V

; - !

%J+,-а

(W")dl =

/=і

ij+6

— (Ь — а— (2ѵ — 1)6)

1 g(x) dx -і- О

< М

-г

г.2ш

Так как |g(x)|< . М, то отсюда получаем

(lWm) d£ = (b — a)

\ g (х) dx

О ІМ

6 4

С Н У ! .

J « '

б2“

В силу произвола б > О это

значит,

что при некоторой постоян­

ной с.2 >

О

f

g d ^ " 1) dl =

(b -

а) J

g ( X )

dx -

О (Me~c>'n).

(23)

Пусть теперь g (x) имеет

вид g1({x}), где g1(x) удовлетво­

ряет в квадрате Q = (0 <

xv

x2 <

1} условию Липшица

I gi ( x )

— gi ( x ' )

K

^ J x - x ' l ,

X ,

x ' ( Q.

(24)

По e > 0

определим на отрезке

[0,

1] функцию

' X ,

0

X

<

1 — е,

Фе М =

1

(1 — X),

1 — е -<х <

1,

I g l ({*}) — Si (Фе(*і).

Фе (л'3)) Г" <

<- Л4?(I К } —фе (Л'і) I2 +

|{Л'2} — ФЕ(л-,) I2)