книги из ГПНТБ / Марченко Б.Г. Метод стохастических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике

Выражение (478) в приложениях имеет самостоятельный фи­ зический смысл, так как в рассматриваемом случае оно определяет мощность «постоянной» составляющей при условии, что процесс V (t) —стационарный

Сравнивая два приведенных выше способа, которыми было получено выражение (475), можно заметить следующее. Первый путь, использующий разложение (332), является универсальным, но не наиболее простым. Это особенно видно в тех случаях, когда ряды допускают замену эквивалентными выражениями, содержащими конечное число элементарных или специальных функций. Следова­

к новым компонентам случайного вектора. Однако в тех случаях, когда такие представления получить не удается, следует пользо­ ваться разложениями в ряд (314) или (332) и применять для постро­ ения графиков и таблиц корреляционных функций ЭВМ.

Заметим, что можно применить и третий путь получения кор­

татов которого, как частный случай, можно будет получить некото­ рые формулы этого параграфа.

При постоянной амплитуде выражения (475) и (477) являются самыми общими для случая угловой модуляции в присутствии га­ уссовой помехи, так как в них учитываются стационарный и неста­ ционарный случаи гауссовых помех и при соответствующем опреде­ лении ядра ф (т, f) в V (і) и функции N (t), согласно (466) и (467), они оказываются пригодными как для случая фазовой, так и для случая частотной модуляции. Для более глубокого и наглядного раскрытия свойств этих функций рассмотрим ряд частных задач анализа сигнала вида (465), приводящих к корреляционным функ­ циям (475) и (477) и имеющих самостоятельное прикладное и теоре­ тическое значения.

1. Пусть в (465) функция N (t) == 0, а v (t) — линейный ста­ ционарный гауссов процесс, описанный в настоящей главе или по­ лученный путем фильтрации из белого шума, как это упоминалось в § 3 настоящей главы.

а корреляционная функция процесса (465), согласно (477), в этом

140

случае определяется выражением

= 4oe_MO)cos2? . (481)

Теперь предположим, что процесс V (t) получен в ре­ зультате фильтрации бело­ го гауссового шума при по­ мощи /?С-фильтра с посто­ янными параметрами, т. е. выражен формулой (456) с корреляционной функцией, определенной согласно (457)

сучетом, что к2 Iw (1)] =

=1. Рассмотрим для этого случая графики корреля­

Так как функция (482) симметрична относительно оси ординат, то на графиках рис. 10 приводятся значения В (s)/B (0) только для s >> 0. Функция (482) в нуле не дифференцируема, причем недиффе­ ренцируемость преобразованного случайного процесса (465) в рассматриваемом случае вызвана недифференцируемостью исход­ ного процесса ѵ (t).

Из семейства графиков рис. 10, а видно, что с увеличением а кор­ реляционная связь отдельных значений процесса (465), находящихся на фиксированном расстоянии s, монотонно ослабевает. Для рассмат­ риваемого случая дисперсия, согласно (482), определяется формулой

В (0) = 2е 2 sh2'(*)■ <х> 0.

141

Нетрудно видеть, что

= Г ~ sh (-J-) (ch -j- — sh-J-) > 0 при а > О,

следовательно, с изменением а от 0 до оо дисперсия монотонно воз­ растает от 0 до оо.

Ф = -у. В этом случае А0, s и а принимают такие же значения, как

Анализ этих графиков позволяет сделать вывод, что при изменении

пл

Фот 0 до — вследствие появления асимметрии динамической харак­

теристики (471) мощность постоянной составляющей падает, а переменной — возрастает, т. е. происходит перераспределение мощ­ ностей.

2. Пусть в (465) функция N (t) = 0, а ѵ (і) — линейный неста­ ционарный гауссов процесс, полученный в результате прохождения белого шума через фильтр, параметры которого меняются со време­ нем, или нестационарный гауссов шум, описанный в § 3'настоящей главы.

Выражение (475) для смещенной корреляционной функции в этом случае принимает вид

142

а выражение для корреляционной функции (465) согласно (477):

Величина смещения корреляционной функции в рассматрива­ емом случае определяется так:

АВ (s, f) = Ао ехр {— [h(t, t) + h(t -f s, t + s)]J cos2Ф. (485)

Следовательно, в рассматриваемом нестационарном случае ве­ личина смещения уже зависит от t и s, причем, как и в стационарном

случае, при фиксированных t я sc увеличением ф от 0 до ~ она убы­

вает до нуля, оставаясь положительной.

Предположим, что ѵ (t) — линейный нестационарный процесс, полученный в результате фильтрации белого гауссового шума при помощи /?С-фильтра, у которого сопротивление меняется по линейному закону, т. е. процесс ѵ (t) представим в виде (460). Им­ пульсная переходная функция такого фильтра определяется со­ гласно (458), а ее вид при а — 1 приведен на рис. 8 . Корреляцион­ ная функция этого фильтра определяется согласно (461) с учетом, что х2 \w (1)] — 1. В частности, при ос = 1 и а = 2 она принимает вид (462) и (463), который использовался при построении приведен­ ных ниже графиков.

На рис. 12, а сплошными линиями приводится семейство кри­ вых В (s, /), построенных согласно (484) с учетом (462) при А(І = 1,

Из графиков видно, что с увеличением ^ дисперсия В (0, t) процес­ са (465) в рассматриваемом случае падает, а корреляционная связь между отдельными значениями процесса меняется более плавно по s. В (s, t) является недифференцируемой в нуле ввиду недифферен­ цируемости h (t, t + s), а следовательно, и преобразованный про­ цесс (465) также является недифференцируемым (по вероятности).

В момент і — 1 величина R (t) С рассматриваемого фильтра сов­ падает с параметром ^С-фильтрас импульсной переходной функцией (454), который рассматривался в предыдущем параграфе. Сравни­

вая кривую В (s, 1) рис. 12, а с кривой а = 1, приведенной на

рис. 10, а, видим, что первая из них на рассматриваемом участке

143

приблизительно выравниваются, а к моменту t = 3 уже

5 (0 , 3 ) < ß ( 0 ) .

Физически это можно объяснить так. Линейная система обладает памятью и средняя мощность на выходе системы с импульсной пере­ ходной функцией (458) к некоторому моменту времени / <С 2 за счет запаса энергии, полученного в предыдущие моменты времени, вы­ ше (так как полоса прозрачности фильтра нижних частоте течением

времени сужается непрерывно от оо до 0), чем средняя мощность на выходе такого же фильтра с импульсной переходной функцией (454) и неизменными во времени параметрами в установившемся режиме. Эти мощности выравниваются только к моменту / s 2 , в то время как равенство потребляемых мощностей наблюдалось в момент / = 1.

мейство кривых, только для ф =

На рис. 12, б приводится семейство кривых В (s, /), аналогичных рис. 12, а, но для случая а = 2. При сравнении графиков рис. 12, а и 12, б видим, что во время перехода а от 1 до 2 при неизменности прочих параметров площадь под кривой В (s, /) увеличивается. Увеличивается также дисперсия, «интервал» корреляции, а макси­ мум смещается в сторону отрицательных значений.

144

Физически это можно объяснить следующим образом. Энерге­ тические компоненты процесса, претерпевающие затухание, кор релируются с аналогичными и более мощными, пришедшими в си­ стему ранее.

На рис. 12, в и 12, г приводятся семейства функции В (s, t),

определенной, согласно (484), при ф = j и а = 1 (в), а = 2 (г),

в предположении, что остальные параметры, входящие в эту фор­ мулу, такие же, как и для семейств, приведенных на рис. 12, а и 12, б. Нетрудно убедиться из сопоставления соответствующих

графиков рис. 12, что с увеличением ср от 0 до ТС соответствующие

значения В (s, t) возрастают в пределах, ограниченных соответству­ ющей сплошной кривой и пунктирной линией, приведенной на этих

семейства этих кривых замечаем, что с увеличением t корреляцион­ ная связь между отдельными значениями процессов, взятыми на фиксированном временном расстоянии, быстро возрастает, так что «излом» при s = 0 становится практически незаметен. Этот рисунок еще раз подтверждает выводы, сделанные при анализе рис. 12.

Рис. 15.

— 1, s £ I—3, 31, t — 0,5; 1; 2; 3, для а — 1, (а) и для а = 2 (б). Сплошными линиями указаны кривые для ф = 0, а пунктирными —

для ф = Так как при ф = АВ (s, t) = 0, т. е. В (s, t) = 5) (s, (),

то пунктирные линии этих рисунков совпадают с пунктирными ли­ ниями рис. 12.

Так как нелинейные преобразователи с косинусоидальными динамическими характеристиками на практике встречаются до­ вольно редко, а сигналы, соответствующие рассмотренным выше

линейного преобразования и описывают некоторые наблюдаемые при этом энергетические трансформации.

3.Пусть в (465) функция N (t) определена согласно (466) при

U — 0, т. е. N (t) = о)н^, а v (t) — линейный стационарный гаус­ сов процесс, как и в п. 1. Этот случай соответствует анализу сигнала с постоянной амплитудой частоты сон, промодулированного по фазе гауссовым шумом.

Выражение для смещенной корреляционной функции в этом случае согласно (475) имеет вид

U 6

определенный, как в п. 2 .

Тогда выражение для смещенной корреляционной функции

Заметим, что выражения, входящие в (484) и (495), а также аналогичные им, полученные для стационарного случая, входящие в (480) и (488) при t >■ 0 и s £ (—оо, оо) равномерно по s, удовлетво­ ряют условиям -elft««<+s)V— 1 > 0 и g - lft(M+s)l — 1 < 0. Поэтому

148

с учетом того, что модуль суммы не превышает суммы модулей, из (494) и (495) получаем

Предположим теперь, что процесс ѵ (t) получен в результате фильтрации белого гауссового шума 7?С-фильтром с перемен­ ными параметрами и определен согласно (460) с корреляционной функцией (461). В этом случае (s, t) и В (s, f) имеют сравнительно сложный вид. На рис. 18, а приводятся сечения функции В (s, t),

вая эти графики с графиками, приведенными на рис. 16, замечаем

мере приближения s к нулю, а затем этот размах убывает медленно. На рис. 16 размах убывает симметрично с ростом | s |. На положитель­ ной полуоси s для стационарного случая убывание размаха более

149