книги из ГПНТБ / Актуальные проблемы аналитической теории чисел [сборник]

здесь не исключается случай нечетного s (равенство (18) дает формулу типа Эйзенштейна, если s четно и справедливо ра­ венство (14)).

Этот подход, давая большое число формул типа Эйзен­ штейна, не может гарантировать получения всех таких фор­ мул. Весьма интересным исследованием в этом направлении является работа [12].

§ 6. О формулах типа Шенеберга

Переходим к рассмотрению случая, когда в формуле (15) допускается ненулевой дополнигелный член Д(т; Q). Пусть

Будем говорить, что (15) есть формула типа (I, I) Шеііеберга, если А(т; Q) представлена в виде линейной комбина­

называть формой типа (1, I) Шенеберга. Тем самым мы даем новую конкретизацию понятия «точной» формулы для количе­ ства представлений чисел квадратичными формами. Формулы типа Эйзенштейна можно рассматривать как частный случай

130

Здесь g(Q, n) определена равенством (7); б(Q, п) есть конеч­ ная линейная комбинация функций вида

определенных равенством (6)) конечными линейными комби­ нациями обобщенных тета-рядов. Он выделил бесконечное число типов модулярных форм, для которых такое представ­

под рассмотрения Эйхлера. Было бы крайне интересно рас­ ширить исследования на возможно большее число модуляр­ ных форм (в идеале — найти необходимые и достаточные усло­

сложных исследований. Обобщение результатов, полученных Ранкиным [21], Коганом, Мирсалиховым и Сагинтаевым [5— 9, 16], приводит к следующим предположениям.

Г и п о т е з а (S). Для каждого положительного четного числа t найдутся такие целые положительные числа /0 = /0 ("t)

и io= lo{t), что при І^ іо имеется лишь конечное число классов примитивных квадратичных форм типа (і, I) Шенеберга, при­

не будет такой «абсолютной» конечности, как, по-видимому,, это имеет место в случае формул типа Эйзенштейна и типа Лиувилля. В связи с этим очень важно найти минимальные

(«истинные») значения /0(/) и /<>(/), по крайней мере для ма­ лых t. Возникает следующая проблема.

минимальное значение 10(і) и Г0(t). В частности, доказать или опровергнуть гипотезу (L).

Конечно, при доказательстве тех или иных гипотез конеч­ ности здесь возникают и задачи, аналогичные задаче 6. Раз­ личные частные случаи гипотез (S) и (L) рассматривались Коганом, Мирсалиховым и Сагинтаевым [4—9, 16], исполь­ зовавшими метод Ранкина [21] с привлечением оценок на­ именьшего невычета. Несомненно, эти рассуждения допускают обобщения.

можно в принципе построить алгорифм, который, последова­ тельно перебирая классы форм, упорядоченные по возраста­ нию дискриминанта, находил бы все формулы типа (i, I) Шенеберга (если таких формул бесконечное число, то все форму­ лы для дискриминантов, не превышающих данной величины), только при условии, если будет доказано следующее обобще­ ние теоремы 2 Когана [4] (см. [5], стр. 131— 134).

ные формы ступени М. Пусть и' — целый вектор, удовлетворяю­ щий условиям типа (4) для формы R'; иЛ, . . . , uh — полная система несравнимых (mod М) целых векторов, удовлетворяющих

=1..........г).

За д а ч а 10. Доказать или опровергнуть гипотезу (К).

Вероятно, гипотеза (К) справедлива, и ее доказательство не­ сложно**). Из гипотезы (К) следует, что пространство S t|, (N) имеет конечный базис. Действительно, по гипотезе (К) достаточно ограничиться рассмотрением сх(т; R, и; Р) с неэквивалентными формами R ступеней M\N, но таких форм в силу (2) конечное число. Для данной формы R достаточно ограничиться рассмотре-

*> Можно доказать, что пространство Я-гармонических полиномов дан­ ной степени I конечномерно. Недавно Г. А. Ломадзе (Тезисы докладов

Всесоюзной конференции по актуальным вопросам теории чисел, Самар­

132

неопределенных коэффициентов, мы всегда определим для дан­ ной формы Q, принадлежит Aft; Q) пространству <5ltl (N) или

здесь еще надо разработать методику построения базиса, ра­ циональным образом организовать вычисления с тем, чтобы при использовании ЭВМ алгорифм построения формул типа Шенеберга был реально осуществим *).

З а д а ч а 11- Разработать реально осуществимый (при использовании ЭВМ) алгорифм, определяющий, является ли

§ 7. О квадратичных формах с нечетным числом переменных

Интересно перенести эти исследования на случай нечет­ ных S. Однако здесь возникают принципиальные трудности, связанные с тем, что теория модулярных форм полуцелой раз­ мерности существенно сложнее (и беднее результатами) клас­ сической теории модулярных форм. Тем не менее возможно построение рядов Эйзенштейна для полуцелой размерности (а для построения особого ряда H(Q,n) четность или нечет­ ность s существенной роли не играет). Задачи и гипотезы § 5 естественным образом переносятся на нечетное число пере­ менных S. Не рассматривая теорию рядов Эйзенштейна для полуцелой размерности, можно ставить вопрос о доказатель­

*> Мы должны обратить внимание на сноску на стр. 129 в связи с за­ дачей 6 и подчеркнуть, что вычисления формул типа Шенеберга существен­ но сложнее и существенно более трудоемки, чем те, которые нужны для построения формул типа Эйзенштейна.

133

§ 8. О формулах типа Вейля *>

Хотя основная цель нашей статьи — проблематика формул типа Шеиеберга (включая формулы типов Эйзенштейна и Лиувилля), коротко рассмотрим формулы другого типа, кото­ рые мы будем называть формулами типа Вейля. Очертить тип «точных» формул — значит указать множество параболи­ ческих форм некоторого стандартного вида, так что A(r;Q) должна представляться конечной линейной комбинацией этих стандартных форм **). Определение формул типа Вейля свя­

рrt=l

где произведение берется по всем простым числам р\ сомножители

названием формул «типа Вейля — Эйхлера»), Однако конкретные формулы подобного вида рассматривались ранее А. Н. Андриановым, Л. А. Коганом, О. М. Фоменко и др. (см. [5], дополнения 1—3; [7]; Матем. заметки. 1971, 9, 71—76, и цитированную там литературу). А. Н. Андрианов п О. М. Фо­

**> Наша терминология в теории «точных» формул — формулы типа Шеиеберга н формулы типа Вейля — определяется тем набором стандарт­ ных модулярных форм, через которые выражается дополнительное слагае­ мое А(т; Q) формулы (15) (см. теорему § 3 и гипотезу (W) ниже). На­

звания чисто условны и не содержат никаких «приоритетных» намеков. Терминология Л. А. Когана — формулы типа Гаусса—Якоби, типа Лнувилля, типа Булыгина — Морделла, типа Вейля — Эйхлера и т. д.— нам пред­ ставляется тяжеловесной и неудачной в других отношениях.

***) Арифметическая теория эллиптических кривых излагается в обзор­ ной статье Касселса [3] ( и в цитированной там литературе).

134

З а д а ч а 13. Выписать в простом и явном виде множители Ь{р 'к) (2) для всех простых р (включая «плохие»).

В работе [7] предлагается набросок доказательства ги­ потезы (W) в случае четного числа k для эллиптических кри­ вых С с комплексным умножением (без уточнения множите­ лей L p'kc (z), относящихся к «плохим» р ). Естественно, воз­

никает следующая проблема-

З а д а ч а 14. Доказать или опровергнуть гипотезу (W) для возможно более широкого класса эллиптических кривых

По-видимому, методами, использованными в работе [7], можно доказать гипотезу (W) для кривых С с комплексным умножением в полном объеме, без исключения «плохих» р (конечно, при условии, если будет решена задача 13).

Пусть в какой-то части доказана гипотеза (IF) (в идеале— полностью), т. е. мы имеем следующее утверждение.

Т е о р е м а (WQ^). Пусть £ — заданный класс эллиптических

Л.А. Коган выдвинул следующую гипотезу.

Ги по те за (117/<"). Число классов примитивных квадратичных форм типа Вейля конечно (даже если гипотеза (W) будет доказана в полном объеме).

ной квадратичной формы Q формула типа Вейля может'быть в принципе построена методом неопределенных коэффициентов.

Пусть для квадратичной формы Q имеет место формула (15) типа Вейля. Тогда

r(Q,n) = g{Q, n) + 8(Q, п),

135

где б(Q, п) — конечная линейная комбинация коэффициентов ап= а ^ 'к) функций вида (23). Эти коэффициенты для «хоро­

шего» простого числа р могут быть представлены при s = 4 в виде (Л. А. Коган [5] и цитированная там литература)

Случай s> 4 см. [7]. В связи с этим возникает следующая

проблема.

З а д а ч а 16. Найти удобные правила а) выписывания кривых С данного конструктора; б) выписывания коэффици­ ентов ап для любых, в том числе и для непростых индек­ сов п.

Итак, мы фиксировали два типа «точных» формул — фор­ мулы типа Шенеберга и формулы типа Вейля. Интересно вы­ яснить их соотношения: для каких форм типа Шенеберга (в частности, форм типа Лнувилля) имеют место формулы типа Вейля и наоборот.

пер.), 1964, 8, № 6, 3—6с (G и п n і n g К. С. Lectures on modular forms. Ann.

смотрением эллиптических кривых (обзорная статья). Математика (сб. пер.), 1968, 12, № 1, 113—160; № 2, 3—48 (С а s s е I s J. W. S. Diophantine

формул для количества представлений чисел положительными квадратич­ ными формами. ДАН СССР, 1968, 182, 259—261.

5.К о г а н Л. А. О представлении целых чисел положительно опре­ деленными квадратичными формами. Ташкент, «Фан», 1971, 188 стр.

6.К о г а н Л. А. Гипотеза И. М. Виноградова о наименьшем квадра­ тичном невычете и представление чисел квадратичными формами. ДАН

СССР. 1971, 198, 1263— 1264.

7.К о г а н Л. А. Эллиптические кривые и модулярные формы. ДАН

СССР, 1972, 204. 275—278.

8. К о г а н Л. А., М и р с а л н х о в А. О представимости тета-рядов рядами Эйзенштейна. ДАН УзССР, 1971, № 2, 6—7.

9.К о г а и Л. А., С а г и н т а е в А. О некоторых формулах типа Бу­ лыгина—Морделла. ДАН УзССР, 1971, № 4, 6—8.

10.Л ом а д з е Г. А. О числе представлений чисел положительно опре­ деленными диагональными бинарными, тернарными и кватериариымп ква­ дратичными формами. Диссертация, ЛГУ, 1963.

11.Л о м а д з е Г. А. О представлении чисел положительными тернар­

136

Д.А. Москвин.

ОТРАЕКТОРИЯХ ЭРГОДИЧЕСКИХ ЭНДОМОРФИЗМОВ

ДВУМЕРНОГО ТОРА, НАЧИНАЮЩИХСЯ НА ГЛАДКОЙ КРИВОЙ

алгебраический эндоморфизм й. Будем рассмативать лишь такие матрицы W, среди корней характеристических многочленов которых отсутствуют числа, равные по модулю единице. Известно,

какая-нибудь дифференцируемая кривая в Й, заданная пара­ метрически через переменную £. На L естественным образом

138

по мере Лебега [9] .В случае, когда 0—квадратичная иррациональ ность, мы продвинемся в этом вопросе и увидим, что он по су­

цируемой границей и функция ср(£) удовлетворяет условиям тео

139