книги из ГПНТБ / Марченко Б.Г. Метод стохастических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике

Теперь, если в выражениях (36) положить т = 1, что соответ­ ствует переходу от процесса ц (т) к случайной величине rj (1), то выражения (33) — (35) могут быть записаны в общем виде при по­ мощи выражения (32), что и требовалось доказать.

Следствие 6. Для случайного линейного вектора Вя (t), опре­ деленного согласно (27) и (28), при условии cpÉ (т, t) £ Lp (—оо.оо), k = 1, 2, ..., п, семиинварианты определяются следующим образом:

где w (т) — винеровский процесс, w (т) — процесс с независимыми приращениями, не содержащий гауссовой компоненты. Тогда

( оо

—cc

Ов остальных случаях,

m, ti = 0, 1, 2, . . .

Теорема 3 и следствия могут быть использованы при нахождении

при этом были получены различные по форме записи окончательные соотношения. Для одномерного случая определения моментов с использованием теоремы 3 и следствий можно пользоваться форму­ лой, приведенной, например, в [64], так как в этом случае вид по­ следней не существенно сказывается на объеме вычислений. Одна­ ко при вычислении моментов в многомерном случае формула, при­ веденная в [64], становится излишне общей. Поэтому в многомерном случае для наших целей более пригодной оказывается формула, полное обоснование которой содержит сформулированная и дока­ занная ниже теорема.

Теорема 4. Пусть логарифм характеристической функции (21) вектора 3„ (Д, Д, ..., tn) имеет в нуле все частные производные по

20

по всем различным (отличающимся не порядком, а величиной слагае­

жеств J(p), каждое из которых содержит pj элементов} сумма бе­

рется по всевозможным способам разбиения множества индексов {1, 2, п } на V подмножеств о фиксированным числом элементов, равным pj, в каждом из них.

Примечание. При практическом применении формулы (39) удоб­ но руководствоваться следующим правилом. Всю совокупность компонент {£lt Н2, £„} разбиваем последовательно всеми возмож­

Затем каждое подмножество берем в качестве аргументов функций у.р. (•), где pj — число элементов, входящих в /-е подмножество,

V

образующих аргумент функции xpj (•) и 2 Рі = п- После этого

21

перемножаем функции %рІ (•) только в пределах каждого разбие­ ния элементов {^, | 2, £„} и все полученные таким образом ре­ зультаты суммируем.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Выражение для момента я-го поряд­ ка вектора Ел (tx, t2, ..., tn) через семиинварианты производящей функции можно записать следующим образом:

В последнем выражении при ѵ >■ я слагаемые правой части в точке

21 *т="

где / >■ 1, представляющий собой сумму слагаемых, каждое из ко­ торых имеет степень выше я. Поэтому я-я производная от этих би-

22

Полученное выражение можно переписать в следующем виде:

Покажем, что последнее обращается в нуль, если хотя бы при одном

выражение, содержащее us в качестве множителя, а так как произ­

23

отличных от нуля значений выражения (41), т. е. (40) можно рассматривать как производную от однородного полинома степени п относительно переменных ии ип или

2 2 Ьт = п.

/ = 1 т = 1

V

Так как по условию 2 km — Рі, то из последнего выражения еле-

т—=1

V

дует, что 2 Р / = Таким образом, величина, определяемая выра-

/=і

жением (41), не изменится, если в нем положить

ѵ п кт п

Поэтому выражение (40) после замены порядка суммирования мож­ но записать в следующем виде:

24

элементов km, сумма которых равна р/ при фиксированном ѵ. Так как выражение

V

•Сп

і +і 1

то подставляя последнее выражение в (43), получаем (39), что и требовалось установить.

В последующих теоремах будут рассмотрены свойства характери­ стических функционалов подобных векторов, которые могут оказать­ ся полезными при изучении дискретных случайных полей. Обобще­ нием теоремы 2, характеризующей вектор-процесс (дискретное слу­ чайное поле) в точках tj £ Т, / = 1, 2, ..., п, где Т — некоторый интервал времени, на непрерывный по t случай, t £ Т, является следующая теорема.

Теорема 3*. Пусть S„ (t) — линейный случайный вектор ви­ да (27) с компонентами (28), рассматриваемый как п-компонентнѳе

* Формулировки, без доказательства, некоторых частных случаев этой тео­ ремы приводятся в работах [47, 97].

25

Д о к а з а т е л ь с т в о . Введем обозначение

É = 1 .

Для доказательства теоремы достаточно рассмотреть свойства функ­ ции ІІп (г). Так как uk (і) £ LP(— оо, оо) и ф* (т, t) £ Lp (— оо, оо) по совокупности переменных т и t при всех k — 1, 2, ... и р — 1, 2, то uk (t) q>k (т,t) £ Lp (—оо, оо) тоже по совокупности переменных t и т, следовательно, при всех п = 1, 2, 3, ...

Таким образом, функцию Ѵп (т) можно рассматривать как част­ ный случай функции ф (т, t), фигурирующей в формулировке теоре­ мы 1. Согласно этой теореме при и = 1 в предположении, что Ф (т, t) = Un (т), приходим к выражению (45), что и требовалось доказать.

где gk (t) — функция ограниченной вариации, удовлетворяющая усло­ виям

26

Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, заметим, что если выбрать функцию gk (t) кусочно-постоянной с единствен­

и — 1, на основании которой приходим к выражению (51), что и требовалось доказать.

Для формулировки и доказательства следующей теоремы по­ надобятся вариационные производные, поэтому введем некоторые новые обозначения.

Пусть задан функционал F [и (х)] на некотором функциональном пространстве 11(а,ь)у где а и Ь — любые действительные числа, вклю­

ности А (х) некоторой точки х из интервала (а, b). Тогда вариация функционала записывается так:

8F = {F [и (х) + 6« (х)] — F [и (х)]},

27

причем скобки {•} означают, что берется линейная по бы (х) часть этой разности, бF обращается в нуль вместе с би (х). Рассмотрим

отношение

6F

Г 6м (х) dx

Ь(х)

и устремим Д (X) к нулю, стягивая этот интервал к точке х. Если при этом предел последнего выражения существует, то он называет­ ся вариационной производной от F [и (я)] в точке х и обозначается

они являются функциями точек ХІУ хй, ...

Семиинвариантные функции в одномерном случае можно опре­ делить с использованием характеристических функционалов следую­ щим образом:

Таким образом, благодаря соотношениям (54) и (55) в ряде слу­ чаев доказательства и обоснования, связанные с вычислением ва­ риационных производных от характеристических функционалов линейных случайных процессов, могут быть сведены к вычислению обычных производных. Это наглядно иллюстрирует следующая теорема.

п=1

Тогда для характеристических функционалов, определенных со­ отношением (45), при п = 1 справедливо следующее разложение:

28

Д о к а з а т е л ь с т в о . Сходимость ряда (56) немедленно сле­ дует из условия теоремы и не нуждается в детализации. Таким об­ разом, для доказательства теоремы остается только обосновать вид правой части (56).

Это обоснование можно строить, пользуясь вариационными про­ изводными путем разложения в ряд характеристического функцио­ нала (45). Однако приведем доказательство этой теоремы, свобод­ ное от вычислений вариационных производных.

Воспользовавшись обозначением (48) при п — 1, приводим ха­ рактеристический функционал (45) формально к виду, определяю­

цией некоторой случайной величины, а поэтому может быть разло­ жена в степенной ряд по параметру и следующим образом:

Подставляя (58) в (57), получаем (56), что и требовалось доказать. При решении различных вопросов математической статистики, связанных с получением стохастических интегральных представле­ ний линейных в узком смысле случайных процессов, часто возникает

следующая задача.

Пусть для некоторого линейного случайного процесса \ (f), определенного согласно (1), задана последовательность функций

Требуется определить характеристическую функцию порождаю­ щего процесса * г] (т) и ядро ф (х, t) представления (1).

Эта задача часто еще усложняется тем, что в качестве правых частей (59) задаются не сами семиинварианты исследуемого случай­ ного процесса, а их статистические оценки, полученные в результате экспериментальных наблюдений. Однако такой случай здесь не бу­ дет рассматриваться.

* В іЗО] порождающим процессом назван не д (т), а его обобщенная произ­ водная, и рассмотрен гауссов случай.

29