Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марченко Б.Г. Метод стохастических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 202 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Глава I ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ПРОЦЕССОВ С НЕЗАВИСИМЫМИ

ПРИРАЩЕНИЯМИ

§ 1. Характеристические функции и функционалы для линейных случайных процессов

Целью настоящего параграфа является изучение характеристи ческой функции и характеристического функционала процесса Щ ), определенного следующим образом:

	оо
l{t)=	J ф(т, О^тЦт), t£ (—		00, 00),	(1)
— СО
где ф (т, i), t £ (—00,	00),	— интегрируемая с квадратом		число
вая неслучайная функция,		а т) (т), т £ (—оо,	оо),— случайный про

цесс с независимыми приращениями.

Стохастические интегралы вида (1), по-видимому, впервые были введены Н. Винером, который, однако, предполагал при этом, что г) (т) является процессом броуновского движения, именуемым те перь винеровским. Ниже этот случай будет рассматриваться как частный.

В главе IX работы [26] приводится теорема 2.1, согласно которой стохастический интеграл (1) всегда можно определить таким обра зом, чтобы процесс g (t) как функция от t был измеримым (как функция ю он измерим по определению). Далее все функции вида (1) будем предполагать измеримыми по / и и.

Процесс допускающий представление (1), будем называть линейным в узком смысле случайным процессом. Слова «в узком смысле» относятся к случаю, когда т] (т) является процессом с неза висимыми приращениями и в дальнейшем они будут опускаться. Если же под т} (т) в (1) подразумевать процесс с некоррелированны ми или ортогональными приращениями, то получим случайный ли нейный в широком смысле процесс. Процесс г)' (т) некоторые авто ры [30] называют порождающим.

В более общей формулировке случайный процесс (t), опреде

ленный на вероятностном пространстве (Q, S', і?т), где Т £ RN — параметрическое множество в /Ѵ-мерном евклидовом пространстве, назовем линейным в узком смысле, если его можно представить в виде

QP
= 2 м * . ®),	(2)
/=і

где {бу (t, со), j = 1, 2, ...} — бесконечный ряд статистически не зависимых невырожденных случайных процессов, сходящийся по вероятности. Сходимость по вероятности в выражении (2) эквива лентна сходимости с вероятностью, равной единице, а если слагае мые равномерно ограничены и центрированы, то эта сходимость так же эквивалентна сходимости в среднеквадратическом смысле [41].

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Рассмотрим случайный линейный процесс

1 (0 = J ф (т, 0 *і(т),

где ер (т, 0 . t £ (— со, со), — действительная неслучайная числовая функция, удовлетворяющая равномерно по t условию *

ф (т, 0 € М

—°°> 00)

(3)

при р = 1, 2, а {г] (т),

т £ (— со,

со)} — однородный процесс с не

зависимыми приращениями, удовлетворяющий условию г\ (0) = ' 0,

характеристическая функция которого определяется согласно вы

ражению

М ехр [іиц (т)] =

ехр

іиц ■

e tux _

шх

dTI (х)

(4)

1 + X2

где

I dM (х)

при

О,

(х) — j

ПрИ

X >

Функции М (х) и N (х) удовлетворяют

следующим

условиям:

а)

М (х)

N ( х ) — неубывающие

функции

соответственно

в (— со, 0)и (0, оо) (в нуле эти функции не определены)-,

б) М(— со)

N (оо) - 0;

оо для любого конечного а > 0.

в) J x2dM (х) <

оо;

J x2dN (х) <

—а

о > 0

являются некоторыми действительными

Величины

числовыми

постоянными.

I (t)

Тогда одномерная характеристическая функция процесса

определяется следующим образом:

со

оо

ф (т, f)dx — Y

и2 j

ф2(т, t) dx +

іци

]

\ e

1 ---------] d H ( X ) d x

l .

}

( 5 )

—OO-CO

*Если а = 0, то достаточно потребовать выполнения условия (3) только при

Р= 1-


Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим выражение
	/ (/, и) = М ехр			іи	j	ф (т, /) dt] (т)					(6)
Пусть — а = Tj < т2 <			... <	хт <		тт+ і =		а — точки		разбиения
интервала	— а < t < а	при		а ->		оо,	где	все	ту,	j =	1, 2, ...
..., m + 1,	являются	точками			непрерывности				функции		ф (т, t).
Тогда предыдущее выражение				можно			представить в виде				предела
в среднеквадратическом [26] интегральной суммы
/(/, и) — 1. і.т .			Мехр		іи 2		ф (т/, ОАц (ту)
	тахДту-*0					/ = 1

1. і. ш. М П ехр [іщ (Т/, і) Аг| (г,)],

/= 1

шах ДТу-*-0

где

Дт/ = Ту+1 — Ту И Ат) (Ту) = Т] (т/+1) — У](Ту), Ту £ (—оо, оо).

Учитывая выражение (4) и независимость случайных величин Arj (ту), последнее выражение можно записать так:

f ift и) = l.i. m. П M exp [шф (T;-, t) Arj (ту)] =

m-*-со /=1

		a2
= l . i . m .	П е х р І А т у	ШЦф (Ту, t)---- — «2ф2(Ту, О
m->oo	/=1
max ДТ/-+0
/
+ j	eiux<p(Xj,t)__ j	ШТф (Ту, О
+ j	eiux<p(Xj,t)__ j	1 + т2 dll (х)

Это выражение * можно представить в следующем виде:

				Г	m		m
f (t, и) =		ехр	1. і. ш.	\|шц 2		Ф (Ту, і) Ату —	2 и22 Ф2 (ту, 0 Дт/ +
					/=1		/=1
		+ s J іихф(ту,0				ш х е р ( Т у , ()	ДтусШ (х )\|.	(7)
		+ s J іихф(ту,0				1+Х-	ДтусШ (х )\|.	(7)
		/=1 -оо L
Здесь		lI .i•.m. V		ф ( т у ) Дт ус<р (т) dT означает, что
			т - ю о			J
		шах Дт,-ѵ0/= 1
lim	m	*/+1
lim	2	f	[Ф (T/) — Ф (T)]24T ->0.
m -*oo	2	f	[Ф (T/) — Ф (T)]24T ->0.
	I '= I	/.•
maxAty ->-0/

Введем обозначение

Sm(x ,f)=	2	giumxj,t)_I	iuxcf (т;., t)	At,.	(8)
			1 -f X2
	/= 1

Из условия (3) следует, что пределы в первых двух слагаемых, находящихся под знаком экспоненты в выражении (7), существуют равномерно по t, поэтому, учитывая (8), получим

f(t, и) = ехр Ііщі J у(т, t)dx — - ^ u 2 [ ф2(т, t)dx +

+І.і.ш . f Sm(x, f)dll(x)

m-*oo J	(9)
max Дту-Ю—00

Таким образом, для завершения доказательства теоремы оста лось обосновать возможность предельного перехода в выражении

і. m

оо

f Sm (x, f) dH (JC) =

m -+ oo

max ДТ|-*-0

1. i. m. C Sm (x, t) dM (X) + 1. i. m.

f Sm (x, f) dN (x).

(10)

m-+oo J

m-»oo

max/

Дт.—^О

max/

Подробно остановимся только на втором слагаемом правой части

выражения (10), так как анализ первого

слагаемого аналогичен.

Запишем второе слагаемое в виде

і. ш.

lim СSm (х, t) dN (х)

при b > 0.

m -+oo

b-►oo J

Введем

обозначениеmax A xf+0

luxф (т, О

dr.

S (х, о =

(Щ

1 +

Нетрудно заметить,

что справедливо соотношение

glwc<P(x,t)___1

іихф (т, t)

d t < 2 |u x | J

)ф (т,/)irfT,

(12)

из которого следует при выполнении условия (3)

для х £ [—b,

b],

О <

b <

оо, равномерно по t

следующее выражение:

l.i.m . Sm(x, t) = S(x, t),

(13)

m ax Дту-*С

г д е

| S ( x , ■ / ) ( ' < о о .

Покажем, что условие (13) выполняется равномерно и по х на интервале [—Ь, Ь], 0 < b < оо. Для верхней интегральной суммы,

полученной из (8), введем обозначение Sm (X, t). Обозначим также

Rm (х, t) = IS (х, t) — Sm ( X , t) |, Rm ( X ,

Sm (х , і), а для нижней —

f) = 15 (лг, i) — Sm (x, t) f.

Функции Rm (x, t) и Rm(X, t) непрерывны по л: на (—оо, оо) как раз ности непрерывных функций. Поэтому на любом замкнутом конеч ном интервале {—Ь, Ь] существуют такие точки хт и хт, в которых выполняются условия

Rm(xm, і) =	sup	Rm(x, t), Rm (xm, f) =				sup	Rm(x, t).
	*er-M i		-	-	xei-b.b] -
Кроме того, учитывая свойства интегральных сумм, получим
Rm1(Хт,і 0 ^ Rm2(Хтгі О И Rm, (Хт,г І) ^						Rm,	О
при тх < т2. Из выражения (12) следует
1.	i. m.	Rm ( X ,	t) =	1. i. m.	Rm(x, f) =		0.
m-VOO				rn-^OO
max	Axj-+0		max Дту-*0
i			І
Значит, для любого заданного числа е >					0 всегда можно найти та

кое число М, что для всех т > М одновременно будут выполняться

неравенства Rm (хт, t) <				е и Rm (хт,		t) < е, т. е. для таких		т и
одновременно для		всех		х £ 1—Ь,	Ь]	выполняется	неравенство
\|5	(х, t) — Sm (X, t) I с		e, а именно: установлена равномерная					схо
димость в (13) по X .
	Введем обозначение
	оо		_	1 _	dN {х) = ^ (ц).
	J и *		_	1 _	dN {х) = ^ (ц).
	0	х		т	/
=	Согласно (4) I ф (и) I <			оо при	« £ ( —со, оо). При		всех	т =
=	1, 2, 3, ... можно записать
	оо				^
	л				^	[uqj (х,, 0 ].
	J Sm(x, t)dN (х) =				2	[uqj (х,, 0 ].
	и				/= 1
Таким образом, при любом т — 1, 2, 3, ... существует предел
		Ь			оо
	lim	f Sm (Xi t)dN (x) = \ Sm(x, t)dN(x).
	b-+°° о				0

Из условий теоремы следует, что N (х) — неубывающая на лю бом конечном интервале [а, Ь] из (0, оо) и ограниченная функция, а поэтому и вариация N (х) также ограничена. Функция S (х) непре рывна внутри промежутка (0, со). Все установленные выше утверж

дения, начиная с (13), представляют содержание известной теоремы (подробное доказательство дается в работе [69]), согласно которой справедливо следующее соотношение:

	b			QO
1. і. ш.	lim f s	{Хг t) dN ( X )	=	fS ( X ,	t) dN (x),
m-*OQ	0-+OO X			rx	( H )
max Дту-^0	u			0
/
где
	J 5	( X , f) dN (x)	<	OO.

Рассматривая аналогично первое слагаемое в правой части вы

ражения (10), можно показать, что		=	fS(x, OdM(x),
‘І ” ' ItІ	« « «	=	fS(x, OdM(x),	( I 5 )
где
	5 (x, t) dM (x)	<	OO.

Таким образом, из (14) и (15) следует справедливость выражения (5), что и требовалось доказать.

Заметим, что сходимость в (14) и (15) доказана при каждом фик сированном значении t, а вопрос о равномерной сходимости по / подлежит исследованию в каждом конкретном случае.

Следствие 1. Пусть {w (т), — оо «< т< оо) — винеровский про цесс, w (0) = 0, и пусть w (т) — некоторый процесс с независимыми

приращениями, w (0) = 0, не содержащий винеровской компонен ты. Их совместная характеристическая функция может быть пред ставлена в виде

М exp [iUjW(т) + iu2w (т)]

		2	ос		Ш *Х -j <ЛІ(дс)
= exp и т	ш2р ------		-f- J	(еіи*х — 1 ----	Ш *Х -j <ЛІ(дс)	(16)
					+ *5
где функция П (х) и		постоянная р определены, как в теореме 1.
Пусть также
?і(0 =	f Фі(т,	f)dw(x)		» g *(0 = £	фг (т, t) dw (т) ■

Линейные процессы вида (1).

Т огда

/(/; щ, и2) =			exp Iiu2\i j	cp2(т, t) dx		X	J фі (T> 0	+
+	I	5	е^ 8Лфе(Т,0 __ 1		iU2XCf>2(Т, 0		<ЗП (д:) dx	(17)
					1 +	*2
—ос —со				(f)	и g2 (0 — независимы.
Следствие 2.		Процессы h

Рассмотрим следующую теорему, обобщающую полученный ре

зультат на многомерный		случай.
Теорема 2.	Рассмотрим случайный многомерный вектор
к .............................. * « ) =	{ £ » ( * * ) ;	k = \,2,		. . . .	л , — о о < г < о о } ,	( і 8 )
компоненты которого определяются согласно выражению
	со
^kik) ~	J Фй(т>		(т-)»	k =	l, 2, . . . , п ,	(19)

ade фй (т, ^), —оо <; ^ <; оо, — неслучайные числовые функции, удовлетворяющие условиям, по совокупности переменных т и tk,

Фй(т>к) £ к р{—оо, оо) при k = \ , 2, . . . , п и р = 1, 2 *, (20)

а (г] (т), т ( (—оо, оо)} — однородный процесс с независимыми при ращениями, удовлетворяющий условию г) (0) = 0 , характеристиче ская функция которого определяется согласно выражению (4).

Тогда характеристическая функция случайного вектора S0 (tlt t2,...

..., tn) определяется следующим соотношением:

f (^i> k ’ • • • » к> «і> «2> • • • > «„) ~

	П	UW			ОО
= ехр *>Л«йJ (fk{x,tk)dx			X 2	«ft«/ J Фй (т, **) ф/ (Т, /,) dx +
					— СО
	Іх 2	“ft4,ft(T-<fc)	ix	лі			(21)
+ J }	„ fe=i	— 1	ix	2	«бФйC’1'»	^ft) dll (je) dx	(21)
		— 1	1 + * 2	2	«бФйC’1'»	^ft) dll (je) dx
			1 + * 2	As=- i
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Как	известно		[421, пространство

функций Lp (—оо, оо) является ß -пространством, поэтому, учиты вая условие (20), имеем

П
2 «йФй(т» 4) € Lp(—оо, оо)	при р = 1, 2.	(22)
fc=!

По этой же причине, учитывая неравенства Буняковского, получим

П
2 «й«/Фй(т, *й) ф/(Т, ti) £ L (—Iоо, оо).	(23)
ft,/=i

* Если а = 0, то достаточно потребовать выполнения условия (20) только пра

Р — 1-

і в

На основании (22) и (23) убеждаемся, что в условиях теоремы 2

функция 2 и*ф* (т, tk) удовлетворяет тем же требованиям, что и

к=\

функция шр (т, t) в теореме 1. Из приведенного выше доказательства теоремы 1 легко видеть, что если в выражении (6) заменить пф (т, t)

на 2 ЧЧ>к (х> к) и повторить по аналогии все дальнейшие рассуж-

дения этого доказательства, то в результате придем к выражению (21), справедливость которого и требовалось установить.

Если закон распределения для процесса г] (т) обладает конечной дисперсией, то из теоремы 2 вытекает следствие.

Следствие 3. Пусть S„ (tu t2, ..., tn) — случайный линейный век тор вида (18) с компонентами, определенными согласно (19), и функ

циями	ф*, (т, tk), удовлетворяющими условию (20),			а (т) (т),	т £
£ (— оо,	оо)} — однородный процесс с независимыми			приращения
ми, удовлетворяющий условиям г)(0) = 0 и о < о о с				характеристи
ческой функцией, заданной в форме А. Н. Колмогорова [16]:
Мgftmix) _ exp т			ОО
		і\ш +	2		(24)
			J -^ - (еіМ — 1 — іих) dK (X) .

—оо

где К (х) — неубывающая функция с ограниченным изменением,

К(—оо) = 0, К (оо) = а 2.

Тогда

п	р
f (^1> к> • • • » к\ Ч> ^2» • • • » ^л) — ехр Щ 2	Ч \ Ф*(т>к ) dT +
fe=i	^

	J I	іх21 ѵ м	— 1 — ix 2 4 (Pk(т>к) • dK (x) dx (25)
+	J I	г	— 1 — ix 2 4 (Pk(т>к) • dK (x) dx (25)
	—оо — оо		fc=i

Справедливость этого следствия сразу следует из (21) с учетом

соотношения	[16]
		dM(х)	для	х < 0,
	X2	dN (х)	для	(26)
	X2	dN (х)	для	* ;> 0.
Заметим,	что для	различных приложений следствие 3 играет

более важную роль, чем сама теорема 2, так как на практике почти всегда а < оо.

Следствие 4. Пусть
SnW H SkW . * = 1 > 2.............. —°° < ^< °°} —	(27)

случайный линейный вектор с компонентами

то

I* (0 = J Ф* (т>0 С^)» &= 1>2,

rt,

(28)

где <pft (т, t), —оо < t <; оо,— неслучайные числовые функции, удовлетворяющие условиям

Ф*(т, /) £ Lp(—оо, оо)

при k — 1, 2, . . . , п и р — 1,2, (29)

а (г) (т), т £ ( —оо, оо)}— однородный процесс с независимыми приращениями, удовлетворяющий условию г) (0) = 0, характеристи ческая функция которого определяется согласно (4).

Тогда характеристическая функция случайного вектора За (і) определяется следующим соотношением:

f{t\	иъ		uz, . . . ,		ип) = exp щ Ц и * г ф* (т, t) dx
						k— I	—.оо
				n		w
		— -ö-		S	“A	] Ф(. 0 ф,(т. f l * *
			*	k,s=1		^
+ 1 1	to	2	иЛ	(т>;>			«ф(т. 0 Д І ( х ) Л [ . ( 3°)
+ 1 1	в	*=’		- 1		1 + ^г 2	«ф(т. 0 Д І ( х ) Л [ . ( 3°)
— оо — оо

Замечание 1. Если характеристическая функция процесса т) (т) может быть представлена в форме А. Н. Колмогорова, то выражение (30) принимает вид (25) при условии, что в подынтегральных выра жениях правой части последнего все tk заменяются на і.

Следствие 5. Теорема 2 остается верной, если в ней дополнитель но предположить, что функция ср (т, tk) действительных аргумен тов т и ік является комплекснозначной.

Установленные выше свойства характеристических функций поз

воляют сформулировать следующую теорему.
Теорема 3. Пусть В„ (tu t2.......	tn) — случайный линейный век
тор вида (18) с компонентами (19)	и	ядрами	<рА (т, t),	удовле
творяющими условию
Ф*(т>tk)£Lp(—oo, оо),		t £ ( — oо,	оо),	(31)
при k — 1, 2, ..., п ивсехр — 1, 2...п, а {т] (т), т £ (— оо,				оо)},

т) (0) = 0 — процесс с независимыми приращениями, характеристи ческая функция которого является безгранично делимой и регуляр

ной в некоторой области, включая	начало	координат,		и	пусть
кп It) (1)] — п-й семиинвариант случайной величины т) (1),				удовлет
воряющий условию Кп [т] (1)1 < ОО.		..., tn)	определяются
Тогда семиинварианты вектора За (tlt /2,		..., tn)	определяются
следующим образом:
& (*і) g . itz) . . . l n (tn)\ = X . h	(1)] (	П <fk ( T ,	tk)dt,		( 3 2 )
	A= I
n = 1, 2,

Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспользовавшись выражением (21) с

учетом определения семиинвариантов, при п =				1 получаем
і[Еі(і)1 = - 7-		j	ФіС'г. t1)dx — o2u1 j	Фі(т, tx)dx +
	I	—00	— 00
00	00
+ j	j [трДт, ^) е(то‘Фі(т>л>----l^$ij2iAljdri(x)dT
				ц,=О
		00	-1 00

	n +	j	т т	^	т (д ;)	Sфі(т>l^ dx-
		— 00			J — 00
Аналогично при n =			2
	* ‘2 [Si (k)S2(4)1 =		4 "	I ^	I фі (т ’ к)ф2 (т * к)dx+
00	00
+ J	J (ixf cpj(T, tj) ф2 (т, t2)еі4«іФі(х,м+и,Ф,(т.^)] dY[ dx
— 00 — 00						,
	+	J х2Д1 (x)			00
	+	J х2Д1 (x)			J фДт, к) ф2 (T, к) dx.
					—00
Наконец, для любого п — 3, 4, ...
	Кп[Sl (^l) S2(^2) • • •					(Sn(^n)l ~

(33)

(34)

					n
	°°	n	ІХ	2	u f fj( x ,t j)
f" J	f	(іх)п П фй (т, tk) e		,=1		dll (x) dx
f" J	_oo	b l	OO		n
		OO	OO		n
		= I xndll (x)	J		П ф й(т,	tk) dx.	(35)
		-ОС	—QO^^1

Воспользовавшись выражением (4) для характеристической функ ции процесса т] (т) и учитывая ее регулярность, находим семиинва рианты

*і [11(т)]	= I т I		и. + j	j ^ 2 dn (х)
			—оо
				оо	(36)
ха [ц(т)] =		\|т \| а2 +		j х2<ДІ(х)	(36)
				—со
		со
х„ ІЛ (т)] =	IXI	j	xndll (x)	при n >	3,

<<< < Предыдущая 12 / 202 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ