книги из ГПНТБ / Актуальные проблемы аналитической теории чисел [сборник]

A4

^5I\ PÖÖ. ПУБЛИЧНАЯ-

научно-тех - ая

ДИБЛИОТЕ,,а

Сборник составлен на основе материалов работы Всесоюз­ ной школы по аналитической теории чисел. В него вошли статьи ведущих советских математиков о новейших результа­ тах. проблематике и перспективах развития ряда актуальных областей теории чисел.

Представляет интерес не только для математиков, но и для научных работников, интересующихся современным состояни­ ем теории чисел и ее применений.

іу 0223—010 96—74

М316—74

Издательство «Наука и техника». Минск, 1974.

ПРЕДИСЛОВИЕ

С 12 по 21 июня 1972 года в Минске проходила Всесоюзная школа по аналитической теории чисел, организованная лабо­

им. В. А. Стеклова АН СССР. Целью проведения школы было обсуждение и пропаганда новейших достижений аналитиче­ ской теории чисел, способствовавших тому, что эта область ма­ тематики в последние годы существенно изменила свой облик.

Оргкомитет школы предложил ряду ведущих советских математиков выступить с обзорной лекцией по теме, где авто­ ритет докладчика хорошо известен, или осветить отдельную проблему, недавно решенную докладчиком или над которой он работает. Лекции вызвали большой интерес слушателей, и было решено после определенной доработки сделать их до­ стоянием более широкой аудитории. Настоящий сборник и яв­ ляется материальным воплощением этого решения.

Помещенные в сборнике статьи касаются не только тради­ ционных областей аналитической теории чисел, но и ее новей­ ших направлений, где понятие величины тесно переплетается с понятиями арифметической, алгебраической или топологи­ ческой структур.

Каждая статья является независимой от остальных, хотя некоторые статьи связаны между собой идейно или примы­ кают друг к другу тематически. Поэтому читатель может ограничиться чтением лишь той статьи, которая его непосред­ ственно интересует. Однако он лучше поймет новейшие тен­ денции современного развития теории чисел, если ознакомит­ ся с содержанием всех статей.

Конечно, сборник не претендует на то, чтобы дать скольконибудь полное представление о современной аналитической теории чисел. Он не охватывает даже всех лекций, прочитан­ ных в школе (в него не вошли лекции А. Ф. Лаврика,. А. А. Карацубы и Н. М. Коробова). Тем не менее составители

Б. М. Бредихин, ІО. В. Линник

НОВЫЙ МЕТОД В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Введение

В современной аналитической теории чисел существуют мощные методы для решения аддитивных уравнений — задач о представлении натурального числа суммой слагаемых за­ данного вида. Значительная часть аддитивных задач решается с помощью кругового метода Харди — Литтлвуда — Виногра­

решил, в частности, знаменитую проблему Гольдбаха о пред­ ставлении нечетного числа суммой трех простых чисел,

Основой метода тригонометрических сумм является фун­ даментальная идея И. М. Виноградова по оценке двойных сумм посредством неравенства Коши — Буияковского с целью последующего их «сглаживания».

В основе дисперсионного метода (см. [2, 3]), позволивше­ го решить ряд классических аддитивных задач, недоступных круговому методу, также лежит идея «сглаживания». Эта же идея используется в методе большого решета [4], область применений которого пересекается с областью применения дисперсионного метода (в задачах, решение которых возмож­ но с помощью расширенной гипотезы Римана).

В 1953 г. И. М. Виноградов [5] применил идею «сглажи­ вания» для оценки элементарных двойных сумм. В работе [6] нами рассмотрены простейшие применения идеи И. М. Виноградова к диофактовым уравнениям особого типа:

5

о[еФ,) D’2eiD.)

где Di и Do пробегают свои значения уже без повторений. Оставляя с этого момента область гипотетических рассуж­

дений, оценим разность

градова по оценке двойных сумм путем их «сглаживания». Рас­

7

Основную трудность при решении конкретных тернарных проблем представляет вычисление суммы Vt. Эта сумма совпа­ дает с количеством решений системы линейных (относитель­ но Di и ß 2) уравнений:

стемы А = лурі — ѵірх равен нулю, а также значениями лу = ѵ[ . Нетрудно видеть, что система уравнений (11) при сделанных до­ пущениях будет равносильна одному уравнению

Если |А| имеет достаточное понижение относительно п, на­ пример, такое, при котором последовательность {а} равномер­ но распределена в арифметических прогрессиях по mod |Д| в среднем, то Ѵ\ удается асимптотически рассчитать.

Вычисление сумм Ѵ2 и Ѵ3 является, вообще говоря, более простой задачей, чем вычисление Ѵ\. Пусть асимптотический расчет показывает, что суммы Ѵу, Ѵ2 и К3 совпадают с допу­ стимой погрешностью. Тогда V”, а следовательно, н дисперсия V' будут не слишком велики.

В результате из (6) п (7) получаем асимптотическую фор­ мулу для числа решений уравнения (4). Собирая числа реше­

8

ний всех уравнений вида (4), находим асимптотическую фор­ мулу для числа решений уравнения (3).

Можно внести некоторые видоизменения в уравнения вида

(4). Например, если требуется просуммировать значения ка­

2, *■(“) “-rViDj+mOa^

сочевидными коррективами в последующих формулах, содер­ жащих а.

Рассмотрим теперь модификацию предыдущей схемы, осно­ ванную на использовании «когерентных» чисел. Эта модифи­ кация может быть полезной в случае, когда п не имеет малых простых делителей.

При подсчете дисперсии уравнения (14) сравниваем число решений этого уравнения при произвольном і с числом реше­ ний уравнения при і= 1. Если дисперсия будет не очень боль­ шой, то отсюда можно вывести, что количества решений уравнений (13) будут совпадать с допустимой погрешностью. Числа ііі в связи с обнаруженным свойством уравнений (13) назовем когерентными числами.

Таким образом,

Q = Qi 4- доп. погрешность

при і = 1 , 2, . .. , S. Отсюда следует

s

9