книги из ГПНТБ / Марченко Б.Г. Метод стохастических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике

путем фильтрации из белого шума. Этот случай соответствует случаю сигнала с постоянной амплитудой частоты wH, промодулированного

150

где J0 (X) — функция Бесселя действительного аргумента нулевого порядка (бесселева функция первого рода). Усредненная по времени корреляционная функция согласно (500) и (293) получается в виде

Следует отметить, что обычно при модуляции на практике выполняется условие ©н to„, поэтому в (502) и (503) выражения,

приведенные в предположении, что сон Ф 0, представляются ин­ тересными как с теоретической, так и с практической точки зрения, а выражения, приведенные в предположении, что сон = 0, инте­ ресны с чисто теоретической точки зрения.

Ча рис. 20, а и б приводятся семейства усредненных по времени смещенных корреляционных функций (}30 (s), значения которых вы­

151

Из этих графиков и выражения (502) видно, что при сон = 0 значения ^30 (s) удовлетворяют условию

При этом график верхней границы (верхняя «огибающая» се­

(504) получено строгое равенство (график нижней границы — ниж­ няя «огибающая» — в (504) на всех рис. 20 выполнен пунктирной линией).

Из рисунков видно, что с уменьшением U, или с увеличением а, сужаются границы значений % (s), определенные соотношением (504), при условии неизменности остальных параметров, входящих в (504). Отсюда следует практический вывод: расширение частотной полосы шума в определенных пределах можно компенсировать со­ ответствующим увеличением индекса фазовой модуляции Абсцис­

s >- 0, а при s <; 0 график получается симметричным отображением относительно оси ординат. В точке s = 0 функция ))3(| (s) недифферен­ цируема, т. е. соответствующий случайный процесс также не диф­ ференцируем.

152

Если ввести обозначения

График этой функции уже частично приводился на рис. 21 при по­

= 0,5, /н = 1000 (рис. 23, б).

Сопоставление последних четырех семейств значений огибаю­ щих (sfH) при сі)н Ф 0 показывает, что с ростом несущей частоты скорость убывания огибающих уменьшается, а с убыванием U их «размах» становится меньше. Полученные выше корреляционные

153

функции и соответствующие им графики имеют непосредственное отношение к практике, так как характеризуют поведение смещенных корреляционных функций реальных технических систем, исполь­ зующих фазовую модуляцию в условиях гауссовой помехи, и могут быть применены при вычислении различных спектральных (на­ пример, выражения (324), (325) и (326)) и энергетических характе­ ристик такого сигнала.

Аналогичные графики можно построить и для корреляционной функции В0 (s), определенной согласно (503). По характеру они по-

рение можно было бы продолжить как на другие случаи гауссовых нестационарных помех, так и на случай негауссовых линейных процессов.

Подобным образом можно получить выражение для корреляцион­ ной функции отклика вида (465) для случая частотной модуляции при наличии шума, если считать, что в (465) функции N (t) и v (t) определяются согласно (467) и (468) соответственно. При этом выражения (475), (477) и (478) внешне остаются неизменными, только в них N (t) и h (t, t + s) определяются с учетом (467) и (468). Однако окончательные выражения, рассмотренные в п. 1—5 настоящего параграфа, в этом случае будут несколько отличны­ ми. Для сравнения приведем выражение (s), аналогичное (502), но полученное для случая частотной модуляции:

154

Ф (() — ядро линейного гауссового процесса, являющегося ад­ дитивной помехой при частотной модуляции, удовлетворяющее

условию J ф (x)dx £ Lz (0, оо).

о

В заключение этого параграфа отметим, что если ф — случай­ ная величина, имеющая равномерное распределение на интервале [—я, я] и независимая от v(f), то вычисление корреляционной функ­ ции от процесса (465) сводится к вычислению математического ожи­ дания от процесса вида (465). Этот случай вычисления корреляцион­ ной функции с применением методов, отличных от изложенных здесь, рассмотрен в [73, стр. 2111.

Отметим также, что в случае нестационарных процессов доволь­ но основательный их анализ в рамках энергетической теории мож­ но производить, пользуясь только корреляционными функциями, не переходя в частотную область и не применяя какого-либо из многочисленных определений «мгновенного спектра». Это наглядно видно из приведенного выше.

§ 5. Случай смешанной модуляции (амплитудная и угловая)

Этот параграф посвящен анализу в рамках корреляционной теории отклика, полученного на выходе устройства, осуществля­ ющего одновременно модуляцию по амплитуде и по фазе (АФМ) или по амплитуде и частоте (АЧМ) моногармонического несущего сигнала с помощью полезных неслучайных сигналов и гауссовых линейных, в общем случае нестационарных, процессов. При этом рассматривается случай зависимых гауссовых компонент, а это зна­ чит, что полоса пропускания фильтра в канале модуляции по ам­ плитуде и полоса пропускания фильтра в канале модуляции по фазе или частоте пересекаются (имеют общий участок).

Так как случай АЧМ с теоретической точки зрения не вносит ничего нового по сравнению с АФМ, то подробно будет анализи­ роваться только АФМ, а по поводу АЧМ ограничимся некоторыми замечаниями сравнительного характера.

Процесс на выходе устройства, осуществляющего одновремен­ но амплитудную и фазовую модуляции, может быть записан в виде

где А0 (t) — некоторая неслучайная действительная неотрицатель­ ная функция; N (() — некоторая ограниченная на любом конечном интервале неслучайная функция, которая для случая модуляции по фазе определяется согласно (466), а для соответствующего случая с частотной модуляцией — согласно (467); ѵг (/) и ѵ2 ( t) — ком­ поненты гауссового случайного вектора Ѵ2 (/), определенные со­ гласно (73), с матрицей вторых моментов, определенной выражением (364), при условии, что Му, (t)vz (t) Ф 0, так как в противном

155

случае задача может быть сведена к рассмотренной в предыдущем параграфе; ср — постоянная начальная фаза.

Остановимся сначала на определении математического ожи­ дания процесса (509). Пользуясь результатами § 6 гл. II, со­ вершаем переход от компонент вектора Ѵ2 (/) к компонентам век­

тора Ѵ2 (t) согласно соотношению (366), которое в рассматриваемом случае принимает вид

Щ(0 = «21 (0 «1 (0 + «22 (0 Ѵ2 (t)

при условии, что элементы матрицы А (t) = ||a,7(/)|f определяются согласно (369). С учетом (510) выражение (509) принимает вид

у (0 = [А0 (t) + аи (0 ѵг(0] cos [N (t) + a2l (t) vx(/) + a.,2(0 v2 (t) + ф].

(511)

Процесс (511) можно рассматривать как отклик некоторой нелинейной системы, имеющей два входа и характеризующейся изменяющейся во времени динамической характеристикой вида

Gt (xv х2) = [А0 (t) + ап (0 Ху\ cos [N (t) -f a21(t) хг + a22(t) xt + <p]

(512)

на воздействия

Так как процесс (511) удовлетворяет условию (352), то (512) можно представить рядом Фурье — Эрмита, коэффициенты которо­ го, согласно (356), получаются в виде

Из последнего выражения согласно (247) с учетом (376) и (379) получаем

Му(і) = с 00(0 =

= expf— -^-h22{t, t)\{A0{t) cos [N{t) + y\ — h21(t, t)sm [N (t) -f cp]}.

(515)

Откуда, согласно (363),

AB(s, t) = exp {---- L [fc22(t, t) + h22(t + s, t + s)]} 'A0(t)cos[N(t) +

156

Из выражений (515) и (516) при Л0 (і) == А0 и при условии неза­ висимости компонент, т. е. при h21 (t, t) = 0, получаем (470) и (478) соответственно.

Остановимся теперь на получении выражения для смещенной корреляционной функции. Пользуясь результатами § 6 гл II, совершаем переход от компонент вектора Ѵ4 (t, s), определенного

согласно (372), к ортонормированным компонентам вектора Ѵ4(t, s) согласно соотношения (384), которое в рассматриваемом случае

принимает вид (для краткости записи вместо Vj (t, s) везде пишем ѵ/)

где элементы матрицы А (t, s) и М (^, s) определяются согласно (385) и (386) соответственно, а сокращенные обозначения а/, bj, fj, dj понятны из (517).

Для процесса (509) с учетом (517) выписываем выражение (388)

Процесс (518) можно рассматривать как отклик некоторой не­ линейной системы с динамической характеристикой

Gt,s ( д ? х3>х3, Х4) —•

= [Л0 (t) + ßjXj [А0 (t + s) 4- b1xl + b2x2] {cos [УѴ+ + 2cp +

157

158

Если теперь в выражениях (526), (527) и (528) взять верхние зна­ ки и подставить эти выражения в правую часть (525), то получим выражение для Іъ а если проделать то же, взяв нижние знаки, то получим выражение для / 2. Подставляя полученные таким образом выражения для Іхи / 2 в (524), получаем окончательный вид искомого выражения для смещенной корреляционной функции

(s, f) “ —- exp I---- 2~ [h22 (t, f) 4 b22 (t 4 s,14 s)]j X

159