книги из ГПНТБ / Актуальные проблемы аналитической теории чисел [сборник]

В других обозначениях ([15], стр. 12—16): N — II pes(p)(°)

Пусть я — натуральное число; обозначим через г (Q, я) коли­ чество представлений числа я формой Q:

Поэтому при изучении функции r(Q, п) достаточно рас­ сматривать только примитивные формы Q, выбирая из каж­ дого класса лишь по одной форме

Эта важная и сложная арифметическая функция привлекала внимание многих исследователей. Еще Ферма доказал, что r(Q,

и произвольного положительного числа я..

Гаусс впервые стал получать сравнительно простые формулы для г (Q, я), когда Q— бинарная квадратичная форма, в роде которой имеется только один класс (определения см., например,

минологии все получаемые на таком пути формулы являются формулами типа Эйзенштейна (см. § 5).

Еще в середине прошлого века Лиувилль стал получать другие формулы, по нашей терминологии формулы типа (2, /)

Шенеберга (см. § 6). Булыгин н Морделл в случае Q = а'Т+

+ . . . т ^ рассматривали и формулы несколько более общего вида—-по нашей терминологии, формулы типа (t, I) Шенеберга

*> Основные понятия и результаты арифметики квадратичных форм изложены в книге [20].

.120

§ 2. «Точные» формулы и тета-ряды

Задача получения формулы для r(Q, п), годной для всех п, сводится к задаче получения формулы для тета-ряда

которой линейной комбинацией каких-либо стандартных моду­ лярных форм, например, обобщенных тета-рядов (см. ниже, § 3—7). Тем самым мы определенным образом конкретизиру­ ем расплывчатое понятие «точной» формулы. По-видимому, далеко ие все известные формулы подходят под такое пони­ мание «точной» формулы (см. ниже § 8). Степень общности нашего понятия можно определить лишь экспериментально —

изучением уже известных формул.

З а д а ч а 1. Составить исчерпывающую библиографию статей, посвященных «точным» формулам и смежным вопро­ сам (например, соотношениям для числа классов h(—d)). Со­ ставить «реестр» точных формул, т. е. список (картотеку) всех классов квадратичных форм, для которых известны «точные» формулы, сопровождаемый всеми известными вариантами са­ мих формул. Дать исчерпывающий обзор исследований по теории точных формул.

Частично эти задачи решены в монографии Л. А. Когана [5] — там приведена обширная литература (стр. 147— 156) и выписано большое количество формул для числа представле­ ний. Однако список литературы [5] (куда включены и неко­ торые работы, не относящиеся прямо к теории «точных» фор­ мул) никоим образом не может считаться исчерпывающим.

§ 3. Обобщенные тета-ряды как модулярные формы

Пусть

122

— целочисленная положительно определенная квадратичная форма с четным числом переменных t\ M — N ( R ) — ее сту­ пень. Пусть

/ иг \

и=

—целочисленный вектор, удовлетворяющий условию

//и

123

С л е д с т в и е . 0’ (т) = ■{)■(т; Q) — целая модулярная форма ступени N и веса — s/2.

Интересно (особенно для дальнейших приложений) рассмотреть

ут 4- б конечного индекса полной модулярной группы Г, например,

(т. е. однозначно определяются коэффициенты сѵ,6 в формуле (5)): 1) G(r; Q) есть линейная комбинация приведенных рядов

Эйзенштейна G*s (т; у, б; N): ~2~

s

—2 надо использовать аналитическое продолжение (как это делается у

Гекке [19]. Вместо G*s (т; у, б; N) можно рассматривать «общие» ряды

Т

Эйзенштейна G * (т; у, б; /V), но тогда коэффициенты разложения G (т; Q)

Т

по этим функциям не определяются однозначно.

124

рядом; доказать, что эту функцию можно аналитически про­ должить до 2 = 0; далее определить:

для теории «точных» формул, но и для других разделов ариф­

(последовательность, стоящая в (12) под знаком предела, ста­ новится постоянной, начиная с некоторого w = wp; поэтому предел (12) существует в) получить удобные конечные фор­

то в конечное — это в частных случаях было проделано Р. И. Беридзе [1]; желательно все эти формулы как-то упростить);

г) найти для H(Q, п) оценки сверху и снизу, лучшие, чем в мо­ нографии [/5], стр. 71—76 (с тем чтобы по п отношение верхнего и нижнего предела имело логарифмический порядок, а не степенной); д) доказать (при четном s), что

лагается дать доказательство эквивалентности этого и предыдущего опре­ делении H(Q , п).

126

Модулярность G(x; Q) доказана Зигелем [23], стр. 573— 575, [24], стр. 34, в случае s> 4 . Приведенные там формулы позволяют, по-видимому, доказать и равенство (14) при л'>4. Л. А. Коган заметил, что задача Зд) непосредственно сводится к теореме Шенеберга [22] (см. выше, § 3), если учесть, что по теореме Зигеля [23, 24] (см. также [20], стр. 123—124)

G (т; Q) при s > 4.

Если эта гипотеза верна или имеют место какие-либо другие

где А(т; Q)— параболическая форма. Очень важный класс «точных» формул доставляет нам тот случай, когда тождественно

А (т; Q) = 0

127

Формулу типа (16), (17) условимся называть формулой типа Эйзенштейна. Можно выдвинуть следующее предположение.

Г и п о т е з а (Е). Число классов примитивных квадратич­ ных срорм Q с четным числом переменных, для которых имеют место формулы типа Эйзенштейна, конечно, т. е. а) найдется такое число s0, что для s ^ s 0 формул типа (16) не существу­ ет; б) по s найдется такое число D0 = D0 (s), что не существу­ ет формул типа (16) для форм Q дискриминанта D (Q )^ D 0.

З а д а ч а 5. Доказать или опровергнуть гипотезу (Е). Если она не верна, найти условия, при которых имеет место формула (16).

что должным образом обобщенный метод Ранкина можно приме­

получил гораздо более слабый результат — эффективно доказал конечность числа одноклассных дискриминантов.

Заметим, что из гипотезы (Е) сразу же следует, что число одноклассных родов (а тем более одноклассных дискрими­ нантов) целочисленных положительных квадратичных форм конечно, ибо, согласно известным исследованиям Зигеля (см. [20], стр. 124, формула (26)), если в роде форм — один класс, то гипотеза (Е) справедлива. А это очень важный общий ре­ зультат арифметики квадратичных форм, не известный даже в том случае, когда s фиксировано. Очень интересен и обрат­ ный вопрос: имеются ли квадратичные формы Q, для которых имеет место формула (16), но род которых содержит более одного класса (см. задачу 7).

Коль скоро при некоторых предположениях (или без вся­ ких предположений) доказана гипотеза (Е), то в принципе, мы имеем алгорифм построения (при этих предположениях) всех формул типа Эйзенштейна: а) по гипотезе (Е) имеется лишь конечное число классов форм Q, для которых возможна

128

в) сравнивая определенное число (см. [2]) первых коэффи­

ально осуществимый (скажем, с использованием ЭВМ), ко­ торый мог бы фактически высеять для нас все классы квад­ ратичных форм с условием (16). Для этого а) при доказа­ тельстве гипотезы (Е) надо дать возможно лучшие оценки для

низовать вычисления с использованием ЭВМ: составить про­ грамму, провести вычисления *>. Итак, после доказательства гипотезы (Е) возникает следующая важная и трудная про­

блема.

З а д а ч а 6. Разработать и осуществить (при использова­ нии ЭВМ.) алгорифм отыскания всех классов форм Q, для ко­ торых имеют место формулы (16), и для всех таких классов построить формулы (16) и (17).

После решения задачи 6 сравнительно просто может быть решена и упомянутая выше обратная задача.

З а д а ч а 7. Среди классов форм Q, для которых имеют место формулы (16), выделить классы, род которых одноклассен. Среди этих классов выделить те, порядок которых (в смысле Минковского) одноклассен. Среди последних выде­ лить одноклассные дискриминанты. Есть ли формы Q, для ко­ торых имеет место равенство (16), но род которых не одно­ классен?

К проблеме построения формул типа Эйзенштейна возмо­ жен другой, «облегченный» подход.

З а д а ч а 8. Используя теорию приведения положитель­ ных квадратичных форм или уже известные таблицы классов квадратичных форм, или каким-либо иным путем выделить все или некоторые одноклассные роды. По теореме Зигеля ([20], стр. 124, формула (85)) имеет место равенство

*) Следует отметить, что эта задача весьма непроста (даже в предпо­ ложении, что гипотеза (Е) в той или иной степени доказана). В частности,,

надо поставить на ЭВМ алгорифм приведения положительных квадратич­ ных форм и алгорифм нахождения всех целочисленных форм данного оп­ ределителя (или данной ступени). В настоящее время удобный алгорифм приведения известен только для s^ ß . Попытка реализации на ЭВМ алго­ рифма приведения даже в этом случае (М. Кадиров, С. Шушбаев) привела пока к довольно неутешительным (по скорости работы алгорифма при s = = 6) результатам.