книги из ГПНТБ / Марченко Б.Г. Метод стохастических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике

Кп(ті> т2>• ••> V> h> h> •■•> t„) получено из ядра (164) путем симметри­ зации по первым п переменным, т. е.

определяемой этим выражением, то последнее и устанавливает спра­ ведливость леммы.

где {іъ t2, ..., in} — любая перестановка индексов (1, 2, ..., п), отлич­ ная от исходной. В связи с этим справедлива следующая лемма.

60

Тогда

/=і тельно, к нему применима лемма 2 с тем отличием, что в рассматри­

ваемом случае речь идет о частичной симметризации: в начале пер­ вых пх аргументов, затем последующих п2 аргументов и т. д. до пт, что и устанавливает справедливость (168).

Лемма 2 позволяет при дальнейших выкладках предполагать, что ядро (164) является симметричным относительно первых п аргу­ ментов. Это предположение не ограничивает общности рассмотре­ ния, так как всегда имеется возможность произвести симметриза­ цию ядра при помощи формулы (165).

Теорема 11. Пусть Ф„ (tx, t2, ..., tn) |Гі=<г=. . .=.tn=t — однородный

полиномиальный функционал, где Фп (tu t2, ..., tn) определяется согласно (163), причем ядро его симметрично относительно первых

паргументов и определяется согласно (164).

Тогда

оооо

где вторая сумма распространяется на всевозможные различные спо­ собы разложения (разложения, отличающиеся только порядком сла­ гаемых, считаются одинаковыми) числа п на сумму ѵ положительных

слагаемых, а функция г (ръ р2, ..., рѵ) принимает значения, равные

V

произведению факториалов кратностей слагаемых всумме 2 Р/ = п-

/=1

61

Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспользовавшись выражением (163) и теоремой 4, получаем

С учетом теоремы 3 после изменения порядка суммирования по­ лучаем

том (164) и симметрии ядра К (•) по первым п переменным получим

Обозначим через А (р1( р2, •••> Рѵ) число различных способов (способы разбиения, отличающиеся порядком следования подмно­ жеств или порядком следования элементов в подмножествах, счи­ таются одинаковыми), которыми можно разбить множество аргу­ ментов тх, т2, ..., т„ на V непересекающихся подмножеств, в каждом из которых содержится соответственно рх, р2, ...,р ѵ элементов. Тог­ да выражение (170) с учетом (171) можно записать в следующем виде:

21 р/=п

62

со со

нет разбиений, отличающихся только порядком следования элемен­ тов в подмножествах, но есть разбиения, отличающиеся только по­ рядком следования подмножеств одинакового объема, определяется выражением (полиномиальные коэффициенты)

______п\______

где r (plt p2, ..., pv) — количество разбиений, отличающихся толь­ ко порядком следования подмножеств одинакового объема. Таким образом, г (р1( р2, ..., рѵ) равно произведению числа перестановок всех подмножеств одинакового объема. Очевидно, что это число сов­ падает с произведением факториалов кратности слагаемых в сумме

V

2 ]Р/- В частности, если р( Ф р/ при і Ф /, то г (рь р2, ..., рѵ) = 1.

1

Подставляя (173) в (172), получаем (169), что и требовалось доказать. Следствие 10. Для винеровских полиномиальных функционалов

с симметричным ядром имеем

Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспользовавшись выражением (76), замечаем, что в рассматриваемом случае в правой части (169) при п четном отличным от нуля будет только слагаемое, у которого рх =

= р2 = • • • = р„ = 2, т. е. V = -2- , а при п нечетном все слагаемые

правой части (169) обращаются в нуль, так как в этом случае в сум-

П

ме 2 Р/ = п всегда имеется по крайней мере одно нечетное слагае-

/=1

63

мое. В случае четного п для отличного от нуля слагаемого в сумме

не превышающих п. Таким образом, имеет место (174), что и тре­ бовалось установить.

Замечание 2. При практическом применении формулы (174) следует произвести любое попарное отождествление первых п аргу­ ментов в ядре Кп (■), затем произвести интегрирование по всем полученным таким образом переменным и результат умножить на (п — 1)!!. Выражение (174) без доказательства приводится в

П З ] .

Следствие 11. Для винеровских функционалов, определенных согласно (73), справедливо соотношение

Формула (175) непосредственно следует из (174).

Следствие 12. Пусть линейный процесс £ (/) определяется соглас­

но (1). Тогда

V

где г (ри р2, ..., рѵ) определяется согласно теореме 11. Выражение (176) можно записать в следующем виде:

64

где п = 1, 2, ..., kj — О, 1,2, ..., п. Суммирование распространяет-

П

ся на все неотрицательные корни уравнения ^ ß i = п, а ѵ — число

/ = і

отличных от нуля корней этого уравнения.

Выражение (177) можно получить, исходя непосредственно из (176), или воспользовавшись известным соотношением [64] между моментами и семиинвариантами с учетом теоремы 3.

Справедливость этого следствия можно установить путем следую­ щих рассуждений. Для полной симметризации п + г аргументов надо выполнить (п + г)! перестановок и сумму результатов разде­ лить на их число. Учитывая, что функционал (178) уже частично симметризован по группе первых п аргументов и по группе после­ дующих г аргументов, т. е. учитывая, что отпадает необходимость в п\г\ перестановках внутри уже симметризованных групп, для за­ вершения процесса симметризации остается произвести только

- -J г перестановок, исключая перестановки внутри симметризо­

ванных групп. Применяя к полученному таким образом симметриюванному по первым п+г аргументам ядру теорему 11, получаем (179).

Следствие 14. Пусть Ф ^1(t) и ФД1(і) — однородные полино­ миальные гауссовы функционалы с симметричными ядрами.

альный функционал по процессу с независимыми приращениями, не содержащему винеровской компоненты.

Тогда при п четном

§ 2. Общий случай построения ортогональных систем стохастических функционалов

В этом параграфе остановимся на вопросе построения ортого­ нальных систем стохастических функционалов и изучении общих свойств таких систем.

6G

Рассмотрим бесконечную систему однородных полиномиальных функционалов

оооо

J (/• раз) _•>

(184)

где К (ті, т2, т,; і) — некоторая неслучайная числовая функция, будем называть процессами класса N, если они удовлетворяют усло­ вию

Из этого определения следует, что процессы класса N принад­ лежат случайному гильбертову пространству. Следовательно, класс N является полным.

Из условия (183) и теоремы 11 с учетом неравенства Шварца сле­ дует, что элементы системы (182) удовлетворяют условиям (185) при всех п — 0, 1, 2, ..., а поэтому являются процессами класса N.

Параллельно рассмотрим некоторую бесконечную систему не­

не содержит стохастически эквивалентных элементов, иными сло­ вами, стохастически эквивалентные элементы не различаются между собой и им присваивается один номер в системе (188). Тогда между, элементами множества {л*/} и {£*,- (/)} при фиксированном t можно ,

установить взаимно однозначное соответствие л:*; <->£*/(У). В ре­ зультате этого элементы системы (186) отображаются взаимно одно­ значно на элементы системы (182) при помощи следующего отобра­ жения:

Остановимся на свойствах отображения (189). Для этого на про­ странстве функционалов (182) зададим скалярное произведение

ства скалярного произведения в зависимости от свойств этих функ­ ций.

Заметим, что скалярное произведение (190) зависит в общем слу­ чае от t, а значит, система функционалов, полученных в результате ортогонализации системы (182), также будет зависимой от t. В частном случае стационарных случайных процессов эта система остается времяинвариантной.

конечное подмножество функций из (186). Зададим на этом подпро­ странстве скалярное произведение

(Фл. Ф/-) = С Ф/і(*11»*12> • • • >XNn) Ф/- (*ц. *12. ■• •

В силу свойства согласованности, которому удовлетворяет функ­ ция распределения Fj (хш х12, ..., xNj\ t), правая часть (192) от J не зависит.

68

а на пространстве (186) ввести норму

то пространства (182) и (186) превращаются в метрические, нормиро­ ванные, а из справедливости (193) следует, что отображение (189) является изометрическим, а значит, и непрерывным (гомеоморфным).

Следовательно, все свойства метрического пространства (186) сразу переносятся и на элементы метрического пространства (182).

Таким образом, задача ортогонализации последовательности од­ нородных полиномиальных стохастических функционалов (182) свя­ зана с теорией построения систем ортогональных многочленов от нескольких переменных по исходной системе (185). В настоящее время, по-видимому, отсутствует развернутая общая теория таких ортогональных многочленов, и хорошо изучены только некоторые частные случаи.

Так как элементы последовательности (182) удовлетворяют усло­ вию (185), то к ним применим процесс ортогонализации. Опуская некоторые промежуточные выкладки, имеющиеся, например, в [68], приведем окончательные выражения для ортогональных и ортонормированных функционалов, полученных из (182).

69