книги из ГПНТБ / Марченко Б.Г. Метод стохастических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике

а систему соответствующих им ортонормированных функционалов через

Непосредственной проверкой легко установить следующие со­ отношения:

символ Кронекера,

„(1 при п = k, [0 при п ф к .

Пусть éf — минимальное бесконечномерное линейное (действи­ тельное) многообразие, построенное на элементах (182), т. е. линей­ ная оболочка (182). Тогда элементы системы (200) и (201) принадле­ ж ат^ , и (201) является ортонормированным базисом в(£, т. е. ли­

Пусть теперь Ф (t) — любой элемент случайного гильбертова пространства L^FJ случайных функционалов, удовлетворяющих ус­

ловию МФ2 (f) < оо. Обозначим через Ф (0 проекцию Ф (t) на Тогда

со

Ф ( * ) = 2 c,(t)G, ( 0 ,

/=о

где

с,(0 = (ф(0, G/ (0 ) - ( ф(0, G/ (0)

и

2 С/(0 = |Ф(0Г-

) =0

70

Так как Ф (t) = Ф (t) + Y (t), Ф (t) £ <£, Y (t) _L èf, то

IIф V) f = IIф (О Г + IIY (О II2> IIФ(О II2.

Заметим, что при определенном выборе элементов исходной си­ стемы (182) можно добиться того, что (208) будет строгим равенством,

ном и Мартином для винеровских функционалов в работе [86]. Таким образом, выражения (202) и (203) с учетом (198) и (199),

а также (190) и (179) позволяют строить в явном виде в самом общем случае ортогональные и ортонормированные последовательности сто­ хастических полиномиальных функционалов (200) и (201) в простран­ стве (£, а при определенном выборе элементов системы (182) — и в гильбертовом случайном пространстве L2FJ .

Заметим, что изменение порядка следования элементов системы (182) в общем случае приводит к различным ортогональным систе­ мам, поэтому в дальнейшем везде систему вида (182) будем предпо­ лагать упорядоченной последовательностью полиномов по возра­ станию их степени п.

В частности, любой однородный полиномиальный функционал из последовательности (182) может быть разложен в ряд по ортого­ нальным функционалам (202) или (203), т. е.

быть вычислены в явном виде при помощи выражения (179) по фор­ муле (210) для любого однородного полиномиального функционала Ф„ (t) из класса N.

Если предположить, что элементы системы (182) выбраны та­ ким образом, что линейное многообразие совпадает с L2FJf то

71

Для решения многих прикладных задач радиотехники и теории связи, связанных с анализом нелинейных преобразований случай­ ных процессов, разложение общего вида (211) при произвольной системе (182) является излишне общим. Поэтому возникает задача поиска конкретных простых форм разложений вида (211) путем со­ ответствующего выбора достаточно простых исходных систем функ­ ционалов (182). Решение этого вопроса в общем виде представляется весьма сложным.

Один из вариантов упрощенной ортогональной системы вида (200) или (201) можно получить, если в исходной системе (182) вы­ брать N — І и все Ikj (0 одинаковыми и равными | (t), определен­ ному согласно (1). В таком случае (198) и (199) примет следующий вид:

72

—£ (t) (2x4x2x5 -f 12х4х2Хд — 2x4x3x4 +

+3x2x2x4 -f- 6x 1X2— Зх2х3— 6x2-f- 9х2хз —

—5X2X4 -f- И3Х5 — И4) + 9Х]Х2Хз — 5XJX2X4 —

— 6XJX42+ >4 X3X5 — И4х] + ИіХ2Х- + Öxfxfxg —

— x2x3x4+ xix2x4+ 2x fë — И1Х3+ 2 X2X3X4 —

—X2X5 — X3 — 4XaX3],

ипервые выражения семейства (203):

_ JL

Gg (i) — (x2x4+ 2x? — Из) 2 (12х2хзх4 -f и2х4хв — x2xf —

— 12X2X3X5 -f- 7х2и4 — 24х?хз -f- 2хгх6 -f- 24х2х4 -f- 12х® +

_1_

+ 2 х3х4х5 — х|х6 — 9хз — х|) 2 [ё3(t) (х2х4+ 2х® —

— хз) — £2(t) (х2х5— ХдХ4 + 6х2х3— Зх4хз + Зх4х2х4 + + 6х4х2) + I (t) (2х4х2х5+ 12х4Х2Хд —

—2 XJX3X4 -f- 3X2X2X4 -f- 6 x2X2 — Зх2хз —

—6 x2 + 9X2X3 — 5X2X4 -f- ИдХ5 — X4) — (9х4х2хз —

—5 XJX2X4 — 6x4x4 + XjXgXg — XjX4 -f- X2X2X5

+ОХ1 Х2 Щ — X]X3X4 + X]X2X4 -f- ZX1X2 — X1X3 +

+2X2X3X4 — X2X5 — 4 x2X3 — X3)],

где с учетом (32) обозначено

СО

И* = *А [5*(0] = и* [Т)(1)] j <pk(T,t)dT.

— 00

Таким образом, результаты, изложенные в предыдущих пара­ графах, позволяют в явном виде строить последовательности орто­ гональных функционалов из класса N, используя исходную систему вида (182).

73

При определенном выборе элементов (182) такая система пред­ ставляет собой полный ортонормированный базис для функциона­

ким, однако при помощи таких разложений можно строить доказа­ тельства различных теорем и делать выводы о свойствах нелиней­ ных функционалов вида (184) из класса N.

В заключение заметим, что условие ортогональности (205) ока­ зывается не достаточно сильным для решения некоторых приклад­ ных задач. Так, в ряде случаев (например, при вычислении корре­ ляционных функций процессов вида (184)) необходимо добиваться

которое должно иметь место при всех s. Естественно, что построение ортогональной последовательности, члены которой удовлетворяли бы условию (216), возможно только для нормированных процессов и не для всех видов полиномиальных функционалов рассматриваемо­ го класса N.

Пример последовательности ортогональных функционалов, удов­ летворяющих условию (216), будет рассмотрен ниже.

§ 3. Построение ортогональных систем винеровских функционалов

Гауссовы линейные процессы в рассматриваемом классе функ­ ционалов занимают особое место. Это в первую очередь объясняет­ ся простым видом последовательности семиинвариант (76), в кото­ рой только вторая оказывается отличной от нуля. Последнее сразу упрощает все выражения, используемые для построения ортого­ нальных систем функционалов, и обуславливает ряд замечательных свойств, присущих только классу винеровских функционалов и не имеющих места в общем случае. К тому же в силу центральной пре­ дельной теоремы класс гауссовых процессов наиболее часто исполь­ зуется в приложениях для описания различных случайных процес­ сов, близких к нормальному.

Указанные выше обстоятельства и привели к детальному из­ учению этих функционалов в первую очередь. Теория таких функ­ ционалов в основном была создана Н. Винером [101] и, как было показано разными авторами в последующих работах [27, 45, 81, 83, 85, 86, 103], является весьма удобным аппаратом для решения нелинейных задач, связанных с преобразованием гауссовых процес­ сов в рамках корреляционной теории, и в задачах, связанных с вы­ числением первых моментов для процессов, полученных из гауссо­ вых в результате нелинейных преобразований.

После появления работ [13, 22, 86] в основном было завершено создание теоретических предпосылок для применения ортогональ­

74

ных разложений в случайных гильбертовых пространствах винеровских функционалов. Однако многие вопросы, связанные с по­ строением и исследованием ортогональных систем негауссовых функ­ ционалов, остаются до настоящего времени мало исследованными, хотя теория таких разложений несомненно нужна для решения задач радиотехники и многих других областей, связанных с применением теории случайных процессов.

Остановимся на некоторых результатах, относящихся к иссле­ дованию ортогональных систем винеровских функционалов.

В работе [13] автор рассмотрел систему полиномиальных гаус­

/= 1 k=\

впредположении, что все Ѵщ (t) стационарны.

Применяя процесс ортогонализации к элементам последователь­ ности (217), Винер [13] получает в явном виде первые четыре чле­ на ортонормированной последовательности

П = 0 , 1 , 2 , . . . } . (219)

Общий вид элементов (219) в [13] не приводится.

Формулы для вычисления таких элементов в общем1виде с уче­ том нестационарного случая получаются, если воспользоваться вы­ ражением (202). При этом элементы матрицы (198) и (199) опреде­ ляются, исходя из системы (217), с учетом выражений (174) и (180)

75

В результате получаем общий вид ортогональных винеровских

Если исходные функционалы в (217) представляют собой стацио­

налов (219), которая рассматривалась в [13]. Систему (219) в случае стационарных исходных функционалов (217) можно построить, ми­ нуя (222) и воспользовавшись непосредственно выражениями (203) и (220). Явный вид выражений для элементов (221) непосредствен­ но при решении прикладных задач почти не применяется, а поэтому здесь не приводится.

Заметим, что в рассматриваемом случае изменение порядка сле­ дования элементов последовательности (217) в общем приводит к различным ортогональным последовательностям. Поэтому в дальней­ шем будем предполагать, что последовательность (217) построена в

Ввиду излишней общности системы (221) при решении различ­ ных прикладных задач более удобной оказывается ортогональная система, построенная на элементах (217), при условии, что в (218) N = 1, т. е. когда элементы (217) определены согласно выражению

76

где bk; — символ Кронекера.

Если матрица вторых моментов гауссова вектора (vv (t), v2(t), ...

..., vn (t)) невырождена, то, как известно [14], путем преобразова­ ния координат всегда можно придти к гауссовым независимым компонентам, которые после нормировки будут удовлетворять условию (226).

Выполнение условия (226) можно обеспечить соответствующим выбором последовательности функций {cpfe (т), k — 0, 1, 2, ...} как элементов ортонормированной системы действительных функций из Z-2 (—оо, оо), т. е. потребовать, чтобы выполнялось условие

при всех k, / = 1, п.

Вевклидовом У-мерном пространстве неслучайных функций

(191)сформулированная выше задача сводится к ортогонализации поеледовательности

Такая задача была рассмотрена Градом в работе [89], где автор определяет ортогональные полиномы в У-мерном евклидовом про­ странстве при помощи теоремы Тейлора как коэффициенты произ­ водящей функции

77

Эти многочлены являются /-мерным обобщением в евклидовом пространстве многочленов, введенных в 1864 году Эрмитом в работе [90], которые в последующие годы изучались многими авторами. Детальное изложение этой теории до 1926 года содержится в работе Аппеля и Кампе де Ферье [82]. Обобщение на бесконечномерный случай (J = 1, 2, 3, ...) дали Камерон и Мартин в работе [86], одна­ ко у них рассмотрено пространство Ь2 [0, 1 ].

Полиномы (231), исследованные Градом, в некотором смысле являются частными, так как квадратичная форма в показателе пра­

личным способам выбора и разбиения на пары 2 k индексов мно­ жества Д, Д, ..., Д, которое представляет собой некоторую после­ довательность чисел множества (1, 2, ..., п}. Среди них возможны и повторяющиеся элементы.

Функция (231) симметрична относительно всех своих аргумен­ тов, поэтому в дальнейшем будем предполагать их упорядоченность по возрастанию индексов. Все ортогональные многочлены Эрмита — Града (так в дальнейшем будем именовать многочлены вида (231)) могут быть выражены через произведения соответствующих одно­ мерных полиномов Эрмита, и любому произведению различных одномерных полиномов Эрмита (т. е. каждый полином входит в про­ изведение один раз в первой степени) соответствует многочлен вида

Левую часть (230) можно представить как произведение рядов вида (233). В результате дифференцирования представленной та­ ким образом производящей функции получим по определению

2 Pk k=i

78

Из последнего выражения, выполняя дифференцирование, получаем

ПH p k (X/k) —

Соотношение (234) оказывается полезным при изучении свойств многочленов Эрмита — Града.

Если, следуя работе [86], ввести обозначение

^т1тг -тг(Хц Х2, • • • > Хг) = Я И] (Xj) Нті (Х2) . . . Нтг(хг), (235)

то сразу видна связь между многочленами Эрмита — Града для /-мерного евклидового пространства и многочленами, исследован­ ными Камероном и Мартином в бесконечномерном случае.

Условие ортогональности многочленов Эрмита — Града имеет следующий вид:

Опри п ф г,

система (231) по существу является биортогональной, а свойство (236) — свойством биортогональности.

Таким образом, минуя непосредственные вычисления по форму­ лам (199) и (220), получен явный вид ортогональных /-мерных функционалов (221) для исходной системы (223) с элементами,

метрическим, следует, что скалярное произведение двух элементов системы (237) определяется правой частью (236).

Следовательно, если выполняется условие (185) для функциона­ лов (222), то система (231) является базисом пространства L2, поз­ воляющим строить ортогональные разложения для любого /-мер­ ного гауссового функционала из L2.

Из выражения (234) следует, что по сути в /-мерном пространст­ ве L2 выражения (231) и (235) представляют собой две записи

79