2. Выведем уравнение, описывающее исходный временной ряд, путём применения функции Фурье, стандартный вид которой записывается следующим образом:

.

Дополним исходную таблицу дополнительными вычислениями со значениями переменной t₁, проходящей полный круг (2π) с шагом 2π/12.

Определим значения коэффициентов a₀, a₁ и b₁, входящих в первое гармоническое уравнение (k = 1), по следующим формулам: , , .

Вычислим значения столбца y₁, опираясь на выражение, указанное выше. Также найдём значение ошибки, определяемое по формуле: , где . Приближение можно считать достаточным, если соблюдается условие: E < 5%.

Рисунок 18 – Таблица первой гармоники

По найденным значениям получаем величину ошибки E₁ = 7,64%.

Так как E₁ > 5%, то делаем вывод, что первого приближения в нашем случае недостаточно для выделения уравнения временного ряда.

Построим график распределения найденных значений y₁.

Рисунок 19 – График первой гармоники

3. Попробуем уменьшить процент ошибки продолжением определения гармоники 2-го уровня.

Формулы остаются теми же, однако T заменяется на 2*T. А y₂=y₁+ .

Рисунок 20 – Вторая гармоника

К сожалению, процент ошибки увеличился, но не увеличилось наше унывание – попробуем продолжать решать гармонические уравнения, стремясь уменьшить ошибку.

Рисунок 21 – Третья гармоника

Рисунок 22 – Четвёртая гармоника

Как видно из результатов – процент ошибки E только растёт. После четвёртой гармоники E4=10.6% > 5%.

Попробуем вернуться к началу и изучать гармонику с периодом колебаний равным 10.

Рисунок 23 – Первая гармоника с периодом колебаний 10

Рисунок 24 - Вторая гармоника с периодом колебаний 10

К сожалению, и здесь процент ошибки растёт. К тому же гораздо быстрее, чем в первом варианте с периодом колебаний 12. Вторая гармоника выдала E2=33.5%.

Возможно, что в наших данных содержатся аномалии, которые влияют на нашу обработку данных.

Попробуем проанализировать данные с помощью метода и избавиться от аномалий.

Для исходных данных рассчитываем среднее квадратичное отклонение, это сигма:

σ = 0,6707.

λ_i = |y_i-1-y_i|/ σ

У нас количество измерений = 25, для этого количества критическое значение лямбды является 1,25. Все значения лямбд сравниваются и отмечаются.

Рисунок 25 – Поиск аномалий

Было найдено несколько аномалий. Избавляемся от них – работаем с данными (y значениями), при этом мы можем избавляться от одиночных аномалий путём приравнивания соседних значений и разделения их на 2, если аномалия одиночная. В случае групп аномалий – находим самую большую и только её приравниваем к среднему значению соседних.

Новые значения заменяем, старые переносим из предыдущей таблицы.

В результате 4-х итераций аномалии так и остались, от них не получилось избавиться.

Рисунок 26 – Попытка устранения аномалий

Было решено отбросить последние 7 значений, поскольку они содержат аномалию и работать с оставшимися.

Рисунок 27 – Новая таблица данных

По аналогии с предыдущими данными, была проделана обработка информации

Рисунок 28 – «Дублеты» рядов новой таблицы

Амплитуда равна 12.

Рисунок 29 – Нахождение амплитуды для новой таблицы

Рисунок 30 – Первая гармоника для новой таблицы

Рисунок 31 – Вторая гармоника для новой таблицы

Рисунок 32 – Третья гармоника для новой таблицы

К сожалению, процент растёт и становится только хуже.

Вывод:

Самая первая гармоника оказалась лучшим результатом, максимально приближённым к ожидаемому результату, но всё равно не соответствующая ему.

Уравнение: ,

Где , , ,

При этой гармонике средняя ошибка аппроксимации E = 7,64%, что свидетельствует о плохом подборе модели (уравнения) к исходным данным.

Метод Фурье не даёт ожидаемых результатов. К сожалению, не удалось приблизиться к значению ошибки меньше 5%, что может быть вызвано недостаточным количеством данных, нехваткой времени для использования других методов обработки данных, аномалиями – которые в свою очередь могли возникнуть от многих факторов, т.к. очень много факторов могут влиять на температуру поверхности океана в каждом году.

В результате задания был выделен тренд временного ряда и проведен его анализ, также было выполнено приближение к исходному ряду путём задания гармонического уравнения.