книги из ГПНТБ / Марченко Б.Г. Метод стохастических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике

Так как из условия (94) следует непрерывность функции р (х) для всех X £ (—оо, оо) [17], то при х -> 0 получим 2рг (0) = рх (0), откуда следует рх (0) = 0, т. е. (102) можно записать в виде (99), что и требовалось доказать.

Следствие 9. Если в условиях теоремы 9 потребовать одновремен­ но выполнения обоих соотношений (95) и (96), то при х > 0 получим

Функция /р (/, и), определенная согласно (104), является абсо­ лютно интегрируемой и интегрируемой с квадратом, т. е. существуют постоянные и k2такие, что

ОО оо

Это можно показать следующим образом. При х >■ 0 справедли­ во неравенство

40

получаем

Так как ф (т, f) £ L2 (— оо, оо) как функция т, то в последнем выражении все интегралы существуют и конечны. Если в (108) все члены неравенства умножить на два, то в результате получим не­ равенства, позволяющие оценить интеграл от R 2 (и), аналогичные (109).

Таким образом, для ф (т, t) £ L2 (— оо, оо) при каждом фиксиро­ ванном t и а существуют постоянные kx и k2такие, что выполняются неравенства (107). Следовательно,

удовлетворяют условиям (95) и (96). Следовательно, согласно тео­ реме 9 плотность распределения, соответствующая (104), определяет­ ся согласно (99) с учетом (103). В § 3 настоящей главы будут приве­ дены выражения, позволяющие находить приближенные значения

\п — \

Для этого случая не удается существенно ослабить условия, наложенные в теореме 7 на и (t), поэтому предполагается, что инте­ грал, входящий в (111), удовлетворяет условию

симыми приращениями, распределение которых подчиняется зако­ ну Пуассона с характеристической функцией

41

« семиинвариантами

кп [л (т)] = I т I К.

Характеристическая функция вектора

определяется, согласно теореме 2, следующим образом:

Иехр («г 2 « А ( т- 4)) — 1

О— со

Из (117) при n — 1 и определенном выборе gt {t) можно полу­

42

случае отличается от пуассоновского, и в явном виде получить функ­ цию распределения для этого закона не удается. Некоторые частные случаи определения значений плотности распределения компонент

висимыми приращениями, который можно описать следующим обра­ зом. В соответствии с распределением Пуассона происходят события

ных величин, каждая из которых имеет заданную функцию распре­ деления (X). Здесь N — число событий, наступивших между мо­ ментами 0 и X включительно, т. е. в момент осуществления каждого из событий производятся независимо испытания, результаты кото­ рых имеют функцию распределения cf (х), а я, (т) — общая сумма результатов этих испытаний за время т. При.х < 0 процесс строится аналогично, только т заменяется на (т J. Процесс я х (т) не имеет фик­ сированных точек разрыва.

Легко вычислить характеристическую функцию процесса

43

oo

Формально выражение (116) может быть получено из (126), если З'(х) — вырожденное распределение.

Характеристический функционал «-компонентного случайного

Выражение (126) получается как частный случай (127) при соответ­

44

Закон распределения компонент вектора Ъп {tl, t2, ..., tn) в общем случае отличается от пуассоновского и существенно зависит от вида функции распределения & (х), однако явную связь этой зависимости в удобном для вычислений виде получить пока не удается.

ООп

(129)

В этом случае, как и в предыдущем, удается существенно осла­ бить условия теоремы 7, потребовав выполнения для и (t) условия

( 120).

§ 3. Приближенные формулы для вычисления плотности распределения некоторых линейных функционалов *

В предыдущих параграфах были приведены теоремы, позволяю­ щие получить в явном виде характеристические функции и функцио­ налы, а также семиинварианты и моменты случайного вектора с компонентами, представляющими собой линейные в узком смыс­ ле случайные процессы, допускающие представление в виде стоха­ стических функционалов от процесса с независимыми прираще­ ниями.

При изучении различных видов преобразований случайных про­ цессов в статистической радиотехнике и других приложениях во многих случаях удобно пользоваться методом представления исход­ ного процесса в виде стохастического функционала от процесса с независимыми или некоррелированными приращениями [30, 65, 92, 93].

Как уже отмечалось во введении, Н. Винером ИЗ], Д. Барретом [83, 84], А. Бозе [85], Л. Заде [102] и другими авторами изучались нелинейные преобразования функционалов от винеровского процес­ са. В предыдущих параграфах было показано, что в этом случае функция плотности распределения получается сравнительно легко. Это, по-видимому, пока единственный из имеющихся в литературе достаточно подробно исследованный случай применения таких пред­ ставлений.

Причина этого, по-видимому, в первую очередь заключается в сложности получения явных выражений для функции распределе­ ния стохастических функционалов, отличных от гауссового.

45

Остановимся кратко на изучении плотности распределения слу­ чайной величины pß, представимой в виде гамма-функционала:

цесс с независимыми приращениями, принимающий действительные значения, у (0) = 0; Му (т) = ат, Му2 (т) = а 2 (|т | + т2). Харак­ теристическая функция у (т) определяется согласно (88), а плот­

(131)

* < о ,

где а > 0 — некоторый числовой параметр. Согласно выражению (104), характеристическая функция случайной величины pß может быть записана в виде

где

На рис. 1 приводятся графики функций (/ (ы)| и Arg f (и), по­ строенные согласно (133) и (134) при а = ß = 1.

Характеристическую функцию случайной величины pß не удает­ ся просто выразить через элементарные или изученные специаль­ ные функции, поэтому возникает вопрос о представлении / (и) обыч­ ными или асимптотическими рядами. Подобные представления поз­ волят получить более полные сведения о поведении функции f (и), могут быть использованы для ее табулирования при различных значениях входящих в нее параметров и для вычисления значений плотности распределения с заданной точностью.

46

в выражении (134) — согласно т = -p-[ln(aßa) — ln у]. В результа­

те получим

Нетрудно видеть, что при —1 < у С 1 функции, входящие под интеграл в (137) и (138), являются аналитическими и представляются известными степенными рядами, в результате почленного интегри­ рования которых получаем (135) и (136). Ряды (135) и (136) являют­ ся не только асимптотическими, но и сходящимися при — 1 < с iß« С

<1.

Теорема 10. Характеристическая функция случайной величины Pß, определенная согласно (132), при и £ (— оо, оо) удовлетворяет соотношению

47

Из выражений (140) и (141) непосредственно следует справедли­ вость (139), что и требовалось установить.

48

Плотность распределения, соответствующая характеристической функции (132), как указывалось в предыдущем параграфе, является

впоследней R (и) и А (и) определяются согласно (133) и (134).

Врассматриваемом случае плотность распределения р (х) не удается выразить в конечном виде через известные элементарные или специальные функции. Поэтому для нахождения ее значений приходится применять численные методы интегрирования или идти по пути построения асимптотических оценок или ортогональных рядов.

Остановимся на оценке погрешности, возникающей за счет при­

менения численных методов интегрирования (формулы Симпсона) при нахождении значений р (х), и на оценке погрешности, возникаю­ щей за счет замены бесконечного верхнего предела в интеграле (103)

а

Применяя для вычисления интеграла в (143) обобщенную форму­ лу Симпсона, получаем

разбиении отрезка [0, ц0], Ѳ £ [0, и0\.