книги из ГПНТБ / Марченко Б.Г. Метод стохастических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике

со £(— оо, оо).

Системе комплексных передаточных функций (578) соответству­ ет следующая система импульсных переходных функций:

(580) где 1 (t) определяется согласно (445), а Ln (х) — полином Лагерра. Выражение (580) получено из (577) при помощи трансформации Фурье. Аналогично с учетом обозначения (359) путем трансформации Фурье из (579) при т — k = 1,2, ... получаем

Будем считать, что процесс (565) представляет собой шум со спектральной плотностью, равной и2 в полосе частот | со | < со0 и равной нулю вне этой полосы. Для этого случая функция, входя­ щая в выражение (565), определяется следующим образом:

180

Тогда, согласно (568), корреляционная функция входного про­ цесса определяется выражением

Согласно (569) с учетом (584) для этого случая

оо

На рис. 33, б приводится для сравнения с предыдущими гра­

Уn

Вэтом случае спектральная плотность входного процесса описыва­ ется гауссовой кривой, т. е. спектр входного сигнала в некотором смысле можно считать сосредоточенным в полосе, а величина b при этом может служить мерой, характеризующей ширину этой по­ лосы. Явный вид выражения для В12 (s) нет смысла здесь приводить, так как с его помощью значения функции не вычисляются в квадра­ турах, поэтому ограничимся лишь графическим описанием функции В12 (s). На рис. 33, б семейство кривых B12(s) построено для b =0,1;

0,3; 0,5; 10 и s £ [0, 14], а также при щ [т] (1)] = 1 и LC = 1. Таким образом, из сравнения графиков, приведенных на рис. 33,

видно, что для фильтра низших частот отклонение от прямоуголь­

181

вии полезного сигнала на входе, обусловленное ограниченностью полосы белого шума. Из выражения (589) видно, что в условиях рассматриваемого примера при ю0 00 выходное напряжение схе­ мы стремится к нулю, что совпадает с результатом, приведенным в конце первого пункта для общего случая. Этот монотонный спад вы­ ходного напряжения при увеличении частоты ю0 обусловлен при­ менением ортогональных фильтров. Однако при со0 -*■ 0 правая часть (589) также стремится к нулю, но уже за счет уменьшения об­

щей энергии флуктуаций

функция от (о0, определен­ ная согласно (589), прини­ мает на интервале (0, оо) единственный максимум, равный U2X2 [ц (1) ]/2л ] / LC.

Во-вторых, из (589) сле­ дует, что рассматриваемая система является избира­ тельной по отношению ко входному сигналу с верх­ ней граничной частотой, удовлетворяющей условию (590). Здесь наблюдается аналогия с работой резо­ нансного контура, однако резонансный контур выде­ ляет моногармонический си­ гнал, частота которого сов­ падает с частотой собствен­ ного резонанса контура, а

рассматриваемая система дает максимальный отклик, если ее пара-

__ і_

метр (LC) 2 совпадает с верхней граничной частотой входного сигна­ ла. Это дает возможность использовать перестраивающиеся лагерровские фильтры при соблюдении определенной зависящей от LC нор­ мировки входного сигнала для определения верхней граничной час­ тоты линейного шума с равномерной спектральной плотностью. Некоторые подробности изложены в докладе [49]. Анализ выраже­ ний (578) и (581) позволяет сделать следующие выводы.

Согласно (578) амплитудно-частотные характеристики фильт­

ІН2

т. е. произведение любой пары амплитудно-частотных характеристик из системы (591) нигде не обращается в нуль и в то же время отклики, полученные на выходе любой пары таких фильтров при воздействии на их вход белого шума, оказываются некоррелированными.

Исходя из выражения (581), можно сделать вывод, что два си­ гнала, полученные на выходе ортогональных фильтров с импульс­ ными переходными функциями вида (580), оказываются некорре­ лированными не только при s = 0, но и при любом значении их вза­ имного сдвига, взятом из интервала —оо < s < 0 . Это свойство, как показано в [78], оказывается весьма полезным при различных измерениях параметров откликов рассматриваемой системы.

Продолжим рассмотрение настоящего примера при условии, что на вход анализируемой системы поступает сумма полосового и бе­ лого шумов. Как было показано выше, в таком случае отклик рас­ сматриваемой системы определяется выражением (572), которое с учетом предположений настоящего примера принимает вид

ОО

В (0) = В12(0) + 2х2 [т] (1)] J Фо (Т) А1а (Т) dl,

о

где Вп (0) определяется согласно (589). Поэтому окончательно

Таким образом, при расчете корреляционного приемника окра­ шенного шума — полезного сигнала — на фоне помехи, представля­ ющей собой белый шум, параметры лагерровских фильтров надо выбирать из условия (590). В таком случае со0 означает верхнюю граничную частоту полезного сигнала.

Предположим теперь, что на вход рассматриваемой системы поступают процесс вида (573), представляющий собой сумму по­ лезного сигнала Q (t), который определяется выражением

при условии, что ak€ [0, со], k = I, 2,...,т. е. частоты (необязатель­ но кратные) лежат в некотором конечном частотном диапазоне, и по­ мехи вида (565) с корреляционной функцией, определенной со­ гласно (586). Тогда выражение (577) с учетом (589) и предположений настоящего примера можно записать так:

183

Так как в рассматриваемом случае детерминированный полезный сигнал Q (t), представляющий собой равномерную почти периодичес­ кую функцию, уже задан в виде (304), то для него (s) определяется согласно (305) с коэффициентами, полученными с учетом (307) в виде

Таким образом, выражение (594) для корреляционной функции в рассматриваемом случае окончательно принимает следующий вид:

В этом выражении первое слагаемое обусловлено только наличием шума, а второе — только наличием полезного сигнала. Поэтому мо­ дуль отношения этих компонент будет характеризовать помехо­ устойчивость рассматриваемой системы. Обозначим через дх отноше­ ние второго слагаемого к первому (сигнал — шум), взятое по аб­ солютной величине, т. е.

Проведем краткий анализ этого отношения. С этой целью введем две функции:

184

учетом (598) выражение (597) записывается в виде

Смысл такого предположения, необходимого для обеспечения вы­ игрыша на выходе рассматриваемой системы по критерию сигнал — шум, наглядно иллюстрирует рис. 34. Так как на интервале

•__ і_

Поэтому для отношения сигнал — шум, определенного согласно (597), получаем следующую оценку:

где !К0 представляет собой отношение сигнал — шум на входе рас­ сматриваемой системы, последнее выражение можно записать еще так:

при со <; (LC) 2 .

Легко видеть, что правая часть (601) как функция параметра LC принимает при

максимальное значение 3£тах, которое определяется выражением

185

Из (602) следует, что необходимым условием для реализации оптимального выбора параметра LC является выбор верхней гра­

ничной частоты со спектра полезного сигнала (593) из условия w0> > КЗсо, которое не противоречит сделанному выше предположению

(600). Так как при выполнении условия со0> ]/За> множитель, сто­ ящий после в правой части (603), будет всегда больше единицы, то всегда в таком случае 5ѵтах > Зг0Таким образом, при выборе параметра ортогональных фильтров рассматриваемой системы, согласно (602), получаем с учетом (601) следующую оценку для отношения сигнал — шум:

приводит к отрицательным значениям LC, что для рассматривае­ мого примера физически не реально) и параметр схемы LC выбран согласно (602), то из оценки (604) рассматриваемая схема дает выиг­ рыш в отношении сигнал — шум на выходе системы по сравнению с отношением сигнал — шум, характеризующим входной сигнал. Из выражения (603) следует, что с увеличением верхней граничной частоты шумовой помехи со0 величина (7ътах возрастает.

Если в спектре сигнала (593) только конечное число спектраль­ ных линий {(Âk, соА), k = 1, 2, ..., N } отличается от нуля, то, воспользовавшись выражением (599), можно определить точное зна­ чение дх.

Заметим, что при практической реализации измерений корреля­ ционной функции с помощью описанного выше устройства возника­ ют ошибки, обусловленные переходом к конечному интервалу на­ блюдения. Методика оценки таких ошибок изложена, например, в [61, стр. 234], и, как указывает автор [61 ], эти ошибки можносводить до минимума соответствующим выбором времени наблюдения. Для иллюстрации полученных выше расчетных соотношений рас­ смотрим пример.

Пример. Требуется рассчитать корреляционный приемник с лагерровскими фильтрами для обнаружения полезного сигнала вида (593) на фоне аддитивной шумовой помехи вида (565), улучшаю­ щий отношение сигнал — шум на выходе по сравнению со входным на 6 дб при условии, что импульсные переходные функции ортого­ нальных фильтров приемника определяются выражениями (583),

акорреляционная функция помехи определяется выражением вида

(586)с заданной верхней граничной частотой f0 = 20 кгц.

Р е ш е н и е . Верхняя граничная частота сигнала должна удов­

186

которое получается после деления левой и правой частей соотноше­ ния (601) на ді0и использования известного соотношения ш = 2л/.

Таким образом, при fl > f2 область значений J, удовлетворяющих условию (605), следует искать из соотношения

(202 — 3 • 5,622) • К Г 6

LC = 5,622 (3 • 202 — 5,622) (2я)2 » 2 ,0 9 • К Г 10 [сек2].

Номинальные значения L и С выбираем из условия согласованности выходного сопротивления фильтров У L/C с их нагрузкой.

выражение для ді (597), получаем ЖІЖй= 2. Если же взять «в < со, то при прочих неизменных условиях настоящего примера получим ?С/Зг0> 2.

Рассмотренные выше примеры убедительно показывают, что путем использования ортогональных фильтров в каналах коррело­ метра можно добиться улучшения его помехоустойчивости. Сле­ дует отметить, что на практике более простая реализация лагерровских фильтров получается на і?С-элементах. Вопросы, связан­ ные с выбором реальных схем коррелометров с ортогональными фильтрами и их экспериментальной проверкой и практической реализацией, рассматривались Л. Н. Щербаком в работах [78—80].

Имеется ряд работ ([23, 24] и другие), посвященных вопросу обнаружения сигналов при помощи корреляционных приемников, работающих в шумовом поле помех. Большинство из них реко­ мендует получать некоррелированность сигналов, обусловленных шумовым полем, за счет разнесения приемных антенн. Анализируе­ мое в настоящем параграфе устройство может быть использовано для корреляционного приема полезных как детерминированных, так и чисто случайных сигналов в условиях линейного шумового поля. При этом, как уже указывалось выше, расстояние между антеннами можно выбирать с учетом только конструктивных сооб­ ражений.

Полученные в этом параграфе результаты можно применить для анализа механической виброизоляции различных устройств от возмущений, описываемых линейными случайными процесса­ ми, в оптике при изучении различных энергетических соотноше­ ний, а также в экспериментальной физике при иследовании сте­ пени отклонения спектральной плотности мощности тепловых флуктуаций от постоянной величины и в других случаях.

Здесь L дается в генри, С —в фарадах.

Литература

1.А л е к с и ч Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. ИЛ, М., 1963.

2.А н д р е е в Н. И. Корреляционная теория статистически оптимальных

11.В а н - д е р - З и л А. Флуктуации в радиотехнике и физике. Энергоиздат, М., 1958.

12.В а н - д е р - З и л А. Флуктуационные явления в полупроводниках. ИЛ, М., 1961.

рования испытаний на технический ресурс .— Изв. АН СССР. Техническая ки­ бернетика, 1969, 5.

188

23. Д ж е й к о б с о н М. Дж. Влияние кросс-корреляции шума на характе­ ристики корреляционного приемника,— В кн.: Некоторые проблемы обнаруже­ ния сигнала, маскируемого флуктѵационной помехой. «Советское радио», М., 1965,

24.Д ж е й к о б с о н М. Д ж . Распределение вероятностей на выходе кор­ реляционного приемника при подаче на его вход смеси сигнала и шума.— В кн.: Некоторые проблемы обнаружения сигнала, маскируемого флуктуационной по­ мехой. «Советское радио», М., 1965.

25.Д р а г а н Я П. Типы канонических разложений случайных процес­

30.К а й л а т ц Т. Метод порождающего процесса в применении к теории обнаружения и оценок.— В кн.: Теория обнаружения сигналов и ее применения. «Мир», М., 1970, 58, 5.

31.К о л м о г о р о в А. Н. Интерполирование и экстраполирование ста­ ционарных случайных последовательностей.— Изв. АН СССР, 1941, 5.

ифункционального анализа. «Наука», М., 1968.

34.К о т е л ь н и к о в В. А. Теория потенциальной помехоустойчивос­ ти. Госэнергоиздат, М., 1956.

неровских функционалов.— Труды Первой республиканской математической кон­ ференции молодых исследователей. К-, 1965, 2.

44. М а р ч е н к о Б. Г. Анализ идеального частотного дискриминато­ ра.— Труды Первой республиканской математической конференции молодых ис­

следователей, 1965, 2.

45. М а р ч е н к о Б. Г. Анализ некоторых нестационарных процессов с использованием винеровских функционалов.— В кн.: Отбор и передача информа­ ции, 31. «Наукова думка», К-, 1972.

46. М а р ч е н к о Б. Г. Анализ отклика устройства, осуществляющего угловую модуляцию, при помощи винеровских функционалов.— Труды научной конференции Института математики АН УССР. К., 1963.

47 М а р ч е н к о Б. Г., Д е м е н и н А. Н. Методы задания случайных полей. — В кн.: Методы представления и аппаратурный анализ случайных про­ цессов и полей, 1. Изд. Сибирского ин-та метрологии, Новосибирск, 1969.

48. М а р ч е н к о Б. Г. Корреляционная функция отклика многоканаль­

189